Hoorcollege 3: Enkelvoudige kansverdeling
Die enkelvoudige kansverdeling is belangrijk omdat wij straks getallen in een context willen
plaatsen en die context is gebaseerd op een empirische verdeling (histogram). Zo’n empirische
verdeling gaan wij verhouden tot een theoretische verdeling.
Deze week: Normale verdeling (Gaussische verdeling), enkele andere verdelingen en
eigenschappen, het toetsen van hypothesen in meer algemene zin, betrouwbaarheid van een
toets, de p waarde en hoe deze zinvol te gebruiken.
- Normale verdeling: de term ‘normaal’ in normale verdeling is verwarrend want het is niet een
verdeling die heel veel voorkomt, maar een verdeling die heel makkelijk is en daarom vaak wordt
gebruikt en misschien daarom ook de term ‘normaal’. Maar misschien wel beter om het de
Gaussische verdeling te noemen.
- Andere verdelingen: als de gegevens (data) andere eigenschapen hebben, of bijv. een heel ander
fenomeen beschrijven, dan zal een mogelijk bijpassende theoretische verdeling ook een andere zijn
dan de Normale verdeling.
Er zijn dus verschillende soorten verdelingen en het is belangrijk om een goede keuze te maken
voordat je je eigen echte gegevens in een empirische verdeling gaat duiden.
- Betrouwbaarheid van een toets: je zou denken als ik een toets heb die het goed doet, dan vind ik
altijd wel wat ik moet vinden, dan vind ik altijd wel iemand die iets heeft gedaan of dat er een
schuldige is of iets dergelijks we zullen zien dat de betrouwbaarheid van een toets niet
gegarandeerd is en dat je dan toch ook wel vervelende, onverwachte conclusies kan trekken.
Als jurist moet je soms een besluit nemen o.b.v. de uitkomst van een test (zoals DNA-test of een
toets op fraude), dan is het belangrijk om je te realiseren dat zo’n toets niet perfect is maar een
bepaalde mate van betrouwbaarheid heeft.
Het is dus belangrijk om bij elke toets te weten hoe betrouwbaar hij is, zeker als je hem vaak doet.
Als je enorm veel testen doet, dan zal er altijd wel een geval zijn waarbij je de nulhypothese
onterecht verwerpt.
Normale verdeling (wat doen μ en σ ?)
De verschillende vormen hangen samen met verschillende keuzes van het gemiddelde en de
variantie.
Als het gemiddelde schuift, gaat het plaatje bewegen over de x-as het gemiddelde duidt
dus de plek op de horizontale as.
Als de variantie groter of kleiner wordt, dan wordt de piek smaller of breder. De variantie
heeft dus een dubbele functie:
, - Bij een gelijkblijvend gemiddelde (in de figuur hierboven is dat μ= 0) zorgt een
kleinere waarde v.d. variantie ervoor dat de verdeling meer piekt rondom het
gemiddelde.
- Een grotere waarde v.d. variantie geeft de ruimte voor het vaker voorkomen van in
omvang grotere waarnemingen.
Je ziet dus dat met maar twee parameters veel verschillende vormen te maken zijn.
Je kan ook zien dat de Normale verdeling symmetrisch is m.a.w.: als je bijv. de verdeling
neemt bij gemiddelde = 0 en variantie is 0,2, dan is de kans dat je -1 waarneemt precies net zo
groot als +1.
Uiteindelijk loopt het allemaal de linker- en rechterkant op en uiteindelijk loopt het richting de as en
zal het de horizontale as NOOIT raken of snijden dat betekent dat een kans 0 niet bestaat, ook
niet een kans 1 het is altijd in de buurt van 1 als het groot is en in de buurt van 0 als het heel
klein is, maar nooit exact 0 of 1.
Parameters schatten:
Als we een empirische verdeling hebben, dan willen we die verhouden tot een theoretische
verdeling (om zinvolle uitspraken te kunnen doen over de gegevens) en daarvoor schatten we
parameters in. Bij de normale verdeling zijn er twee parameters: μ (gemiddelde) en σ
(standaarddeviatie) met deze twee parameters kan je deze verdeling karakteriseren.
Dus als je echte data hebt, dan wil je die parameters schatten. Daarvoor gebruik je een schatter
(dat is een uitdrukking/instrument, de manier om iets uit te rekenen), en dat levert een schatting
(dat is het getal) op.
Het gemiddelde μ kan worden geschat, zoals
1+3+ 2+ 3+1+2+2+4 +2+1 21
Gemiddelde= = =2.1
10 10
En de variantie kan worden geschat zoals
Variantie=¿ ¿
Dus we kunnen nu een uitspraak doen over deze data m.b.v. het gemiddelde en de variantie.
(parameter = variabele waaraan een bepaalde waarde wordt toegekend om met behulp daarvan andere onbekende
grootheden te kunnen berekenen)
Vaak kan de Normale verdeling zinvol zijn bij variabelen die gemeten zijn op de ratioschaal (zoals
scores op kloof tussen mannen en vrouwen). Dit is echter niet altijd het geval, zoals bij inkomens.
Daarvoor zijn de modus en het gemiddelde flink verschillend. Dan moeten we ons wenden tot een
andere theoretische verdeling dan de Normale verdeling.
DUS er zijn nog veel meer verdelingen en dat hangt samen met het proces of het fenomeen dat je
bestudeert.
Die enkelvoudige kansverdeling is belangrijk omdat wij straks getallen in een context willen
plaatsen en die context is gebaseerd op een empirische verdeling (histogram). Zo’n empirische
verdeling gaan wij verhouden tot een theoretische verdeling.
Deze week: Normale verdeling (Gaussische verdeling), enkele andere verdelingen en
eigenschappen, het toetsen van hypothesen in meer algemene zin, betrouwbaarheid van een
toets, de p waarde en hoe deze zinvol te gebruiken.
- Normale verdeling: de term ‘normaal’ in normale verdeling is verwarrend want het is niet een
verdeling die heel veel voorkomt, maar een verdeling die heel makkelijk is en daarom vaak wordt
gebruikt en misschien daarom ook de term ‘normaal’. Maar misschien wel beter om het de
Gaussische verdeling te noemen.
- Andere verdelingen: als de gegevens (data) andere eigenschapen hebben, of bijv. een heel ander
fenomeen beschrijven, dan zal een mogelijk bijpassende theoretische verdeling ook een andere zijn
dan de Normale verdeling.
Er zijn dus verschillende soorten verdelingen en het is belangrijk om een goede keuze te maken
voordat je je eigen echte gegevens in een empirische verdeling gaat duiden.
- Betrouwbaarheid van een toets: je zou denken als ik een toets heb die het goed doet, dan vind ik
altijd wel wat ik moet vinden, dan vind ik altijd wel iemand die iets heeft gedaan of dat er een
schuldige is of iets dergelijks we zullen zien dat de betrouwbaarheid van een toets niet
gegarandeerd is en dat je dan toch ook wel vervelende, onverwachte conclusies kan trekken.
Als jurist moet je soms een besluit nemen o.b.v. de uitkomst van een test (zoals DNA-test of een
toets op fraude), dan is het belangrijk om je te realiseren dat zo’n toets niet perfect is maar een
bepaalde mate van betrouwbaarheid heeft.
Het is dus belangrijk om bij elke toets te weten hoe betrouwbaar hij is, zeker als je hem vaak doet.
Als je enorm veel testen doet, dan zal er altijd wel een geval zijn waarbij je de nulhypothese
onterecht verwerpt.
Normale verdeling (wat doen μ en σ ?)
De verschillende vormen hangen samen met verschillende keuzes van het gemiddelde en de
variantie.
Als het gemiddelde schuift, gaat het plaatje bewegen over de x-as het gemiddelde duidt
dus de plek op de horizontale as.
Als de variantie groter of kleiner wordt, dan wordt de piek smaller of breder. De variantie
heeft dus een dubbele functie:
, - Bij een gelijkblijvend gemiddelde (in de figuur hierboven is dat μ= 0) zorgt een
kleinere waarde v.d. variantie ervoor dat de verdeling meer piekt rondom het
gemiddelde.
- Een grotere waarde v.d. variantie geeft de ruimte voor het vaker voorkomen van in
omvang grotere waarnemingen.
Je ziet dus dat met maar twee parameters veel verschillende vormen te maken zijn.
Je kan ook zien dat de Normale verdeling symmetrisch is m.a.w.: als je bijv. de verdeling
neemt bij gemiddelde = 0 en variantie is 0,2, dan is de kans dat je -1 waarneemt precies net zo
groot als +1.
Uiteindelijk loopt het allemaal de linker- en rechterkant op en uiteindelijk loopt het richting de as en
zal het de horizontale as NOOIT raken of snijden dat betekent dat een kans 0 niet bestaat, ook
niet een kans 1 het is altijd in de buurt van 1 als het groot is en in de buurt van 0 als het heel
klein is, maar nooit exact 0 of 1.
Parameters schatten:
Als we een empirische verdeling hebben, dan willen we die verhouden tot een theoretische
verdeling (om zinvolle uitspraken te kunnen doen over de gegevens) en daarvoor schatten we
parameters in. Bij de normale verdeling zijn er twee parameters: μ (gemiddelde) en σ
(standaarddeviatie) met deze twee parameters kan je deze verdeling karakteriseren.
Dus als je echte data hebt, dan wil je die parameters schatten. Daarvoor gebruik je een schatter
(dat is een uitdrukking/instrument, de manier om iets uit te rekenen), en dat levert een schatting
(dat is het getal) op.
Het gemiddelde μ kan worden geschat, zoals
1+3+ 2+ 3+1+2+2+4 +2+1 21
Gemiddelde= = =2.1
10 10
En de variantie kan worden geschat zoals
Variantie=¿ ¿
Dus we kunnen nu een uitspraak doen over deze data m.b.v. het gemiddelde en de variantie.
(parameter = variabele waaraan een bepaalde waarde wordt toegekend om met behulp daarvan andere onbekende
grootheden te kunnen berekenen)
Vaak kan de Normale verdeling zinvol zijn bij variabelen die gemeten zijn op de ratioschaal (zoals
scores op kloof tussen mannen en vrouwen). Dit is echter niet altijd het geval, zoals bij inkomens.
Daarvoor zijn de modus en het gemiddelde flink verschillend. Dan moeten we ons wenden tot een
andere theoretische verdeling dan de Normale verdeling.
DUS er zijn nog veel meer verdelingen en dat hangt samen met het proces of het fenomeen dat je
bestudeert.
