Exponentiële groei
Veel leerlingen hebben moeite met exponentiële groei. Hierbij de belangrijkste zaken
die je moet weten en wat oude examenopgaven die erbij passen.
Hoe herken je exponentiële groei?
- Er wordt telkens met dezelfde hoeveelheid vermenigvuldigd
Bijv: "een kolonie bacteriën verdubbelt iedere 3 uur"
- Er gaat telkens hetzelfde percentage bij/af
Bijv: "de hoeveelheid paracetamol in je bloed neemt ieder uur af met 25%"
- Soms staat het gewoon in de opgave: "er is sprake van exponentiële groei"
Welke formule hoort bij exponentiële groei?
- N = b * g^t
- Hierin is:
N de hoeveelheid op een tijdstip t
b de beginhoeveelheid
g de groeifactor
t het tijdstip
Hoe bepaal je de groeifactor?
- Als er gegeven is waar vermenigvuldigd mee wordt, dan is dát de groeifactor
Voorbeeld: "een kolonie bacteriën verdubbelt iedere 3 uur"
Uitwerking: de groeifactor per 3 uur is 2 (want verdubbelen hetzelfde als keer 2)
- Als een procentuele groei of afname vermeld is, bepaal met hoeveel procent je
eindigt en deel dat percentage door 100
Voorbeeld: "de hoeveelheid paracetamol in je bloed neemt ieder uur af met 25%"
Uitwerking: Als je met 100% begint dan heb je na een uur dus 100% - 25% = 75%,
dus de groeifactor per uur is 0,75
- Als je weet hoeveel iets was en hoeveel het wordt, dan doe je NIEUW / OUD
Voorbeeld: "in 2010 waren er 100.000 inwoners en in 2015 waren het er 150.000"
Uitwerking: de groeifactor per 5 jaar is 150..000 = 1,5.
Hoe reken je een groeifactor om
- Bedenk wat de nieuwe eenheid met de oude te maken heeft en verhef de
groeifactor
tot die macht.
Bijv: g_dag = 1,05 levert g_week = 1,05^7 (want een week is 7 dagen)
Bijv: g_uur = 1,05 levert g_kwartier = 1,05^(1/4) (want een kwartier
is 1/4 van een uur)
Hoe reken je een groeipercentage om
- Werk altijd via de groeifactor!
Voorbeeld: "Iets groeit met 10% per week. We willen de groei per dag weten."
Uitwerking: * Eerst de groeifactor: g_week = 1,10
* Dan naar de goede eenheid: g_dag = 1,10^(1/7) = 1,0137
* Dan weer naar percentage: de groei per dag is 1,4%
Hoe stel je een formule op bij een exponentieel verband?
- Bepaal eerst de groeifactor en dan de beginhoeveelheid.
Voorbeeld: "Een hoeveelheid groeit exponentieel van N=100 op t=4
tot N=400 op t=7."
Uitwerking: * De groeifactor per 3 dagen is = 4.
* De groeifactor per dag is dus 4^(1/3) = 1,5874...
,* De beginhoeveelheid is ,5874...^4 = 15,75
* De formule is dus N = 15,75 * 1,587^t
Hoe vind je de procentuele groei gegeven een verdubbelingstijd?
- Bedenk dat er in verdubbelingstijd precies met twee vermenigvuldigd wordt. Dat is
dus de groeifactor.
Voorbeeld: "De verdubbelingstijd is 5 jaar. Hoeveel procent komt erbij per jaar?"
Uitwerking: * de groeifactor per 5 jaar is 2
* de groeifactor per jaar is dus 2^(1/5) = 1,1486...
* de jaar komt er dus 14,9% bij
Hoe vind je de verdubbelingstijd gegeven een procentuele groei?
- Bedenk dat er in de verdubbelingstijd met 2 wordt vermenigvuldigd en gebruik
INTSECT.
Voorbeeld: "de procentuele groei is 15% per uur. Wat is de verdubbelingstijd?"
Uitwerking: * de groeifactor per uur is 1,15
* we lossen op: 1,15^t = 2
* GSolv-INTSECT geeft t = 4,959...
* De verdubbelingstijd is dus 5,0 jaar.
BELANGRIJKSTE AANDACHTSPUNTEN:
- Werk bij exponentiële groei altijd met de groeifactor
- Gebruik altijd een macht om een groeifactor om te rekenen
- Halveringstijd gaat net als verdubbelingstijd, maar dan met 0,5 i.p.v. met 2
Nuttige examensommen:
- 2015-I opgave 13 (https://static.examenblad.nl/9336115/d/ex2015/VW-1024-f-15-1-
o.pdf)
- 2015-II opgave 3 (https://static.examenblad.nl/9336115/d/ex2015/VW-1024-f-15-2-
o.pdf)
- 2016-II opgave 9 (https://static.examenblad.nl/9336116/d/ex2016/vw-1024-f-16-2-
o.pdf)
- 2017-I opgave 8 (https://static.examenblad.nl/9336117/d/ex2017/VW-1024-f-17-1-
o_HV.pdf)
- 2017-II opgave 9 (https://static.examenblad.nl/9336117/d/ex2017/VW-1024-f-17-2-
o.pdf)
, Lineaire verbanden
In vrijwel ieder eindexamen zitten meerdere opgaven waarbij je iets met een lineair
verband moet doen. Hierbij de belangrijkste zaken die je moet weten en wat oude
examenopgaven die erbij passen.
Hoe weet je of er sprake is van een lineair verband?
- Er is sprake van een lineair verband als de toename/afname constant is. Dus, per
tijdseenheid
komt er telkens hetzelfde bij of gaat er hetzelfde af.
- Soms wordt dit gewoon genoemd in de tekst ("er is sprake van een lineair
verband"), soms
kan je het zien aan een grafiek (rechte lijn), soms kan je het zien aan een formule
(die
is dan van de vorm y = ax + b) en soms kan je het afleiden uit een tabel (bij gelijke
toename
van x is er ook een gelijke toename van y).
Hoe stel je de formule op bij een lineair verband?
- Bij een lineair verband hoort een formule van de vorm y = ax + b.
(Eventueel met andere letters.)
- Je begint in principe altijd met het bepalen van de richtingscoëfficiënt. Daarvoor kan
je
gebruikmaken van delta y / delta x, oftewel "verticaal gedeeld door horizontaal".
Daarna vul
je een punt in om het begingetal te vinden.
Voorbeeld: Stel een formule op voor de rechte lijn door (4,10) en (8,30).
Uitwerking: * De formule is van de vorm y = ax + b.
* We vinden a = (30-10) / (8-4) = 20/4 = 5
* Dus, y = 5x + b
* Invullen van een punt levert: 10 = 5*4 + b = 20 + b
* Dus, b = -10
* De formule is dus y = 5x - 10
Hoe kan je interpoleren of extrapoleren bij een lineair verband?
- Interpoleren betekent dat bijvoorbeeld op basis van hoeveelheden op twee
verschillende
tijdstip inschat hoeveel het zou zijn geweest op een tijdstip tussen die twee bekende
momenten in. Bij lineair interpoleren ga je ervan uit dat de toename gelijkmatig over
de
periode verdeeld is.
Voorbeeld: In 2014 waren er 100 kikkers in een poel. In 2020 waren het er 250.
Bereken
m.b.v. lineair interpoleren hoeveel het er in 2018 geweest zijn.
Uitwerking: * In 2020 - 2014 = 6 jaar zijn er 250 - 100 = 150 kikkers bij gekomen.
* De toename per jaar was dus = 25.
* Het jaar 2018 is 4 jaar na het begin.
* Toen waren er dus naar verwachting 100 + 4 * 25 = 200.
- Extrapoleren werkt in principe net zo, maar dan met een tijdstip buiten de periode
waar
we iets van weten i.p.v. erin. Je gebruikt de tweede punten die het dichtst bij het
gevraagde
tijdstip zitten om de gemiddelde toename/afname te berekenen.
Voorbeeld: In 2010 waren er 100 ganzen in een vijver, in 2015 waren het er 160 en in
2018
Veel leerlingen hebben moeite met exponentiële groei. Hierbij de belangrijkste zaken
die je moet weten en wat oude examenopgaven die erbij passen.
Hoe herken je exponentiële groei?
- Er wordt telkens met dezelfde hoeveelheid vermenigvuldigd
Bijv: "een kolonie bacteriën verdubbelt iedere 3 uur"
- Er gaat telkens hetzelfde percentage bij/af
Bijv: "de hoeveelheid paracetamol in je bloed neemt ieder uur af met 25%"
- Soms staat het gewoon in de opgave: "er is sprake van exponentiële groei"
Welke formule hoort bij exponentiële groei?
- N = b * g^t
- Hierin is:
N de hoeveelheid op een tijdstip t
b de beginhoeveelheid
g de groeifactor
t het tijdstip
Hoe bepaal je de groeifactor?
- Als er gegeven is waar vermenigvuldigd mee wordt, dan is dát de groeifactor
Voorbeeld: "een kolonie bacteriën verdubbelt iedere 3 uur"
Uitwerking: de groeifactor per 3 uur is 2 (want verdubbelen hetzelfde als keer 2)
- Als een procentuele groei of afname vermeld is, bepaal met hoeveel procent je
eindigt en deel dat percentage door 100
Voorbeeld: "de hoeveelheid paracetamol in je bloed neemt ieder uur af met 25%"
Uitwerking: Als je met 100% begint dan heb je na een uur dus 100% - 25% = 75%,
dus de groeifactor per uur is 0,75
- Als je weet hoeveel iets was en hoeveel het wordt, dan doe je NIEUW / OUD
Voorbeeld: "in 2010 waren er 100.000 inwoners en in 2015 waren het er 150.000"
Uitwerking: de groeifactor per 5 jaar is 150..000 = 1,5.
Hoe reken je een groeifactor om
- Bedenk wat de nieuwe eenheid met de oude te maken heeft en verhef de
groeifactor
tot die macht.
Bijv: g_dag = 1,05 levert g_week = 1,05^7 (want een week is 7 dagen)
Bijv: g_uur = 1,05 levert g_kwartier = 1,05^(1/4) (want een kwartier
is 1/4 van een uur)
Hoe reken je een groeipercentage om
- Werk altijd via de groeifactor!
Voorbeeld: "Iets groeit met 10% per week. We willen de groei per dag weten."
Uitwerking: * Eerst de groeifactor: g_week = 1,10
* Dan naar de goede eenheid: g_dag = 1,10^(1/7) = 1,0137
* Dan weer naar percentage: de groei per dag is 1,4%
Hoe stel je een formule op bij een exponentieel verband?
- Bepaal eerst de groeifactor en dan de beginhoeveelheid.
Voorbeeld: "Een hoeveelheid groeit exponentieel van N=100 op t=4
tot N=400 op t=7."
Uitwerking: * De groeifactor per 3 dagen is = 4.
* De groeifactor per dag is dus 4^(1/3) = 1,5874...
,* De beginhoeveelheid is ,5874...^4 = 15,75
* De formule is dus N = 15,75 * 1,587^t
Hoe vind je de procentuele groei gegeven een verdubbelingstijd?
- Bedenk dat er in verdubbelingstijd precies met twee vermenigvuldigd wordt. Dat is
dus de groeifactor.
Voorbeeld: "De verdubbelingstijd is 5 jaar. Hoeveel procent komt erbij per jaar?"
Uitwerking: * de groeifactor per 5 jaar is 2
* de groeifactor per jaar is dus 2^(1/5) = 1,1486...
* de jaar komt er dus 14,9% bij
Hoe vind je de verdubbelingstijd gegeven een procentuele groei?
- Bedenk dat er in de verdubbelingstijd met 2 wordt vermenigvuldigd en gebruik
INTSECT.
Voorbeeld: "de procentuele groei is 15% per uur. Wat is de verdubbelingstijd?"
Uitwerking: * de groeifactor per uur is 1,15
* we lossen op: 1,15^t = 2
* GSolv-INTSECT geeft t = 4,959...
* De verdubbelingstijd is dus 5,0 jaar.
BELANGRIJKSTE AANDACHTSPUNTEN:
- Werk bij exponentiële groei altijd met de groeifactor
- Gebruik altijd een macht om een groeifactor om te rekenen
- Halveringstijd gaat net als verdubbelingstijd, maar dan met 0,5 i.p.v. met 2
Nuttige examensommen:
- 2015-I opgave 13 (https://static.examenblad.nl/9336115/d/ex2015/VW-1024-f-15-1-
o.pdf)
- 2015-II opgave 3 (https://static.examenblad.nl/9336115/d/ex2015/VW-1024-f-15-2-
o.pdf)
- 2016-II opgave 9 (https://static.examenblad.nl/9336116/d/ex2016/vw-1024-f-16-2-
o.pdf)
- 2017-I opgave 8 (https://static.examenblad.nl/9336117/d/ex2017/VW-1024-f-17-1-
o_HV.pdf)
- 2017-II opgave 9 (https://static.examenblad.nl/9336117/d/ex2017/VW-1024-f-17-2-
o.pdf)
, Lineaire verbanden
In vrijwel ieder eindexamen zitten meerdere opgaven waarbij je iets met een lineair
verband moet doen. Hierbij de belangrijkste zaken die je moet weten en wat oude
examenopgaven die erbij passen.
Hoe weet je of er sprake is van een lineair verband?
- Er is sprake van een lineair verband als de toename/afname constant is. Dus, per
tijdseenheid
komt er telkens hetzelfde bij of gaat er hetzelfde af.
- Soms wordt dit gewoon genoemd in de tekst ("er is sprake van een lineair
verband"), soms
kan je het zien aan een grafiek (rechte lijn), soms kan je het zien aan een formule
(die
is dan van de vorm y = ax + b) en soms kan je het afleiden uit een tabel (bij gelijke
toename
van x is er ook een gelijke toename van y).
Hoe stel je de formule op bij een lineair verband?
- Bij een lineair verband hoort een formule van de vorm y = ax + b.
(Eventueel met andere letters.)
- Je begint in principe altijd met het bepalen van de richtingscoëfficiënt. Daarvoor kan
je
gebruikmaken van delta y / delta x, oftewel "verticaal gedeeld door horizontaal".
Daarna vul
je een punt in om het begingetal te vinden.
Voorbeeld: Stel een formule op voor de rechte lijn door (4,10) en (8,30).
Uitwerking: * De formule is van de vorm y = ax + b.
* We vinden a = (30-10) / (8-4) = 20/4 = 5
* Dus, y = 5x + b
* Invullen van een punt levert: 10 = 5*4 + b = 20 + b
* Dus, b = -10
* De formule is dus y = 5x - 10
Hoe kan je interpoleren of extrapoleren bij een lineair verband?
- Interpoleren betekent dat bijvoorbeeld op basis van hoeveelheden op twee
verschillende
tijdstip inschat hoeveel het zou zijn geweest op een tijdstip tussen die twee bekende
momenten in. Bij lineair interpoleren ga je ervan uit dat de toename gelijkmatig over
de
periode verdeeld is.
Voorbeeld: In 2014 waren er 100 kikkers in een poel. In 2020 waren het er 250.
Bereken
m.b.v. lineair interpoleren hoeveel het er in 2018 geweest zijn.
Uitwerking: * In 2020 - 2014 = 6 jaar zijn er 250 - 100 = 150 kikkers bij gekomen.
* De toename per jaar was dus = 25.
* Het jaar 2018 is 4 jaar na het begin.
* Toen waren er dus naar verwachting 100 + 4 * 25 = 200.
- Extrapoleren werkt in principe net zo, maar dan met een tijdstip buiten de periode
waar
we iets van weten i.p.v. erin. Je gebruikt de tweede punten die het dichtst bij het
gevraagde
tijdstip zitten om de gemiddelde toename/afname te berekenen.
Voorbeeld: In 2010 waren er 100 ganzen in een vijver, in 2015 waren het er 160 en in
2018
