Ley de Darcy. Conductividad hidráulica
Experiencia de Darcy
El ingeniero Henry Darcy trabajó muchos años en el abastecimiento de agua a la ciudad francesa de
Dijon1. Se interesó en el flujo del agua a través de los medios porosos porque se utilizaban filtros de
arena para depurar el agua y por la observación de pozos que contribuían al abastecimiento de la
ciudad. En 1856 presentó un voluminoso informe sobre el tema, que incluía un pequeño apéndice
describiendo sus experimentos y la obtención de la ley. Ese pequeño anexo puede considerarse el
nacimiento de la hidrogeología como ciencia, ha sido la base de todos los estudios físico-matemáticos
posteriores sobre el flujo del agua subterránea.
En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utilizó Darcy, y que se
denominan permeámetros de carga constante2 (Figura 1)
Nivel cte.
Figura 1.- Permeámetro de carga constante.
Q = Caudal
h = Diferencia de Potencial entre A y B
A B l = Distancia entre A y B
h
Gradiente hidráulico=
l
Q
Sección
Básicamente un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace circular agua
conectando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula
el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal también constante.
Finalmente, se mide la altura de la columna de agua en varios puntos (como mínimo en dos, como en
la Figura 1).
Darcy repitió el experimento de la figura 1 con varios materiales porosos y cambiando las variables,
y dedujo que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la sección y al
gradiente hidráulico. Y que la constante de proporcionalidad era característica de cada arena o
material que llenaba el permeámetro.
y
Gradiente es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relación con la distancia entre esos dos puntos. Si la variabl
O bien, si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de 8ºC, diremos
que hay entre ellos un
1
En 1830 dirigió la perforación de un sondeo que no se pudo utilizar porque se necesitaba que fuera surgente para
utilizarlo sin bomba de extracción; en 1834 diseñó un acueducto de 13 km para abastecer a la ciudad.
2
En laboratorio, el permeámetro se sitúa verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuación del aire
contenido inicialmente en el material poroso. Aquí se presenta horizontal para emular la situación más común del flujo
subterráneo.
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 1
, Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depósito elevado, los niveles del agua en
los tubos varían. Podemos probar también con permeámetros de distintos diámetros y midiendo la
altura de la columna de agua en puntos más o menos próximos (diferentes l). Pues bien: cambiando
todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:
Q K Sección
h (1)
l
Y el valor de K permanece constante siempre que utilicemos la misma arena. (Ver la figura 1 para el
significado de las otras variables)
Si utilizamos otra arena (más gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con
todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de proporcionalidad K es
otra distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era propia y característica de cada arena.
Esta constante se llamó permeabilidad (K) aunque su denominación correcta actual es conductividad
hidráulica.
Como las unidades del caudal Q son L3/T, la sección es L2, e h e l son longitudes, se comprueba
que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).
La expresión correcta de la Ley de Darcy es la siguiente:
dh
q K dl (2)
donde: q = Q /sección (es decir: caudal que circula por m2 de sección)
K = Conductividad hidráulica
dh/dl = gradiente hidráulico expresado en incrementos infinitesimales
El signo menos se debe a que el nivel disminuye en el sentido del flujo; es decir, que h o dh son
negativos y el signo menos hace que el caudal sea positivo.
Aplicando directamente la ley de Darcy se puede calcular la K, o conociendo el valor de K se puede
calcular el caudal, como veremos en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1.- En un permeámetro de laboratorio (como el mostrado en la figura 1) queremos medir la
conductividad hidráulica de una arena. La sección del permeámetro es de 340 cm2 y la distancia entre
las dos conexiones a los tubos piezométricos (l) es de 45 cm. El caudal de salida es de 2,7
litros/minuto y la diferencia de altura entre las dos columnas de agua (h) es de 68 cm. Calcular la
conductividad hidráulica en metros/día.
Solución:
Aplicando la fórmula (1):
3,8 10 -3
K 300 68
1440 45
-4
10
[Caudal pasado de litros/minuto a m /día (1 día tiene 1440 minutos), y sección pasada de cm2 a m2]
3
Despejando: K = 120,7 m2/día
Ejemplo 2.- Evaluar el caudal
circulante a través de un aluvial
encajado en rocas impermeables. K= 60 a
m/día. Entre los dos pozos A y B la A
diferencia de cota de los niveles
B
freáticos es de 4,2 metros. El resto de
los datos se indican en la figura:
anchura media del aluvial: 80 metros; Q
profundidad media del aluvial: 7
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 2
, metros; profundidad media de la
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 3
Experiencia de Darcy
El ingeniero Henry Darcy trabajó muchos años en el abastecimiento de agua a la ciudad francesa de
Dijon1. Se interesó en el flujo del agua a través de los medios porosos porque se utilizaban filtros de
arena para depurar el agua y por la observación de pozos que contribuían al abastecimiento de la
ciudad. En 1856 presentó un voluminoso informe sobre el tema, que incluía un pequeño apéndice
describiendo sus experimentos y la obtención de la ley. Ese pequeño anexo puede considerarse el
nacimiento de la hidrogeología como ciencia, ha sido la base de todos los estudios físico-matemáticos
posteriores sobre el flujo del agua subterránea.
En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utilizó Darcy, y que se
denominan permeámetros de carga constante2 (Figura 1)
Nivel cte.
Figura 1.- Permeámetro de carga constante.
Q = Caudal
h = Diferencia de Potencial entre A y B
A B l = Distancia entre A y B
h
Gradiente hidráulico=
l
Q
Sección
Básicamente un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace circular agua
conectando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula
el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal también constante.
Finalmente, se mide la altura de la columna de agua en varios puntos (como mínimo en dos, como en
la Figura 1).
Darcy repitió el experimento de la figura 1 con varios materiales porosos y cambiando las variables,
y dedujo que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la sección y al
gradiente hidráulico. Y que la constante de proporcionalidad era característica de cada arena o
material que llenaba el permeámetro.
y
Gradiente es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relación con la distancia entre esos dos puntos. Si la variabl
O bien, si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de 8ºC, diremos
que hay entre ellos un
1
En 1830 dirigió la perforación de un sondeo que no se pudo utilizar porque se necesitaba que fuera surgente para
utilizarlo sin bomba de extracción; en 1834 diseñó un acueducto de 13 km para abastecer a la ciudad.
2
En laboratorio, el permeámetro se sitúa verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuación del aire
contenido inicialmente en el material poroso. Aquí se presenta horizontal para emular la situación más común del flujo
subterráneo.
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 1
, Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depósito elevado, los niveles del agua en
los tubos varían. Podemos probar también con permeámetros de distintos diámetros y midiendo la
altura de la columna de agua en puntos más o menos próximos (diferentes l). Pues bien: cambiando
todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:
Q K Sección
h (1)
l
Y el valor de K permanece constante siempre que utilicemos la misma arena. (Ver la figura 1 para el
significado de las otras variables)
Si utilizamos otra arena (más gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con
todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de proporcionalidad K es
otra distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era propia y característica de cada arena.
Esta constante se llamó permeabilidad (K) aunque su denominación correcta actual es conductividad
hidráulica.
Como las unidades del caudal Q son L3/T, la sección es L2, e h e l son longitudes, se comprueba
que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).
La expresión correcta de la Ley de Darcy es la siguiente:
dh
q K dl (2)
donde: q = Q /sección (es decir: caudal que circula por m2 de sección)
K = Conductividad hidráulica
dh/dl = gradiente hidráulico expresado en incrementos infinitesimales
El signo menos se debe a que el nivel disminuye en el sentido del flujo; es decir, que h o dh son
negativos y el signo menos hace que el caudal sea positivo.
Aplicando directamente la ley de Darcy se puede calcular la K, o conociendo el valor de K se puede
calcular el caudal, como veremos en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1.- En un permeámetro de laboratorio (como el mostrado en la figura 1) queremos medir la
conductividad hidráulica de una arena. La sección del permeámetro es de 340 cm2 y la distancia entre
las dos conexiones a los tubos piezométricos (l) es de 45 cm. El caudal de salida es de 2,7
litros/minuto y la diferencia de altura entre las dos columnas de agua (h) es de 68 cm. Calcular la
conductividad hidráulica en metros/día.
Solución:
Aplicando la fórmula (1):
3,8 10 -3
K 300 68
1440 45
-4
10
[Caudal pasado de litros/minuto a m /día (1 día tiene 1440 minutos), y sección pasada de cm2 a m2]
3
Despejando: K = 120,7 m2/día
Ejemplo 2.- Evaluar el caudal
circulante a través de un aluvial
encajado en rocas impermeables. K= 60 a
m/día. Entre los dos pozos A y B la A
diferencia de cota de los niveles
B
freáticos es de 4,2 metros. El resto de
los datos se indican en la figura:
anchura media del aluvial: 80 metros; Q
profundidad media del aluvial: 7
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 2
, metros; profundidad media de la
F. Javier Sánchez San Román--Dpto. Geología--Univ. Salamanca (España) http://hidrologia.usal.es Pág. 3
