De ABC-formule
Wat is een kwadratische functie?
In de wiskunde is een kwadratische functie f een functie van de vorm:
f(x) = ax2 + bx + c, met a ≠ 0.
Daarin zijn de coëfficiënten a, b en c gegeven getallen. Een
kwadratische functie f(x) is een tweedegraads polynoom in x.
De hoogste macht van x is hier 2 en heet de graad van de
polynoom.
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool en
de waarde van de constante coëfficiënt a bepaalt of de
parabool een berg- of dalparabool is.
voor a < 0 is het een bergparabool
voor a > 0 is het een dalparabool
Een vergelijking waarin een kwadratische functie aan 0 wordt gelijkgesteld, noemt
men een vierkantsvergelijking.
Een kwadratische polynoom, of een kwadratische formule, kan meer dan één
variabele bevatten. Zo heeft een kwadratische functie met twee variabelen x en y
heeft de volgende vorm:
f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f, waarin minstens a, b of c niet gelijk is aan 0.
Hier kom je aan door elke totale graad (max. 2) of lager op te schrijven:
● Graad 2: x2, xy, y2
● Graad 1: x, y
● Graad 0: één constante
Als je elke term een eigen coëfficiënt geeft (a t/m f), krijg je:
f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f
En je komt aan de graden door:
Graad 2:
(x + y)2
(x + y)(x + y)
Graad 1:
(x + y)
x0 = 1, dus één constante
Het begrip “kwadratisch” komt van het Latijnse quadratum, wat vierkant betekent.
,De ABC-formule
In wiskundige algebra is de ABC-formule een gesloten formule, die de oplossingen
van een kwadratische functie geeft. Andere wijzen, zoals het aanvullen van de
wortel, leveren dezelfde oplossingen op.
Gegeven is een standaard kwadratische functie met de vorm f(x) = ax2 + bx +c die
een onbekende representeren en de coëfficiënten a, b en c reële of complexe
getallen vormen met a ≠ 0, die de waarde van x vervullen, de nul- of snijpunten
heten, kan berekend worden met de ABC-formule:
−𝑏± 𝐷
𝑥= 2𝑎
, waarbij D = b2 – 4ac.
D < 0 → 0 oplossingen;
D = 0 → 1 oplossing;
D > 0 → 2 oplossingen.
, De ABC-formule herleiden volgens meerdere manieren.
Er zijn meerdere manieren om de ABC-formule te herleiden:
1. Afleiding door kwadraatafsplitsing
2. Kwadraatafsplitsen volgens de methode van Śrīdhara
3. Substitutie
4. Algebraïsche identiteiten toepassen
5. Lagrange-resolventen
Deze zeven zal ik allemaal uitleggen.
1.Afleiding door kwadraatsplitsing
De standaardwijze om de afgeleide ABC-formule te vinden is door het kwadraat af te
splitsen, door de kwadratische formule gelijk te stellen aan 0.
Het idee hierbij is om de vergelijking in een vorm van (x + k)2 = s voor een bepaalde
uitdrukking van k en s in te vullen in termen van de coëfficiënten; pak de wortel van
beide zijden en isoleer x.
We starten door de vergelijking te delen door a, wat toegestaan is omdat a ≠ 0.
𝑐
Daarna trekken we de constante term 𝑎 om hem te isoleren aan de rechterzijde:
ax2 + bx + c = 0
2 𝑏 𝑐
𝑥 + 𝑎
𝑥+ 𝑎
= 0
2 𝑏 𝑐
𝑥 + 𝑎
𝑥 =− 𝑎
Omdat de linkerzijde nu een perfect wortel is, kunnen we nu de wortel nemen van
beide zijden:
2
𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
𝑥+ 2𝑎
=± 2𝑎
𝑏
Uiteindelijk kunnen we 2𝑎
van de linkerzijde aftrekken, omdat 2a aan elkaar gelijk
zijn.
2
−𝑏± 𝑏 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
2.Kwadraat afsplitsen door de methode van Śrīdhara
In plaats van x2 te isoleren kunnen we hem ook keer 4a vermenigvuldigen om (2ax)2
te produceren, wat ons het kwadraat af kan laten afsplitsen zonder gebruik te maken
van breuken. De stappen van het afleiden zijn:
I. Vermenigvuldig iedere zijde met 4a
Wat is een kwadratische functie?
In de wiskunde is een kwadratische functie f een functie van de vorm:
f(x) = ax2 + bx + c, met a ≠ 0.
Daarin zijn de coëfficiënten a, b en c gegeven getallen. Een
kwadratische functie f(x) is een tweedegraads polynoom in x.
De hoogste macht van x is hier 2 en heet de graad van de
polynoom.
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool en
de waarde van de constante coëfficiënt a bepaalt of de
parabool een berg- of dalparabool is.
voor a < 0 is het een bergparabool
voor a > 0 is het een dalparabool
Een vergelijking waarin een kwadratische functie aan 0 wordt gelijkgesteld, noemt
men een vierkantsvergelijking.
Een kwadratische polynoom, of een kwadratische formule, kan meer dan één
variabele bevatten. Zo heeft een kwadratische functie met twee variabelen x en y
heeft de volgende vorm:
f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f, waarin minstens a, b of c niet gelijk is aan 0.
Hier kom je aan door elke totale graad (max. 2) of lager op te schrijven:
● Graad 2: x2, xy, y2
● Graad 1: x, y
● Graad 0: één constante
Als je elke term een eigen coëfficiënt geeft (a t/m f), krijg je:
f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f
En je komt aan de graden door:
Graad 2:
(x + y)2
(x + y)(x + y)
Graad 1:
(x + y)
x0 = 1, dus één constante
Het begrip “kwadratisch” komt van het Latijnse quadratum, wat vierkant betekent.
,De ABC-formule
In wiskundige algebra is de ABC-formule een gesloten formule, die de oplossingen
van een kwadratische functie geeft. Andere wijzen, zoals het aanvullen van de
wortel, leveren dezelfde oplossingen op.
Gegeven is een standaard kwadratische functie met de vorm f(x) = ax2 + bx +c die
een onbekende representeren en de coëfficiënten a, b en c reële of complexe
getallen vormen met a ≠ 0, die de waarde van x vervullen, de nul- of snijpunten
heten, kan berekend worden met de ABC-formule:
−𝑏± 𝐷
𝑥= 2𝑎
, waarbij D = b2 – 4ac.
D < 0 → 0 oplossingen;
D = 0 → 1 oplossing;
D > 0 → 2 oplossingen.
, De ABC-formule herleiden volgens meerdere manieren.
Er zijn meerdere manieren om de ABC-formule te herleiden:
1. Afleiding door kwadraatafsplitsing
2. Kwadraatafsplitsen volgens de methode van Śrīdhara
3. Substitutie
4. Algebraïsche identiteiten toepassen
5. Lagrange-resolventen
Deze zeven zal ik allemaal uitleggen.
1.Afleiding door kwadraatsplitsing
De standaardwijze om de afgeleide ABC-formule te vinden is door het kwadraat af te
splitsen, door de kwadratische formule gelijk te stellen aan 0.
Het idee hierbij is om de vergelijking in een vorm van (x + k)2 = s voor een bepaalde
uitdrukking van k en s in te vullen in termen van de coëfficiënten; pak de wortel van
beide zijden en isoleer x.
We starten door de vergelijking te delen door a, wat toegestaan is omdat a ≠ 0.
𝑐
Daarna trekken we de constante term 𝑎 om hem te isoleren aan de rechterzijde:
ax2 + bx + c = 0
2 𝑏 𝑐
𝑥 + 𝑎
𝑥+ 𝑎
= 0
2 𝑏 𝑐
𝑥 + 𝑎
𝑥 =− 𝑎
Omdat de linkerzijde nu een perfect wortel is, kunnen we nu de wortel nemen van
beide zijden:
2
𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
𝑥+ 2𝑎
=± 2𝑎
𝑏
Uiteindelijk kunnen we 2𝑎
van de linkerzijde aftrekken, omdat 2a aan elkaar gelijk
zijn.
2
−𝑏± 𝑏 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
2.Kwadraat afsplitsen door de methode van Śrīdhara
In plaats van x2 te isoleren kunnen we hem ook keer 4a vermenigvuldigen om (2ax)2
te produceren, wat ons het kwadraat af kan laten afsplitsen zonder gebruik te maken
van breuken. De stappen van het afleiden zijn:
I. Vermenigvuldig iedere zijde met 4a
