Samenvatting Matrix Algebra (FEB21019)

Week 1
Vergelijkingen oplossen
m vergelijkingen met n variabele
1. Elimineer 1 variabele en 1 vergelijking
2. Doorgaan tot 1 vergelijking en n – m + 1 variabelen
3. Kies n – m van de n – m + 1 variabelen vrij
4. Achterstevoren oplossen, er zijn n – m vrij variabelen in de oplossing
Vectoren
Elke vector v Î Rn is [𝑣! , 𝑣" , … , 𝑣# ]
Regels vectoren
𝑢 + 𝑣 = [𝑢! + 𝑣! , 𝑢" + 𝑣" , … , 𝑢# + 𝑣# ]
𝑐𝑣 = [𝑐𝑣! , 𝑐𝑣" , … , 𝑐𝑣# ]
(𝑐 + 𝑑)𝑢 = 𝑐𝑢 + 𝑑𝑢
𝑐(𝑢 + 𝑣) = 𝑐𝑢 + 𝑐𝑣
𝑢 ∙ (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤
(𝑐𝑢) ∙ 𝑣 = 𝑐(𝑢 ∙ 𝑣)
Lineaire combinatie
𝑣 = 𝑐! 𝑣! + 𝑐" 𝑣" + ⋯ + 𝑐# 𝑣#
Dot product
𝑢 ∙ 𝑣 = [𝑢! 𝑣! + 𝑢" 𝑣" + ⋯ + 𝑢# 𝑣# ]
Lengte
0|𝑣|0 = √𝑣 ∙ 𝑣 = 3𝑣! " + 𝑣" " + ⋯ + 𝑣# " 0|𝑣|0 = 0 ⇔ 𝑣 = 0
"
𝑣 ∙ 𝑣 = 0|𝑣|0
Scalair vermenigvuldigen
0|𝑐𝑣|0 = |𝑐|0|𝑣|0
Eenheidsvector
0|𝑣|0 = 1 dan v is eenheidsvector (𝑢)
!
𝑎𝑙𝑠 𝑣 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑣
||%||
Standaard eenheidsvectoren
Een vector e1, e2, … , en die ei 1 heeft als component en voor de rest alleen maar nullen
Cauchy-Schwarz ongelijkheid
|𝑣 ∙ 𝑢| ≤ 0|𝑢|00|𝑣|0
Driehoeksongelijkheid
0|𝑢 + 𝑣|0 ≤ 0|𝑢|0 + 0|𝑣|0
Afstand
𝑑(𝑢, 𝑣) = 0|𝑢 − 𝑣|0
Hoek tussen 2 vectoren
&∙%
cos(𝜃) = (|&|((|%|(
Orthogonaal (loodrecht)
𝑢∙𝑣 =0
Pythagoras
" " "
0|𝑢 + 𝑣|0 = 0|𝑢|0 + 0|𝑣|0 𝑎𝑙𝑠 𝑢 ∙ 𝑣 = 0
Projectie van v op u
&∙%
𝑝𝑟𝑜𝑗& (𝑣) = &∙& 𝑢
Lijnen in R2
ax + by = c is hetzelfde als [𝑎, 𝑏][𝑥, 𝑦] = 𝑐
[a,b] staat loodrecht op de lijn en is de normaalvector
Normale vorm van een vergelijking van een lijn in R2
n × (x – p) = 0 of n × x = n × p met p een punt op lijn l en n de normaalvector

, Vectorvoorstelling van een vergelijking van een lijn in R2 of R3
x = p + td
Vlakken in R3
ax + by + cz = d is hetzelfde als [a,b,c][x,y,z] = d
Normale vorm van een vergelijking van een vlak P in R3
n × (x – p) = 0 of n × x = n × p met p een punt op vlak P en n de normaalvector van P
Vectorvoorstelling van een vergelijking van een vlak P in R3
x = p + su + tv
Afstand van een punt tot een lijn
𝐵 = (𝑥) , 𝑦) ) 𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
|*+ ,-. /0|
𝑑(𝐵, 𝑙) = ! " !"
√* ,-
Afstand van een punt tot een vlak
𝐵 = (𝑥) , 𝑦) , 𝑧) ) 𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
|*+ ,-. ,02 /3|
𝑑(𝐵, 𝑙) = ! " ! " !"
√* ,- ,0


Week 2
Lineaire vergelijking
𝑎! 𝑥! + 𝑎" 𝑥" + ⋯ + 𝑎# 𝑥# = 𝑏 met ai en b als constante
Oplossingen voor een lineaire vergelijking
o Unieke oplossing (consistent)
o Oneindig veel oplossingen (consistent)
o Geen oplossingen (inconsistent)
Rij echelon vorm
1. Elke rij dat alleen nullen bevat staan onderaan in de matrix en
2. In elke niet-nul rij, staat de eerste niet-nul (leidend element) in een kolom links van het
leidend element van de rijen eronder
Gereduceerde rij echelon vorm
3. Elk leidend element is een 1 en de getallen in de kolom boven het leidend element 0
Elementaire rij operaties
1. Wisselen van 2 rijen 𝑅4 ↔ 𝑅5
2. Rij vermenigvuldigen met een niet-nul 𝑘𝑅4
3. Een vermenigvuldiging van een rij optellen bij een andere rij 𝑅4 + 𝑘𝑅5
Rij equivalente matrices
A en B zijn rij equivalent als er elementaire rij operaties bestaan dat A naar B omzet
A en B zijn rij equivalent Û ze gereduceerd kunnen worden naar dezelfde rij echelon vorm
Gauss eliminatie
1. Schrijf de lineaire vergelijkingen op als een uitgebreide matrix
2. Gebruik elementaire rij operaties om de matrix te reduceren naar rij echelon vorm
3. Gebruik achterwaartse substitutie om de matrix op te lossen
Gaus-Jordan eliminatie
1. Schrijf de lineaire vergelijkingen op als een uitgebreide matrix
2. Gebruik elementaire rij operaties om de matrix te reduceren naar gereduceerde rij
echelon vorm
3. Schrijf de leidende variabelen in termen van de vrije variabelen
Rang van een matrix
Het aantal niet-nul rijen van een matrix in rij echelon vorm
Aantal vrij variabelen = n – rank(A)
Homogeen stelsel
Een stelsel waarvan elke vergelijking rechterlid 0 heeft