Table des matières
Chapitre 1 : LES DERIVES....................................................................................... 1
I) Généralité sur l’optimisation.........................................................................2
II) Optimisation sans contraintes......................................................................2
III) Optimisation sous contraintes prenant la forme d’équations : le
Lagrangien.......................................................................................................... 3
A) Le cas d’une contrainte............................................................................. 3
B) Cas à m contraintes.................................................................................. 3
IV) Limites d’une fonction............................................................................... 5
V) Tangente d’une équation.............................................................................. 7
VI) Asymptotes................................................................................................ 7
A) Asymptotes horizontale............................................................................. 7
B) Asymptote verticale................................................................................... 8
C) Asymptote oblique....................................................................................... 9
Chapitre 2 : Eléments sur les ensembles..............................................................10
I) Ensembles.................................................................................................. 10
A) Notion d’ensemble................................................................................... 10
B) Parties d’un ensemble............................................................................. 11
C) Opérations sur les ensembles..................................................................12
Chapitre 3 : Les matrices...................................................................................... 16
I) Définitions................................................................................................... 16
II) Opération sur les matrices..........................................................................16
A) Addition de deux matrices.......................................................................16
B) Multiplication par un réel.........................................................................16
C) Multiplicateur de matrice.........................................................................17
D) Transposition de matrices........................................................................18
III) Matrices carrées, matrices élémentaires.................................................18
A) Matrice carrées........................................................................................ 18
1
,Chapitre 1 : LES DERIVES.
Définition : La fonction f définie au voisinage du point à est dérivable en a ssi :
f ( x )−f ( a )
lim existe et est finis.
x→ a x−a
df ( a )
On note f’(a) la dérivée de f en a ou encore dx
Si u et v sont dérivables (u et v : deux fonctions), a et b deux constantes ? On a
les formules suivantes :
( u+ v )' =u ' + v ' ( au )' =au '
F(x) F’(x) ( uv )' =u' v+ uv '
A 0
u ' u' v−u v '
X
Xn
1
nxn-1 ()v
=
v
2
1 −1
x x2
EXEMPLE : u(x)=x² v(x)= 3x
1 −n (x²+3x)’=(x²)+(3x)’ = 2x+3
xn x n−1
u(x)=x² u’(x)= 2x a=3
√x 1
au’(x)=6x
2√x
ln x 1 Propriété : ln ea = a
x elna = a
eu= ln e * u’*eu
ex ex
x x EXEMPLE
a ln a* a Dériver les fonctions suivantes :
f(u(x f’(u(x))
1)f(x) = 4x²-3x+1
))
n n−1 2) g(x) = (2x+3) (3x+7)
u Nu’ u 1
3) h(t) = (2t+4) (3t-1) pour t ≠ de
1 −u
'
3
u u²
4) k(w) = 2w²+3w+1
1 −n u
'
5) l(x) = e
3 x−2
un u n+1 6) m(K) = ln(3K²-2)
' 2 L²
√u u 7) n(L) = 9
2 √u
ln u Pour les réponses : voir feuille jointe.
u'
u
eu u
u’ e
au ln a * u’ *
au
2
, I) Généralité sur l’optimisation
Notion et définitions
Un programme d’optimisation s’écrit typiquement sous la forme :
max f ( x1 , x2 , … , x n )
x 1 , x 2 ,… ,x n
P
s . c contraintes ( j ) ∀ j=1, … , n
S’il s’agit d’un programme de maximisation, sinon, se sera écrit Min et non Max.
La fonction f est appelée la fonction objectif. Le programme consiste à chercher
les valeurs (x1*, x2*,…, xn*) pour laquelle, la valeur de cette fonction est
maximale ou minimale. On appelle « optimum » la solution d’un programma de
maximisation.
Les contraintes peuvent prendre plusieurs formes distinctes :
● Les contraintes en équations → G j(x1,x2,…,xn) = Cj ∀ j=1, … , m (m étant le
nombre total de contraintes et j prenant les valeurs de 1 à m).
● Les contraintes en inéquations → Gj(x1,x2,…,xn) ≤ Cj ∀ j=1, … , m
● Les contraintes de non négativité → xi ≥ 0 ∀ i=1,… , n (n étant le nombre
total de variable)
Définitions :
Maximum, minimum → La valeur x* qui résout le programme P est un maximum
de la fonction f sous les contraintes du programme.
Optimum local : La variable x* est un maximum local d’une fonction f définie sur
x∗¿
¿
l’ensemble convexe S. x −x∗¿
¿
⟺ ∃ε > 0 tel que f ( x ) ≤ f ¿
Optimum global : La variable x* est un maximum global d’une fonction f définie
x∗¿
sur l’ensemble convexe S. ¿
⟺ f ( x )≤ f ¿
Remarque : Transformation des programmes des maximisation/minimisation :
Tous programme de minimisation peut aisément être transformé en
programme de maximisation en remplaçant la fonction objectif f par son opposé –
f.
max f (x) min −f (x )
x ↔ x
s.c contraintes s.c contrainte.
3
,Conditions nécessaires et suffisantes d’inexistence d’un optimum.
Pour trouver la solution x* d’un programme d’optimisation, on distingue
traditionnellement deux types de conditions :
● Les conditions de premier ordre (CPO) sont les conditions nécessaires
que doit vérifier un optimum, s’il existe. Ces conditions s’écrivent comme un
système d’équation ou d’inéquations dont la résolution permet de trouver x*.
● Les conditions du second ordre (CSO) garantissent que les conditions du
1er ordre sont suffisantes pour que x* soit bien la solution du programme
d’optimisation.
II) Optimisation sans contraintes.
On considère le programme de maximisation suivant : P: Max de x f ( x )
CPO : si x* est une solution du programme de maximisation P, alors x* vérifie :
df ( x )
=0
dx
2
d f (x)
COS : pour un optimum global : ● ≤ 0 ∀ x f est concave → x∗est un max global
dx ²
f’’(x) ≤ 0
d2 f ( x )
● ≥ 0 ∀ x ( f est convexe ) → x∗est un minimum global .
d x2
III) Optimisation sous contraintes prenant la forme d’équations :
le Lagrangien
A) Le cas d’une contrainte.
On considère le programme de maximisation P suivant :
max f (x)
x
P
s.c g(x) =c
Lagrangien : On appelle Lagrangien, noté L, la fonction L(x ;λ)= f(x) + λ (c – g(x))
où la variable λ désigne le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte.
CPO : si le vecteur x*= (x1*,x2*,…,xn*) est une solution du programme de
maximisation P, alors il existe un unique λ* tel que x* vérifie les n+1 conditions
suivantes :
∂L(x, λ) ∂L(x, λ)
=0 ∀ i=1, … , n =0 ⟺ c−g ( x )=0 ⟺ g ( x )=c
∂x ∂λ
4
, B) Cas à m contraintes
Le programme se généralise aisément au cas à m contraintes.
max f (x)
x
P
s.c gj(x) = Cj ∀ j=1, … , m
Le Lagrangien va s’écrire:
m
L ( x , λ )=f ( x ) + ∑ λj ( Cj−gj ( x ) ) ∀ j=1 … mavec λ=( λ 1, … , λm )
j=1
Remarque : Optimisation sous contraintes prenant la forme d’inéquation.
On considère le programme P suivant :
max f (x)
x
P
s.c gj(x)≤ Cj ∀ j= 1,…,m
Deux situations sont envisageables pour chaque contrainte j :
● Soit gj(x)=Cj : dans ce cas, on dit que la contrainte j est saturée à l’optimum.
● Soit gj(x) < Cj : on dit que la contrainte est non saturée à l’optimum.
Exercice : Résoudre le programme d’optimisation suivant :
1 2
3 3
Max f ( x , y )=3 x y
x, y
P
s.c 90=5x+5y
On commence par écrire le Lagrangien : L ( x , y , λ )=f ( x , y ) + λ ( c−g ( x ))
1 2
3 3
¿ 3 x y + λ ( 90−5 x−5 y )
∂ L ( x , y , λ)
Ensuite on calcule la dérivée par rapport à x : =0
∂x
−2 2
3∗1 3 −2 2 −2 2
⟺ x ∗y 3∗−5 λ=0 ⟺x 3
y 3 −5 y=0 ⟺x 3
y 3 =5 λ 1¿
3
5
, −1 1
∂ L ( x , y , λ) 2
On calcule a dérivée par rapport à Y : =0 ⟺ y 3
3 x 3 −5 λ=0
∂y 3
−1 1 −1 1
⟺2 y 3
x 3 −5 λ=0 ⟺2 y 3
x 3 =5 λ 2 ¿
∂ L ( x , y , λ)
On calcule enfin la dérivée par rapport à λ : =0
∂λ
⟺ 90−5 x−5 y =0 3 ¿
1
2
−2 2
Pour nous permettre de n’avoir plus que deux inonnus : x 3 y3 5λ On
¿ ¿ ¿: =
¿ −1 1
5λ
3 3
2y x
inverse pour que les signes s’inverse également.
1 2
3 3
y y y
⟺ =1 ⟺ =1 ⟺ y=2 x 4 ¿
2
3
1
3
2x
2x x
A partir de 3) et 4), on a : 90-5x-5(2x)=0
90-5x-10x=0
90-15x=0
90=15x
6=x*
On en déduit que y∗¿ 2 × x*
¿ 2× 6
y* = 12
−2 2
On calcule λ* à partir de 1) : x 3
y 3 =5 λ
−2 2
3 3
6 12 =5 λ
1,59=5 λ
λ* = 3,14
IV) Limites d’une fonction
6
,Une fonction f étant donnée, d’ensemble de définition Df, la notation
lim f ( x ) =b
x→ a signifie : quand x s’approche, en valeur, infiniment près de a,
l’image f(x) s’approche, en valeur, infiniment près de b.
Limite de référence :
● Pour les puissance entières n Є IN*
1
=¿ 0
lim x n =+ ∞ lim x n=−∞ xn lim
1
=−∞
x →+∞ x →−∞ 1 x → 0x< 0 x
lim n =0 lim ¿
x →+∞ x x →−∞
1 1 1
lim =+∞ lim =−∞ lim =+∞
x → 0x> 0 x x → ax< a x −a x →a x−ax>a
● Puissance réelles : α Є |R
α α
lim x =0 lim x =+ ∞
α<0 x →+∞ x→ 0
α α
lim x =+ ∞ lim x =0
α>0 x →+∞ x→ 0
● Logarithme et exponentielle :
lim ln x =+∞ ln x lim e x =0 lim ln x=−∞
lim =0
x →+∞ x →+∞ x x →−∞ x→ 0
ln (1+ x )
lim =1
x→ 0 x
lim e x =+∞ lim x e x =0 ex e x −1
lim =+∞ lim =1
x →+∞ x →−∞ x →+∞ x x→ 0 x
Opérations sur les limites.
SOMMES :
Lim f Lim Lim
g (f+g)
L L’ LL’
L +∞ +∞
L -∞ -∞
+∞ +∞ +∞
-∞ -∞ -∞
+∞ -∞ FI
PRODUITS :
Lim Lim Lim (fg)
f g
L L’ LL’ QUOTIENTS :
L≠0 ∞ ∞
∞ ∞ ∞
0 ∞ FI
7
, Lim Lim f
lim
f g g
L L’≠ LL’
0
L≠0 0 ∞
0 0 FI
L ∞ 0
∞ L’ ∞
∞ ∞ FI
Lever une indétermination :
→ FI : ∞-∞
Méthode : Factoriser le terme prépondérant pour faire apparaître des formes de
limites connue.
● On démontre que la limite en +∞ ou -∞ d’une fonction polynôme est la même
que celle de son terme de plus haut degré.
(2 x 3 −5 x 2 +¿ 1)= lim 2 x 3=+∞
x →+∞
Ex : lim ¿
x→+ ∞
2
5x 1
1− 3
+ 3
2x 2 x
3
2 x (¿)
⟺ lim ¿
x →+∞
5 1 1
⟺ lim 2 x 3 (1− + 3)
x →+∞ 2 x 2x
3
→ FI : 0*∞
Méthode : Développer l’expression, pour faire apparaître des formes de limites
connues.
1
Ex : lim ( 1+ √ x )
x →+∞ x
1
1 √x 1 x2 1 1
⟺ lim + On sait que √ x=x 2
de plus ; = 1= 1 alors :
x →+∞ x x x
x x2 x2
1 1
⟺ lim + 1 =0
x →+∞ x
x2
0
→ FI : 0
Méthode : Simplifier par le facteur qui tend vers 0, ou bien faire apparaître es
formes de limites connues.
8
Chapitre 1 : LES DERIVES....................................................................................... 1
I) Généralité sur l’optimisation.........................................................................2
II) Optimisation sans contraintes......................................................................2
III) Optimisation sous contraintes prenant la forme d’équations : le
Lagrangien.......................................................................................................... 3
A) Le cas d’une contrainte............................................................................. 3
B) Cas à m contraintes.................................................................................. 3
IV) Limites d’une fonction............................................................................... 5
V) Tangente d’une équation.............................................................................. 7
VI) Asymptotes................................................................................................ 7
A) Asymptotes horizontale............................................................................. 7
B) Asymptote verticale................................................................................... 8
C) Asymptote oblique....................................................................................... 9
Chapitre 2 : Eléments sur les ensembles..............................................................10
I) Ensembles.................................................................................................. 10
A) Notion d’ensemble................................................................................... 10
B) Parties d’un ensemble............................................................................. 11
C) Opérations sur les ensembles..................................................................12
Chapitre 3 : Les matrices...................................................................................... 16
I) Définitions................................................................................................... 16
II) Opération sur les matrices..........................................................................16
A) Addition de deux matrices.......................................................................16
B) Multiplication par un réel.........................................................................16
C) Multiplicateur de matrice.........................................................................17
D) Transposition de matrices........................................................................18
III) Matrices carrées, matrices élémentaires.................................................18
A) Matrice carrées........................................................................................ 18
1
,Chapitre 1 : LES DERIVES.
Définition : La fonction f définie au voisinage du point à est dérivable en a ssi :
f ( x )−f ( a )
lim existe et est finis.
x→ a x−a
df ( a )
On note f’(a) la dérivée de f en a ou encore dx
Si u et v sont dérivables (u et v : deux fonctions), a et b deux constantes ? On a
les formules suivantes :
( u+ v )' =u ' + v ' ( au )' =au '
F(x) F’(x) ( uv )' =u' v+ uv '
A 0
u ' u' v−u v '
X
Xn
1
nxn-1 ()v
=
v
2
1 −1
x x2
EXEMPLE : u(x)=x² v(x)= 3x
1 −n (x²+3x)’=(x²)+(3x)’ = 2x+3
xn x n−1
u(x)=x² u’(x)= 2x a=3
√x 1
au’(x)=6x
2√x
ln x 1 Propriété : ln ea = a
x elna = a
eu= ln e * u’*eu
ex ex
x x EXEMPLE
a ln a* a Dériver les fonctions suivantes :
f(u(x f’(u(x))
1)f(x) = 4x²-3x+1
))
n n−1 2) g(x) = (2x+3) (3x+7)
u Nu’ u 1
3) h(t) = (2t+4) (3t-1) pour t ≠ de
1 −u
'
3
u u²
4) k(w) = 2w²+3w+1
1 −n u
'
5) l(x) = e
3 x−2
un u n+1 6) m(K) = ln(3K²-2)
' 2 L²
√u u 7) n(L) = 9
2 √u
ln u Pour les réponses : voir feuille jointe.
u'
u
eu u
u’ e
au ln a * u’ *
au
2
, I) Généralité sur l’optimisation
Notion et définitions
Un programme d’optimisation s’écrit typiquement sous la forme :
max f ( x1 , x2 , … , x n )
x 1 , x 2 ,… ,x n
P
s . c contraintes ( j ) ∀ j=1, … , n
S’il s’agit d’un programme de maximisation, sinon, se sera écrit Min et non Max.
La fonction f est appelée la fonction objectif. Le programme consiste à chercher
les valeurs (x1*, x2*,…, xn*) pour laquelle, la valeur de cette fonction est
maximale ou minimale. On appelle « optimum » la solution d’un programma de
maximisation.
Les contraintes peuvent prendre plusieurs formes distinctes :
● Les contraintes en équations → G j(x1,x2,…,xn) = Cj ∀ j=1, … , m (m étant le
nombre total de contraintes et j prenant les valeurs de 1 à m).
● Les contraintes en inéquations → Gj(x1,x2,…,xn) ≤ Cj ∀ j=1, … , m
● Les contraintes de non négativité → xi ≥ 0 ∀ i=1,… , n (n étant le nombre
total de variable)
Définitions :
Maximum, minimum → La valeur x* qui résout le programme P est un maximum
de la fonction f sous les contraintes du programme.
Optimum local : La variable x* est un maximum local d’une fonction f définie sur
x∗¿
¿
l’ensemble convexe S. x −x∗¿
¿
⟺ ∃ε > 0 tel que f ( x ) ≤ f ¿
Optimum global : La variable x* est un maximum global d’une fonction f définie
x∗¿
sur l’ensemble convexe S. ¿
⟺ f ( x )≤ f ¿
Remarque : Transformation des programmes des maximisation/minimisation :
Tous programme de minimisation peut aisément être transformé en
programme de maximisation en remplaçant la fonction objectif f par son opposé –
f.
max f (x) min −f (x )
x ↔ x
s.c contraintes s.c contrainte.
3
,Conditions nécessaires et suffisantes d’inexistence d’un optimum.
Pour trouver la solution x* d’un programme d’optimisation, on distingue
traditionnellement deux types de conditions :
● Les conditions de premier ordre (CPO) sont les conditions nécessaires
que doit vérifier un optimum, s’il existe. Ces conditions s’écrivent comme un
système d’équation ou d’inéquations dont la résolution permet de trouver x*.
● Les conditions du second ordre (CSO) garantissent que les conditions du
1er ordre sont suffisantes pour que x* soit bien la solution du programme
d’optimisation.
II) Optimisation sans contraintes.
On considère le programme de maximisation suivant : P: Max de x f ( x )
CPO : si x* est une solution du programme de maximisation P, alors x* vérifie :
df ( x )
=0
dx
2
d f (x)
COS : pour un optimum global : ● ≤ 0 ∀ x f est concave → x∗est un max global
dx ²
f’’(x) ≤ 0
d2 f ( x )
● ≥ 0 ∀ x ( f est convexe ) → x∗est un minimum global .
d x2
III) Optimisation sous contraintes prenant la forme d’équations :
le Lagrangien
A) Le cas d’une contrainte.
On considère le programme de maximisation P suivant :
max f (x)
x
P
s.c g(x) =c
Lagrangien : On appelle Lagrangien, noté L, la fonction L(x ;λ)= f(x) + λ (c – g(x))
où la variable λ désigne le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte.
CPO : si le vecteur x*= (x1*,x2*,…,xn*) est une solution du programme de
maximisation P, alors il existe un unique λ* tel que x* vérifie les n+1 conditions
suivantes :
∂L(x, λ) ∂L(x, λ)
=0 ∀ i=1, … , n =0 ⟺ c−g ( x )=0 ⟺ g ( x )=c
∂x ∂λ
4
, B) Cas à m contraintes
Le programme se généralise aisément au cas à m contraintes.
max f (x)
x
P
s.c gj(x) = Cj ∀ j=1, … , m
Le Lagrangien va s’écrire:
m
L ( x , λ )=f ( x ) + ∑ λj ( Cj−gj ( x ) ) ∀ j=1 … mavec λ=( λ 1, … , λm )
j=1
Remarque : Optimisation sous contraintes prenant la forme d’inéquation.
On considère le programme P suivant :
max f (x)
x
P
s.c gj(x)≤ Cj ∀ j= 1,…,m
Deux situations sont envisageables pour chaque contrainte j :
● Soit gj(x)=Cj : dans ce cas, on dit que la contrainte j est saturée à l’optimum.
● Soit gj(x) < Cj : on dit que la contrainte est non saturée à l’optimum.
Exercice : Résoudre le programme d’optimisation suivant :
1 2
3 3
Max f ( x , y )=3 x y
x, y
P
s.c 90=5x+5y
On commence par écrire le Lagrangien : L ( x , y , λ )=f ( x , y ) + λ ( c−g ( x ))
1 2
3 3
¿ 3 x y + λ ( 90−5 x−5 y )
∂ L ( x , y , λ)
Ensuite on calcule la dérivée par rapport à x : =0
∂x
−2 2
3∗1 3 −2 2 −2 2
⟺ x ∗y 3∗−5 λ=0 ⟺x 3
y 3 −5 y=0 ⟺x 3
y 3 =5 λ 1¿
3
5
, −1 1
∂ L ( x , y , λ) 2
On calcule a dérivée par rapport à Y : =0 ⟺ y 3
3 x 3 −5 λ=0
∂y 3
−1 1 −1 1
⟺2 y 3
x 3 −5 λ=0 ⟺2 y 3
x 3 =5 λ 2 ¿
∂ L ( x , y , λ)
On calcule enfin la dérivée par rapport à λ : =0
∂λ
⟺ 90−5 x−5 y =0 3 ¿
1
2
−2 2
Pour nous permettre de n’avoir plus que deux inonnus : x 3 y3 5λ On
¿ ¿ ¿: =
¿ −1 1
5λ
3 3
2y x
inverse pour que les signes s’inverse également.
1 2
3 3
y y y
⟺ =1 ⟺ =1 ⟺ y=2 x 4 ¿
2
3
1
3
2x
2x x
A partir de 3) et 4), on a : 90-5x-5(2x)=0
90-5x-10x=0
90-15x=0
90=15x
6=x*
On en déduit que y∗¿ 2 × x*
¿ 2× 6
y* = 12
−2 2
On calcule λ* à partir de 1) : x 3
y 3 =5 λ
−2 2
3 3
6 12 =5 λ
1,59=5 λ
λ* = 3,14
IV) Limites d’une fonction
6
,Une fonction f étant donnée, d’ensemble de définition Df, la notation
lim f ( x ) =b
x→ a signifie : quand x s’approche, en valeur, infiniment près de a,
l’image f(x) s’approche, en valeur, infiniment près de b.
Limite de référence :
● Pour les puissance entières n Є IN*
1
=¿ 0
lim x n =+ ∞ lim x n=−∞ xn lim
1
=−∞
x →+∞ x →−∞ 1 x → 0x< 0 x
lim n =0 lim ¿
x →+∞ x x →−∞
1 1 1
lim =+∞ lim =−∞ lim =+∞
x → 0x> 0 x x → ax< a x −a x →a x−ax>a
● Puissance réelles : α Є |R
α α
lim x =0 lim x =+ ∞
α<0 x →+∞ x→ 0
α α
lim x =+ ∞ lim x =0
α>0 x →+∞ x→ 0
● Logarithme et exponentielle :
lim ln x =+∞ ln x lim e x =0 lim ln x=−∞
lim =0
x →+∞ x →+∞ x x →−∞ x→ 0
ln (1+ x )
lim =1
x→ 0 x
lim e x =+∞ lim x e x =0 ex e x −1
lim =+∞ lim =1
x →+∞ x →−∞ x →+∞ x x→ 0 x
Opérations sur les limites.
SOMMES :
Lim f Lim Lim
g (f+g)
L L’ LL’
L +∞ +∞
L -∞ -∞
+∞ +∞ +∞
-∞ -∞ -∞
+∞ -∞ FI
PRODUITS :
Lim Lim Lim (fg)
f g
L L’ LL’ QUOTIENTS :
L≠0 ∞ ∞
∞ ∞ ∞
0 ∞ FI
7
, Lim Lim f
lim
f g g
L L’≠ LL’
0
L≠0 0 ∞
0 0 FI
L ∞ 0
∞ L’ ∞
∞ ∞ FI
Lever une indétermination :
→ FI : ∞-∞
Méthode : Factoriser le terme prépondérant pour faire apparaître des formes de
limites connue.
● On démontre que la limite en +∞ ou -∞ d’une fonction polynôme est la même
que celle de son terme de plus haut degré.
(2 x 3 −5 x 2 +¿ 1)= lim 2 x 3=+∞
x →+∞
Ex : lim ¿
x→+ ∞
2
5x 1
1− 3
+ 3
2x 2 x
3
2 x (¿)
⟺ lim ¿
x →+∞
5 1 1
⟺ lim 2 x 3 (1− + 3)
x →+∞ 2 x 2x
3
→ FI : 0*∞
Méthode : Développer l’expression, pour faire apparaître des formes de limites
connues.
1
Ex : lim ( 1+ √ x )
x →+∞ x
1
1 √x 1 x2 1 1
⟺ lim + On sait que √ x=x 2
de plus ; = 1= 1 alors :
x →+∞ x x x
x x2 x2
1 1
⟺ lim + 1 =0
x →+∞ x
x2
0
→ FI : 0
Méthode : Simplifier par le facteur qui tend vers 0, ou bien faire apparaître es
formes de limites connues.
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