Samenvatting Statistiek 1B
College 1
Statistische inferentie
Statistic: beschrijft de steekproef, x , ^p
Parameter: beschrijft de populatie, μ, p
Statistische inferentie gebruikt statistics (steekproef) bij het nemen van beslissingen en het maken van
voorspellingen over parameters (populatie)
Doel: conclusies trekken, beslissingen nemen, voorspellingen maken
- Betrouwbaarheidsintervallen > Gaat over de nauwkeurigheid van het schatten van de waarde
van een parameter
- Significantietoetsen > Gaat over het verkrijgen van bewijs tegen een claim
Beide methodes gebaseerd op Sampling distributions van statistics (Wat zou er gebeuren als we dit
onderzoek heeeeel vaak herhalen)
Voorwaarden: probability model vd data, correcte onderzoeksopzet (properly randomized design)
Basis: Sampling distributions
Steekproefgemiddelde x is een unbiased estimator voor populatiegemiddelde μ en uniek voor elke
steekproef
Bias: Vertelt iets over het centrum van de sampling distribution, Geeft alleen aan of er sprake is van over
of onderschatting
Variabiliteit: Vertelt iets over de spreiding van de sampling distribution, Maten voor spreiding: variantie,
standaarddeviatie, margin of error
CLS: als de n groot is dan is de sampling distribution normaal verdeeld.
(
x is ongeveer N μ ,
σ
√n )
Dit geldt ongeacht de vorm vd populatieverdeling
Voorwaarde: SRS, eindige σ en voldoende grote n
Als X N ( μ , σ ) dan is x exact normaal verdeeld, ook bij kleine n
Betrouwbaarheid
Aannames hoofdstuk 6:
- SRS uit de populatie
- Normale populatieverdeling
- Populatiegemiddelde µ is onbekend maar populatiestandaarddeviatie σ is wel bekend
Twee soorten schatters:
Puntschatter: een enkel getal dat de beste gok is voor de parameter (bv steekproefgemiddelde)
Intervalschatter: een interval van getallen dat de parameterwaarde hopelijk zal bevatten (BHI)
,Betrouwbaarheidsinterval: Een interval dat de parameter in een bepaald percentage
(Betrouwbaarheidsniveau) van de gevallen bevat, bij herhaalde steekproeven
Betrouwbaarheidsniveau: de kans dat deze methode in the long run een interval produceert dat de
parameter bevat.
68-95-99.7 regel: binnen 2x de standaarddeviatie van het steekproef gemiddelde is 95%
betrouwbaarheidsniveau > Als we heel vaak een steekproef trekken en elke keer interval x ± 2 xs
opstellen, dan zullen 95% van deze intervallen µ bevatten
Site voor BHI’s: https://digitalfirst.bfwpub.com/stats_applet/stats_applet_4_ci.html
Interpretatie BHI
Geen 95% kans/zekerheid dat µ in BHI ligt
Deze methode geeft bij veel herhaalde steekproeven in 95% vd gevallen een correct resultaat
Een BHI bevat µ wel of niet.
Wel: Als ons steekproefgemiddelde in het midden van de sampling distribution ligt, welke waarden
zouden dan 95% van de waarden in deze verdeling bevatten?
De waarden binnen het 95% BHI zijn niet ongeloofwaardig/implausibel
Betrouwbaarheidsintervallen
Tabel A – standard normal distribution
z-scores in plaats van vuistregel
schatter ± margin of error
Schatter = de beste gok voor de parameterwaarde (steekproefgemiddelde, CLS): x
Margin of error = indicatie van de nauwkeurigheid van de schatter, gebaseerd op de variabiliteit en
¿ σ
gekozen betrouwbaarheidsniveau: z
√n
Elke normale verdeling heeft kans C tussen z* standaarddeviaties onder en boven gemiddelde
Kies een SRS van grootte n uit een populatie met onbekend gemiddelde µ en een bekende
standaarddeviatie σ
¿ σ
BHI: x ± z
√n
Gewenste eigenschappen BHI’s:
- Hoge betrouwbaarheid C, 95% meest gebruikelijk
- Kleine margin of error, nauwkeurige schatting
Hoe smaller het BHI, hou nauwkeuriger de schatting van de parameter
Breedte wordt bepaald door:
- Betrouwbaarheidsniveau C (kritieke waarde z), je levert in op betrouwbaarheid als de
nauwkeurigheid hoger wordt
, - Populatiestandaarddeviatie σ, hoe kleiner σ, hoe smaller het BHI
- Steekproefgrootte n, hoe groter n, hoe smaller het BHI
Steekproefgrootte n kiezen
Kunnen we vooraf een inschatting maken van hoe groot we n moeten kiezen om een C% BHI van een
bepaalde breedte te krijgen?
Margin of error moet voldoende klein zijn:
( )
z¿ σ 2
¿ σ
m=z ⇔ n=
√n m
Waarschuwingen:
- SRS uit een populatie is noodzakelijk
- x is gevoelig voor outliers
- Populatie moet normaal zijn
- σ vaak niet bekend
College 2
Significantietoetsing
Een formele procedure die een vergelijking maakt tussen wat we waargenomen hebben en een bepaalde
hypothese die we willen toetsen.
Resultaat: Een kans die aangeeft hoe goed de data en hypothese overeenkomen
Als de kans heel klein is: óf we hebben iets uitzonderlijks waargenomen óf de hypothese is onjuist
Gevolg: je neemt afstand van de hypothese
Als je kans niet klein is: weinig bewijs tegen de hypothese
Gevolg: je neemt geen afstand van de hypothese
Stappen significantietoetsing:
1. Assumpties
2. Formuleer nulhypothese H0 en alternatieve hypothese Ha
De toets is ontworpen zodat er bewijs tegen H0 verzameld wordt
3. Bereken de test statistic die hoort bij de toets
Deze statisti geeft aan hoe ver de data van H0 afligt
4. Bepaal de P-value voor de geobserveerde data
Dit is de kans op een minstens zo extreem resultaat als waargenomen, gegeven dat H0 waar
is
5. Formuleer een conclusie
Vergelijk de p-value met een vooraf gekozen significatie niveau α om te beslissen of je
voldoende bewijs tegen H0 hebt
, Stap 1: Assumpties
Elke significantie toets gaat uit van aannames/assumpties over:
- Data verzameld via random sampling of randomized experiment
- Soort data (kwantitatieve of categorische data)
- Vorm van de populatieverdeling
- Steekproefgrootte (CLS?)
Stap 2: Opstellen hypothesen
Nulhypothese H0: Specifiek standpunt over de populatieparameter(s)
Alternatieve hypothese Ha (H1): Algemener standpunt, sluit de nulhypothese uit
Significantietoets doet een uitspraal over de sterkte van het bewijs tegen H0 gegeven Ha
Stap 3: Test statistic
- De test is gebaseerd op de statistic die dient als schatter (net zoals bij BHI)
- Als H0 waar is verwachten we een uitkomst van de statistic die in de buurt komt van de
parameterwaarde genoemd in H0
- Waarden van de statistic die ver van deze waarde afliggen leveren bewijs tegen H0
- Ha bepaalt de richting van het bewijs tegen H0
- Hoe ver ligt de schatter van de hypothetische waarde?
Standaardiseer de schatter
Algemene vorm:
schatter −hypothetische waarde
standaarddeviatie van schatter
Test statistic
- Geeft weer hoe goed de data past bij de nulhypothese
- Is een random variabele
- Heeft een kansverdeling (probability distribution) die we kennen
- CLS (als de n groot is dan is de sampling distribution ongeveer normaal verdeeld)
Stap 4: P-value
P-waarde = De kans dat de test statistic een nog extremere waarde aanneemt dan waargenomen onder
de voorwaarde dat H0 waar is.
Hoe kleiner de P-value, hoe sterker het bewijs tegen H0
Gebruik de sampling distribution om de P-value te bepalen
- als de test normaal verdeeld is, kunnen we een z-statistic gebruiken en dus de standaardnormale
verdeling
Stap 5: Conclusie
Is het verschil tussen de nulhypothese en de waarnemingen van een random steekproef te verklaren
door toeval?
College 1
Statistische inferentie
Statistic: beschrijft de steekproef, x , ^p
Parameter: beschrijft de populatie, μ, p
Statistische inferentie gebruikt statistics (steekproef) bij het nemen van beslissingen en het maken van
voorspellingen over parameters (populatie)
Doel: conclusies trekken, beslissingen nemen, voorspellingen maken
- Betrouwbaarheidsintervallen > Gaat over de nauwkeurigheid van het schatten van de waarde
van een parameter
- Significantietoetsen > Gaat over het verkrijgen van bewijs tegen een claim
Beide methodes gebaseerd op Sampling distributions van statistics (Wat zou er gebeuren als we dit
onderzoek heeeeel vaak herhalen)
Voorwaarden: probability model vd data, correcte onderzoeksopzet (properly randomized design)
Basis: Sampling distributions
Steekproefgemiddelde x is een unbiased estimator voor populatiegemiddelde μ en uniek voor elke
steekproef
Bias: Vertelt iets over het centrum van de sampling distribution, Geeft alleen aan of er sprake is van over
of onderschatting
Variabiliteit: Vertelt iets over de spreiding van de sampling distribution, Maten voor spreiding: variantie,
standaarddeviatie, margin of error
CLS: als de n groot is dan is de sampling distribution normaal verdeeld.
(
x is ongeveer N μ ,
σ
√n )
Dit geldt ongeacht de vorm vd populatieverdeling
Voorwaarde: SRS, eindige σ en voldoende grote n
Als X N ( μ , σ ) dan is x exact normaal verdeeld, ook bij kleine n
Betrouwbaarheid
Aannames hoofdstuk 6:
- SRS uit de populatie
- Normale populatieverdeling
- Populatiegemiddelde µ is onbekend maar populatiestandaarddeviatie σ is wel bekend
Twee soorten schatters:
Puntschatter: een enkel getal dat de beste gok is voor de parameter (bv steekproefgemiddelde)
Intervalschatter: een interval van getallen dat de parameterwaarde hopelijk zal bevatten (BHI)
,Betrouwbaarheidsinterval: Een interval dat de parameter in een bepaald percentage
(Betrouwbaarheidsniveau) van de gevallen bevat, bij herhaalde steekproeven
Betrouwbaarheidsniveau: de kans dat deze methode in the long run een interval produceert dat de
parameter bevat.
68-95-99.7 regel: binnen 2x de standaarddeviatie van het steekproef gemiddelde is 95%
betrouwbaarheidsniveau > Als we heel vaak een steekproef trekken en elke keer interval x ± 2 xs
opstellen, dan zullen 95% van deze intervallen µ bevatten
Site voor BHI’s: https://digitalfirst.bfwpub.com/stats_applet/stats_applet_4_ci.html
Interpretatie BHI
Geen 95% kans/zekerheid dat µ in BHI ligt
Deze methode geeft bij veel herhaalde steekproeven in 95% vd gevallen een correct resultaat
Een BHI bevat µ wel of niet.
Wel: Als ons steekproefgemiddelde in het midden van de sampling distribution ligt, welke waarden
zouden dan 95% van de waarden in deze verdeling bevatten?
De waarden binnen het 95% BHI zijn niet ongeloofwaardig/implausibel
Betrouwbaarheidsintervallen
Tabel A – standard normal distribution
z-scores in plaats van vuistregel
schatter ± margin of error
Schatter = de beste gok voor de parameterwaarde (steekproefgemiddelde, CLS): x
Margin of error = indicatie van de nauwkeurigheid van de schatter, gebaseerd op de variabiliteit en
¿ σ
gekozen betrouwbaarheidsniveau: z
√n
Elke normale verdeling heeft kans C tussen z* standaarddeviaties onder en boven gemiddelde
Kies een SRS van grootte n uit een populatie met onbekend gemiddelde µ en een bekende
standaarddeviatie σ
¿ σ
BHI: x ± z
√n
Gewenste eigenschappen BHI’s:
- Hoge betrouwbaarheid C, 95% meest gebruikelijk
- Kleine margin of error, nauwkeurige schatting
Hoe smaller het BHI, hou nauwkeuriger de schatting van de parameter
Breedte wordt bepaald door:
- Betrouwbaarheidsniveau C (kritieke waarde z), je levert in op betrouwbaarheid als de
nauwkeurigheid hoger wordt
, - Populatiestandaarddeviatie σ, hoe kleiner σ, hoe smaller het BHI
- Steekproefgrootte n, hoe groter n, hoe smaller het BHI
Steekproefgrootte n kiezen
Kunnen we vooraf een inschatting maken van hoe groot we n moeten kiezen om een C% BHI van een
bepaalde breedte te krijgen?
Margin of error moet voldoende klein zijn:
( )
z¿ σ 2
¿ σ
m=z ⇔ n=
√n m
Waarschuwingen:
- SRS uit een populatie is noodzakelijk
- x is gevoelig voor outliers
- Populatie moet normaal zijn
- σ vaak niet bekend
College 2
Significantietoetsing
Een formele procedure die een vergelijking maakt tussen wat we waargenomen hebben en een bepaalde
hypothese die we willen toetsen.
Resultaat: Een kans die aangeeft hoe goed de data en hypothese overeenkomen
Als de kans heel klein is: óf we hebben iets uitzonderlijks waargenomen óf de hypothese is onjuist
Gevolg: je neemt afstand van de hypothese
Als je kans niet klein is: weinig bewijs tegen de hypothese
Gevolg: je neemt geen afstand van de hypothese
Stappen significantietoetsing:
1. Assumpties
2. Formuleer nulhypothese H0 en alternatieve hypothese Ha
De toets is ontworpen zodat er bewijs tegen H0 verzameld wordt
3. Bereken de test statistic die hoort bij de toets
Deze statisti geeft aan hoe ver de data van H0 afligt
4. Bepaal de P-value voor de geobserveerde data
Dit is de kans op een minstens zo extreem resultaat als waargenomen, gegeven dat H0 waar
is
5. Formuleer een conclusie
Vergelijk de p-value met een vooraf gekozen significatie niveau α om te beslissen of je
voldoende bewijs tegen H0 hebt
, Stap 1: Assumpties
Elke significantie toets gaat uit van aannames/assumpties over:
- Data verzameld via random sampling of randomized experiment
- Soort data (kwantitatieve of categorische data)
- Vorm van de populatieverdeling
- Steekproefgrootte (CLS?)
Stap 2: Opstellen hypothesen
Nulhypothese H0: Specifiek standpunt over de populatieparameter(s)
Alternatieve hypothese Ha (H1): Algemener standpunt, sluit de nulhypothese uit
Significantietoets doet een uitspraal over de sterkte van het bewijs tegen H0 gegeven Ha
Stap 3: Test statistic
- De test is gebaseerd op de statistic die dient als schatter (net zoals bij BHI)
- Als H0 waar is verwachten we een uitkomst van de statistic die in de buurt komt van de
parameterwaarde genoemd in H0
- Waarden van de statistic die ver van deze waarde afliggen leveren bewijs tegen H0
- Ha bepaalt de richting van het bewijs tegen H0
- Hoe ver ligt de schatter van de hypothetische waarde?
Standaardiseer de schatter
Algemene vorm:
schatter −hypothetische waarde
standaarddeviatie van schatter
Test statistic
- Geeft weer hoe goed de data past bij de nulhypothese
- Is een random variabele
- Heeft een kansverdeling (probability distribution) die we kennen
- CLS (als de n groot is dan is de sampling distribution ongeveer normaal verdeeld)
Stap 4: P-value
P-waarde = De kans dat de test statistic een nog extremere waarde aanneemt dan waargenomen onder
de voorwaarde dat H0 waar is.
Hoe kleiner de P-value, hoe sterker het bewijs tegen H0
Gebruik de sampling distribution om de P-value te bepalen
- als de test normaal verdeeld is, kunnen we een z-statistic gebruiken en dus de standaardnormale
verdeling
Stap 5: Conclusie
Is het verschil tussen de nulhypothese en de waarnemingen van een random steekproef te verklaren
door toeval?
