Week 1
Termen
Beslissingsvariabelen Variabelen nodig in model voor berekeningen
Toegelaten oplossing Een toekenning van waarden aan de beslissingsvariabelen
wat voldoet aan de restricties
Toegelaten gebied De regio dat alle toegelaten oplossingen bevat
Doelfunctie Functie dat je wil maximaliseren/minimaliseren
Lineair programmerings model Eerste regel is je doelfunctie met het doel ervoor
Eronder staan de restricties
Optimale oplossing Toegelaten oplossing met de beste doelwaarde
Optimale doelwaarde Beste doelwaarde mogelijk, 𝑣(𝑋) voor probleem 𝑋
Aanpak lineair programmerings model
1. Welke beslissingen moeten er gemaakt worden? à beslissingsvariabelen
2. Welke restricties gelden er voor deze beslissingen? à restricties
3. Welke doelen moeten er bereikt worden met deze beslissingen? à doelfunctie
LP probleem
Een lineair programmerings probleem is een optimalisatie probleem waarbij de doelfunctie
lineair is in de beslissingsvariabelen en de restricties lineair zijn in de beslissingsvariabelen
LP probleem in standaard vorm
Een lineair programmerings probleem in standaard vorm is een maximalisatie probleem, heeft
‘minder dan of gelijk’ (≤) restricties en niet-negatieve beslissingsvariabelen
Wiskundig LP probleem in standaard vorm met 𝑛 beslissingsvariabelen en 𝑚 restricties is:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Met rekvariabelen wordt de eerste dictionaire dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! 𝑖 = 1, … , 𝑚
"
𝑧 = 0 + ∑!#$ 𝑐! 𝑥!
Naar standaard vorm transformeren
min 𝑧 = ∑"!#$ 𝑐! 𝑥! → max −𝑧 → max 𝑧′ = ∑"!#$(−𝑐! )𝑥!
"
∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏%
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! = 𝑏% → C "
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏%
"
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏% → ∑"!#$(−𝑎%! )𝑥! ≤ −𝑏%
−𝑥! ≤ −𝑙!
𝑙! ≤ 𝑥! ≤ 𝑢! → F
𝑥! ≤ 𝑢!
𝑥! ≱ 0 → 𝑥! = 𝑥!& − 𝑥!' , 𝑥!& , 𝑥!' ≥ 0, 𝑥!& ≔ maxI0, 𝑥! J, 𝑥!' ≔ −minI0, 𝑥! J
Aantal optimale oplossingen
Een LP probleem kan geen optimale oplossing hebben (leeg toegelaten gebied of onbegrensd
probleem), 1 optimale oplossing hebben of oneindig veel optimale oplossingen
2 dimensionale simplex methode
1. Verander in de restricties ≤ naar = en teken de vergelijkingen
2. Bepaal het toegelaten gebied
3. Tegen de doelfunctie met een random waarde in de grafiek
4. Probeer de doelfunctie vergelijking zo ver mogelijk parallel naar rechts te verschuiven totdat
je bijna uit het toegelaten gebied zit
5. De hoek (lijn) waar je op uitkomt is (zijn) je optimale oplossing(en)
, Geometrische simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen
3. Deze variabelen zijn samen met de beslissingsvariabelen de rekvariabelen, ze geven soort van
de afstand weer tot de lijnen
4. Door steeds van hoek naar hoek te gaan door 2 van de rekvariabelen 0 te maken, en daarbij
de doelfunctie waarde te vergroten vind je de optimale oplossing
Simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen, de rekvariabelen
3. Druk de rekvariabelen en 𝑧 (de doelfunctie) links uit in de beslissingsvariabelen
- Alle variabelen zijn niet negatief
- De variabelen aan de linkerkant zijn de basis variabelen
- De variabelen aan de rechterkant zijn de niet-basis variabelen
4. Kies een pivot regel, dit bepaalt de ‘entering’ variabele (een niet-basis variabele), en kijk
welke restrictie de entering variabele het meest tegenhoudt, de bijbehorende basis
variabelen is de ‘leaving’ variabele
5. Druk de entering variabele uit in de leaving variabele (en andere niet-basis variabelen in die
restrictie), de entering variabele is nu een basis variabele geworden en de leaving variabele
een niet-basis variabele
6. Substitueer de entering variabele in de andere restricties en doelfunctie
7. Herhaal dit vanaf stap 4 totdat de doelfunctie niet meer verhoogd kan worden, dus als alle
coëfficiënten in de 𝑧-rij negatief zijn
8. De doelwaarde die dan in de doelfunctie staat is dan de optimale doelwaarde, en de waarden
die achter de originele variabelen staan is de optimale oplossing
Pivot regels
Grootste coëfficiënt regel: selecteer de variabele in de 𝑧-rij met de grootste positieve coëfficiënt
Kleinste index regel: selecteer variabele in de 𝑧-rij met de kleinste index en positieve coëfficiënt
Week 2
Twee fase simplex methode
Neem het originele probleem:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Als er een 𝑏% < 0 bestaat, dan moet eerst het Help probleem worden opgelost:
max −𝑥(
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! − 𝑥( ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 0, … , 𝑛
Het Help probleem heeft een optimale oplossing met doelwaarde 0 ⟺ het toegelaten gebied
van het originele probleem niet leeg is
Oplossen Help probleem
1. Schrijf het Help probleem op in de standaard vorm
2. Introduceer weer rekvariabelen zoals bij het oplossen van een normaal probleem en de
eerste dictionaire is dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! + 𝑥( 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑧 = −𝑥(
3. De basis variabele met de meest negatieve 𝑏% is de leaving variabele, en de 𝑥( is de entering
variabele
Termen
Beslissingsvariabelen Variabelen nodig in model voor berekeningen
Toegelaten oplossing Een toekenning van waarden aan de beslissingsvariabelen
wat voldoet aan de restricties
Toegelaten gebied De regio dat alle toegelaten oplossingen bevat
Doelfunctie Functie dat je wil maximaliseren/minimaliseren
Lineair programmerings model Eerste regel is je doelfunctie met het doel ervoor
Eronder staan de restricties
Optimale oplossing Toegelaten oplossing met de beste doelwaarde
Optimale doelwaarde Beste doelwaarde mogelijk, 𝑣(𝑋) voor probleem 𝑋
Aanpak lineair programmerings model
1. Welke beslissingen moeten er gemaakt worden? à beslissingsvariabelen
2. Welke restricties gelden er voor deze beslissingen? à restricties
3. Welke doelen moeten er bereikt worden met deze beslissingen? à doelfunctie
LP probleem
Een lineair programmerings probleem is een optimalisatie probleem waarbij de doelfunctie
lineair is in de beslissingsvariabelen en de restricties lineair zijn in de beslissingsvariabelen
LP probleem in standaard vorm
Een lineair programmerings probleem in standaard vorm is een maximalisatie probleem, heeft
‘minder dan of gelijk’ (≤) restricties en niet-negatieve beslissingsvariabelen
Wiskundig LP probleem in standaard vorm met 𝑛 beslissingsvariabelen en 𝑚 restricties is:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Met rekvariabelen wordt de eerste dictionaire dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! 𝑖 = 1, … , 𝑚
"
𝑧 = 0 + ∑!#$ 𝑐! 𝑥!
Naar standaard vorm transformeren
min 𝑧 = ∑"!#$ 𝑐! 𝑥! → max −𝑧 → max 𝑧′ = ∑"!#$(−𝑐! )𝑥!
"
∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏%
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! = 𝑏% → C "
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏%
"
∑!#$ 𝑎%! 𝑥! ≥ 𝑏% → ∑"!#$(−𝑎%! )𝑥! ≤ −𝑏%
−𝑥! ≤ −𝑙!
𝑙! ≤ 𝑥! ≤ 𝑢! → F
𝑥! ≤ 𝑢!
𝑥! ≱ 0 → 𝑥! = 𝑥!& − 𝑥!' , 𝑥!& , 𝑥!' ≥ 0, 𝑥!& ≔ maxI0, 𝑥! J, 𝑥!' ≔ −minI0, 𝑥! J
Aantal optimale oplossingen
Een LP probleem kan geen optimale oplossing hebben (leeg toegelaten gebied of onbegrensd
probleem), 1 optimale oplossing hebben of oneindig veel optimale oplossingen
2 dimensionale simplex methode
1. Verander in de restricties ≤ naar = en teken de vergelijkingen
2. Bepaal het toegelaten gebied
3. Tegen de doelfunctie met een random waarde in de grafiek
4. Probeer de doelfunctie vergelijking zo ver mogelijk parallel naar rechts te verschuiven totdat
je bijna uit het toegelaten gebied zit
5. De hoek (lijn) waar je op uitkomt is (zijn) je optimale oplossing(en)
, Geometrische simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen
3. Deze variabelen zijn samen met de beslissingsvariabelen de rekvariabelen, ze geven soort van
de afstand weer tot de lijnen
4. Door steeds van hoek naar hoek te gaan door 2 van de rekvariabelen 0 te maken, en daarbij
de doelfunctie waarde te vergroten vind je de optimale oplossing
Simplex methode
1. Breng de beslissingsvariabelen naar de rechterkant van de restricties en verander ≤ naar =
2. Wijs nieuwe variabelen toe aan deze vergelijkingen, de rekvariabelen
3. Druk de rekvariabelen en 𝑧 (de doelfunctie) links uit in de beslissingsvariabelen
- Alle variabelen zijn niet negatief
- De variabelen aan de linkerkant zijn de basis variabelen
- De variabelen aan de rechterkant zijn de niet-basis variabelen
4. Kies een pivot regel, dit bepaalt de ‘entering’ variabele (een niet-basis variabele), en kijk
welke restrictie de entering variabele het meest tegenhoudt, de bijbehorende basis
variabelen is de ‘leaving’ variabele
5. Druk de entering variabele uit in de leaving variabele (en andere niet-basis variabelen in die
restrictie), de entering variabele is nu een basis variabele geworden en de leaving variabele
een niet-basis variabele
6. Substitueer de entering variabele in de andere restricties en doelfunctie
7. Herhaal dit vanaf stap 4 totdat de doelfunctie niet meer verhoogd kan worden, dus als alle
coëfficiënten in de 𝑧-rij negatief zijn
8. De doelwaarde die dan in de doelfunctie staat is dan de optimale doelwaarde, en de waarden
die achter de originele variabelen staan is de optimale oplossing
Pivot regels
Grootste coëfficiënt regel: selecteer de variabele in de 𝑧-rij met de grootste positieve coëfficiënt
Kleinste index regel: selecteer variabele in de 𝑧-rij met de kleinste index en positieve coëfficiënt
Week 2
Twee fase simplex methode
Neem het originele probleem:
max ∑"!#$ 𝑐! 𝑥!
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 1, … , 𝑛
Als er een 𝑏% < 0 bestaat, dan moet eerst het Help probleem worden opgelost:
max −𝑥(
𝑠. 𝑡. ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! − 𝑥( ≤ 𝑏% 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑥! ≥ 0 𝑗 = 0, … , 𝑛
Het Help probleem heeft een optimale oplossing met doelwaarde 0 ⟺ het toegelaten gebied
van het originele probleem niet leeg is
Oplossen Help probleem
1. Schrijf het Help probleem op in de standaard vorm
2. Introduceer weer rekvariabelen zoals bij het oplossen van een normaal probleem en de
eerste dictionaire is dan:
𝑥"&% = 𝑏% − ∑"!#$ 𝑎%! 𝑥! + 𝑥( 𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑧 = −𝑥(
3. De basis variabele met de meest negatieve 𝑏% is de leaving variabele, en de 𝑥( is de entering
variabele
