Chantal den Hollander
COMPLEXE ANALYSE EN
TRANSFORMATIEMEETKUNDE
, Chantal den Hollander
TRANSFORMATIEMEETKUNDE
Transformatiemeetkunde: veranderingen waarbij de vorm van het figuur gelijk blijft, in het platte vlak.
Hoeken en de
Congruentieafbeeldingen lengte van de zijden
Lijnspiegeling Puntspiegeling
Translatie Rotatie
Het beeld van een transformatie wordt vaak aangegeven met accentjes. Bijvoorbeeld is P’ (x’, y’) het
beeld van het origineel P (x,y).
Lijnspiegeling
A en B worden in de figuur hier rechts
gespiegeld in lijn l.
Twee voorwaarden:
1. AA’ ⊥ l
2. |AP| = |A’P|
Notatie: 𝑆𝑙 (𝐴) = 𝐴′.
, Chantal den Hollander
Puntspiegeling
Punt A en punt O worden gespiegeld in het punt O:
het centrum. Dit is eigenlijk een bijzondere rotatie,
namelijk over 180°.
Eén voorwaarde:
1. |AO|=|A’O|
.
Notatie: 𝑆 (𝐴) = 𝐴′.
𝑂
Rotatie
Punt A wordt geroteerd om het punt O (centrum) met de rotatiehoek α.
Twee voorwaarden:
1. |AO|=|A’O|
2. ∠ACA’ = α
Notatie: 𝑅𝑂,𝛼 (𝐴) = 𝐴′.
Translatie
Punt A en punt B worden getransleerd over
de vector v.
Een vector heeft een afstand en een richting,
maar het aanhechtingspunt kan verschillen
(verzameling equivalente pijlen).
Elk punt van het lijnstuk AB wordt
verschoven over de vector v.
Twee voorwaarden:
1. |AA’| = |v|
2. AA’ // v
Notatie: 𝑇𝑣̅ (𝐴) = 𝐴′.
, Chantal den Hollander
Transformatieformules
Transformeren: object + transformatie
Wat we bedoelen met We transformeren als De transformaties die we
transformeren is voor nu object de kegelsneden: nu kunnen toepassen zijn:
een congruentieafbeelding. • Cirkel: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 • Lijnspiegeling
Dat is het geval wanneer • Parabool: 𝑦 = 2𝑝 𝑥 2
1 • Puntspiegeling
het origineel en beeld 𝑥2 𝑦2
• Rotatie
precies op elkaar passen. • Ellips: 𝑎2 + 𝑏2 = 1 • Translatie
𝑥2 𝑦2
• Hyperbool: 𝑎2 − 𝑏2 = 1
𝑥 𝑦
• Lijn: 𝑎 + 𝑏 = 1
Deze transformatie kunnen we schrijven tot een stelsel van vergelijkingen, waarbij x’ en y’ (het beeld)
uitgedrukt worden in (een combinatie van) x en y. Bij het herschrijven moet je altijd het doel
𝑥 = … 𝑥 ′ … 𝑦′
onthouden: {
𝑦 = … 𝑥 ′ … 𝑦′
Dit doen we zodat de transformatieformules daarna in te vullen zijn in het object, zodat we de
beeldfunctie kunnen opstellen.
Voorbeeld:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 en we voeren de transformatie 𝑇 2 uit.
( )
3
𝑥′ = 𝑥+2
Transformatieformules zijn 𝑇 2 :{ ′
( ) 𝑦 =𝑦+3
3
𝑥= 𝑥′ − 2
We herschrijven dit tot: {
𝑦 = 𝑦′ − 3
(houd het doel in gedachten)
Dit substitueren we in het object, de kegelsnede: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4.
(𝑥 ′ − 2)2 + (𝑦 ′ − 3)2 = 4
‘ geeft aan dat het gaat om het beeld
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4
accentjes eventueel weglaten
Algemeen translatie
𝑎
Een translatie met vector 𝑣̅ = ( ).
𝑏
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
De transformatieformules zijn dan: { ′
𝑦 =𝑦+𝑏
Algemeen lijnspiegeling
Een lijnspiegeling kunnen we in drie situaties splitsen. Voor de eerste twee stellen we een algemene
transformatieformule op. De derde situatie wordt toegelicht met een voorbeeld. Dat wordt namelijk
heel abstract als we dit algemeen formuleren.
COMPLEXE ANALYSE EN
TRANSFORMATIEMEETKUNDE
, Chantal den Hollander
TRANSFORMATIEMEETKUNDE
Transformatiemeetkunde: veranderingen waarbij de vorm van het figuur gelijk blijft, in het platte vlak.
Hoeken en de
Congruentieafbeeldingen lengte van de zijden
Lijnspiegeling Puntspiegeling
Translatie Rotatie
Het beeld van een transformatie wordt vaak aangegeven met accentjes. Bijvoorbeeld is P’ (x’, y’) het
beeld van het origineel P (x,y).
Lijnspiegeling
A en B worden in de figuur hier rechts
gespiegeld in lijn l.
Twee voorwaarden:
1. AA’ ⊥ l
2. |AP| = |A’P|
Notatie: 𝑆𝑙 (𝐴) = 𝐴′.
, Chantal den Hollander
Puntspiegeling
Punt A en punt O worden gespiegeld in het punt O:
het centrum. Dit is eigenlijk een bijzondere rotatie,
namelijk over 180°.
Eén voorwaarde:
1. |AO|=|A’O|
.
Notatie: 𝑆 (𝐴) = 𝐴′.
𝑂
Rotatie
Punt A wordt geroteerd om het punt O (centrum) met de rotatiehoek α.
Twee voorwaarden:
1. |AO|=|A’O|
2. ∠ACA’ = α
Notatie: 𝑅𝑂,𝛼 (𝐴) = 𝐴′.
Translatie
Punt A en punt B worden getransleerd over
de vector v.
Een vector heeft een afstand en een richting,
maar het aanhechtingspunt kan verschillen
(verzameling equivalente pijlen).
Elk punt van het lijnstuk AB wordt
verschoven over de vector v.
Twee voorwaarden:
1. |AA’| = |v|
2. AA’ // v
Notatie: 𝑇𝑣̅ (𝐴) = 𝐴′.
, Chantal den Hollander
Transformatieformules
Transformeren: object + transformatie
Wat we bedoelen met We transformeren als De transformaties die we
transformeren is voor nu object de kegelsneden: nu kunnen toepassen zijn:
een congruentieafbeelding. • Cirkel: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 • Lijnspiegeling
Dat is het geval wanneer • Parabool: 𝑦 = 2𝑝 𝑥 2
1 • Puntspiegeling
het origineel en beeld 𝑥2 𝑦2
• Rotatie
precies op elkaar passen. • Ellips: 𝑎2 + 𝑏2 = 1 • Translatie
𝑥2 𝑦2
• Hyperbool: 𝑎2 − 𝑏2 = 1
𝑥 𝑦
• Lijn: 𝑎 + 𝑏 = 1
Deze transformatie kunnen we schrijven tot een stelsel van vergelijkingen, waarbij x’ en y’ (het beeld)
uitgedrukt worden in (een combinatie van) x en y. Bij het herschrijven moet je altijd het doel
𝑥 = … 𝑥 ′ … 𝑦′
onthouden: {
𝑦 = … 𝑥 ′ … 𝑦′
Dit doen we zodat de transformatieformules daarna in te vullen zijn in het object, zodat we de
beeldfunctie kunnen opstellen.
Voorbeeld:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 en we voeren de transformatie 𝑇 2 uit.
( )
3
𝑥′ = 𝑥+2
Transformatieformules zijn 𝑇 2 :{ ′
( ) 𝑦 =𝑦+3
3
𝑥= 𝑥′ − 2
We herschrijven dit tot: {
𝑦 = 𝑦′ − 3
(houd het doel in gedachten)
Dit substitueren we in het object, de kegelsnede: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4.
(𝑥 ′ − 2)2 + (𝑦 ′ − 3)2 = 4
‘ geeft aan dat het gaat om het beeld
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4
accentjes eventueel weglaten
Algemeen translatie
𝑎
Een translatie met vector 𝑣̅ = ( ).
𝑏
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
De transformatieformules zijn dan: { ′
𝑦 =𝑦+𝑏
Algemeen lijnspiegeling
Een lijnspiegeling kunnen we in drie situaties splitsen. Voor de eerste twee stellen we een algemene
transformatieformule op. De derde situatie wordt toegelicht met een voorbeeld. Dat wordt namelijk
heel abstract als we dit algemeen formuleren.
