[Bedrijfsnaam]
Redeneren & Bewijzen
Wiskunde
Deze samenvatting is gebaseerd op de reader van Instituut Archimedes
(vakgroep wiskunde). Het instituut maakt op hun beurt grotendeels
gebruik van het werk: Syllabus algebra en bewijzen (1 & 2) door
J. Otten, Fontys Lerarenopleidingen.
, 1
Inhoud
Voorkennis
Getalverzamelingen
Deelbaarheid
Grootste gemene deler
Niveaus van zekerheid
Drie niveaus van zekerheid
Definities en stellingen
Logica en bewijsmethoden
Beweringen met kwantoren
Samengestelde beweringen
Bewijs uit het ongerijmde
Bewijs door volledige inductie
Het ladenprincipe en de soepketelmethode
Getaltheorie
Lineaire Diophantische vergelijkingen
Modulorekenen
, 2
Voorkennis
Getalverzamelingen
- Natuurlijke getallen N=¿ {0,1,2,3…..}
- Positief natuurlijke getallen N +¿ of N ={1,2,3 ….. }¿
¿0
- Gehele getallen Z=¿ {…-3. -2. -1, 0, 1, 2, 3 ….}
- Rationale getallen Q=¿ {…als breuk te schrijven…)
Q= {ab : a , b∈ Z , b ≠ 0}
- Reële getallen R=¿ { .. niet als breuk te
schrijven….bv √2}
- Complexe getallen C={ a+ bi|a , b ∈ R }
- Even getallen E={... ,−6 ,−4 ,−2 , 0,2 , 4 , 6 , … ..}
- Oneven getallen O={... ,−5 ,−3 ,−1 ,1 , 3 ,5 , … }
- Priemgetallen P={2 ,3 , 5 , 7 ,11. 13 … ..}
- N ⊂ Z ⊂Q⊂ R ⊂ C (⊂ ‘is een ware deelverzameling van’)
Deelbaarheid
, 3
Definitie van deler
Voor alle gehele getallen a en b geldt:
“b is deler van a : betekent: “er bestaat een geheel getal q , zó, dat
a=b ∙ q.
Notatie: is deler van a : b∨a
Definitie van priemgetal
Voor natuurlijke getallen n ongelijk aan nul en ongelijk aan 1 geldt: “n
is een priemgetal” betekent: “n heeft precies twee positieve delers”.
Elk natuurlijk getal (behalve 0 en 1) heeft een priemfactorontbinding. Je
kunt uit deze ontbinding het aantal positieve delers van dat natuurlijk
getal bepalen.
Grootste gemene deler
Definitie van grootste gemene deler (ggd)l
De ggd van de gehele getallen a en b is het grootste gehele getal d
waarvoor geldt:
d is deler van a ……..en d is deler van b
Notatie: ggd (a , b)
Voorbeeld priemfactorontbinding:
Bepaal de ggd van de getallen 72 en 120 middels priemfactorontbinding:
3
72=2 ∙ 3
2
& 120=23 ∙ 3 ∙5 .
Bekijk de gemeenschappelijke priemfactoren zijn: 23 ∙3. Dit is 24. Dus de
ggd(72, 120) = 24.
Algoritme van Euclides
Dit algoritme berust op het delen met rest. De definitie:
, 4
Beschouw de gehele getallen a en b met b≠ 0. Het quotiënt
q van a en b en de rest van r van a en b zijn de twee gehele getallen waarvoor
geldt: waarvoor geldt:
a=q ∙ b+r met 0 ≤ r ≤|b|
Voorbeeld: bepaal (wederom) ggd(120, 72):
a = 120 en b = 36 → 120 = 1 x 72 + 48
a = 72 en b = 48 → 72 = 1 x 48 + 24
a = 48 en b = 24 → 48 = 2 x 24 + 0
Bij de laatst stap is er geen rest meer en dus: ggd(120,72) = 24
(Bij berekeningen is het schrijven zoals in de rechter voldoende).
Het algoritme van Euclides berust op twee eigenschappen:
I Voor alle a, b, q, r ∈ Z geldt: Als a = q ∙ b + r, dan is
ggd(a, b) = ggd(b, r);
II Als a ∈ {1, 2, 3, ...} dan geldt: ggd(a, 0) = a.
En het berust op het volgende feit:
III Het proces is dus niet oneindig lang, maar stopt uiteindelijk.
Niveaus van zekerheid
Redeneren & Bewijzen
Wiskunde
Deze samenvatting is gebaseerd op de reader van Instituut Archimedes
(vakgroep wiskunde). Het instituut maakt op hun beurt grotendeels
gebruik van het werk: Syllabus algebra en bewijzen (1 & 2) door
J. Otten, Fontys Lerarenopleidingen.
, 1
Inhoud
Voorkennis
Getalverzamelingen
Deelbaarheid
Grootste gemene deler
Niveaus van zekerheid
Drie niveaus van zekerheid
Definities en stellingen
Logica en bewijsmethoden
Beweringen met kwantoren
Samengestelde beweringen
Bewijs uit het ongerijmde
Bewijs door volledige inductie
Het ladenprincipe en de soepketelmethode
Getaltheorie
Lineaire Diophantische vergelijkingen
Modulorekenen
, 2
Voorkennis
Getalverzamelingen
- Natuurlijke getallen N=¿ {0,1,2,3…..}
- Positief natuurlijke getallen N +¿ of N ={1,2,3 ….. }¿
¿0
- Gehele getallen Z=¿ {…-3. -2. -1, 0, 1, 2, 3 ….}
- Rationale getallen Q=¿ {…als breuk te schrijven…)
Q= {ab : a , b∈ Z , b ≠ 0}
- Reële getallen R=¿ { .. niet als breuk te
schrijven….bv √2}
- Complexe getallen C={ a+ bi|a , b ∈ R }
- Even getallen E={... ,−6 ,−4 ,−2 , 0,2 , 4 , 6 , … ..}
- Oneven getallen O={... ,−5 ,−3 ,−1 ,1 , 3 ,5 , … }
- Priemgetallen P={2 ,3 , 5 , 7 ,11. 13 … ..}
- N ⊂ Z ⊂Q⊂ R ⊂ C (⊂ ‘is een ware deelverzameling van’)
Deelbaarheid
, 3
Definitie van deler
Voor alle gehele getallen a en b geldt:
“b is deler van a : betekent: “er bestaat een geheel getal q , zó, dat
a=b ∙ q.
Notatie: is deler van a : b∨a
Definitie van priemgetal
Voor natuurlijke getallen n ongelijk aan nul en ongelijk aan 1 geldt: “n
is een priemgetal” betekent: “n heeft precies twee positieve delers”.
Elk natuurlijk getal (behalve 0 en 1) heeft een priemfactorontbinding. Je
kunt uit deze ontbinding het aantal positieve delers van dat natuurlijk
getal bepalen.
Grootste gemene deler
Definitie van grootste gemene deler (ggd)l
De ggd van de gehele getallen a en b is het grootste gehele getal d
waarvoor geldt:
d is deler van a ……..en d is deler van b
Notatie: ggd (a , b)
Voorbeeld priemfactorontbinding:
Bepaal de ggd van de getallen 72 en 120 middels priemfactorontbinding:
3
72=2 ∙ 3
2
& 120=23 ∙ 3 ∙5 .
Bekijk de gemeenschappelijke priemfactoren zijn: 23 ∙3. Dit is 24. Dus de
ggd(72, 120) = 24.
Algoritme van Euclides
Dit algoritme berust op het delen met rest. De definitie:
, 4
Beschouw de gehele getallen a en b met b≠ 0. Het quotiënt
q van a en b en de rest van r van a en b zijn de twee gehele getallen waarvoor
geldt: waarvoor geldt:
a=q ∙ b+r met 0 ≤ r ≤|b|
Voorbeeld: bepaal (wederom) ggd(120, 72):
a = 120 en b = 36 → 120 = 1 x 72 + 48
a = 72 en b = 48 → 72 = 1 x 48 + 24
a = 48 en b = 24 → 48 = 2 x 24 + 0
Bij de laatst stap is er geen rest meer en dus: ggd(120,72) = 24
(Bij berekeningen is het schrijven zoals in de rechter voldoende).
Het algoritme van Euclides berust op twee eigenschappen:
I Voor alle a, b, q, r ∈ Z geldt: Als a = q ∙ b + r, dan is
ggd(a, b) = ggd(b, r);
II Als a ∈ {1, 2, 3, ...} dan geldt: ggd(a, 0) = a.
En het berust op het volgende feit:
III Het proces is dus niet oneindig lang, maar stopt uiteindelijk.
Niveaus van zekerheid
