Samenvatting Aantekeningen LAMC | TU Eindhoven | 2025/2026

LAMC -
multivariabele calculus




H1




Kettingregel : Stel w(x , 4) =
sin(y) dan =
y(xy)


altijd van binnen

meervoudige integralen :
naar buiten !
&
normale integraal af(x) dx berekent oppervlakte , dubbele integraal /(Df(x y)
,
dA berekent volume onder oppervlak

jfj) jxdy
2
vb :
x dydx .
-binnenste int : =
XY 2
=
2x


2
buitenste int : of 2xdx :
x j =




limieten :
Xo , y= 0
, y
= X proberen .
Verschillende anth 1 limiet bestaat niet :




oefenen :


Of

al 3x3y 2yz
%
1 =
+




b) by = Xi +
4xy

2
al ye
*Y


22

3 al Oxty(x y3) ,
o =
3x2yz Oxby
=
6xyz
J "


tentamenniveau : ox (sin(xy)e
*
) 1
ycos(xy) ·
ex +
Sin(xy) ·
Exe
*




H2




cartesisch (x , y ,
21 X =
res &

cilindrisch (r , b ,
2) altyd-itity
=
rsin d
&

bolcoördinaten (r , O , b) r = Vxz + yz vx2 + yz = r2
↑
O tot T
altijd


vectoren :




·
lengte berekenen : (vl =
Vri +
vg +
v
·
inwendig/dot product :
a b 1axbx +
ayby +
aabz
.
a b

·
hoek tussen vectoren :
(al (b) =
cos O
, dus cos" (antw)

als a .
b =
0



voor parametrisatie : r(u v)
,
: (u , v ,
42 + v2)

r(t) y(t) 2(t)
·
krommen : Vaak gegeven als =
(x (t) , , beschrijft paraboloïde , u en v zijn parameters
dr
·
raakvector : dt

, eenheidsvector
~

r' (t)
richting beweging

tangentiële vector = r'( + ) ,
dan normaliseren , Ir( / +




of T =
N X B (kruisproduct normaal - en binormale vector (


by parametrisatie ↑ (u v) ,
= (x(u v) , , y(u u) , , 2 (4 ,
v1) :
Eu en tu
er



richting curve (mpz)
to: au en
tu o en n = tu X tu


normaalvector =
r"(t) ,
dan normaliseren 1 Ir" (H)
T'(t)

of T'(t) , dan normaliseren1 1t' (t)


of N = BXT
↓ op beide

binormale vector =
B = T X N (T N , ,
BI




H3


wind , Fa , elektrisch veld
&

linintegralen :
je krijgt een Vectorveld f(x ,
y ,
2) en een kromme r(t) ,
dan vraag "Hoeveel " werk" verricht het veld


Sc
"

terwijl je langs dat pad beweegt ? bereken met F .
dr I dotproduct ! (

1 r'It) berekenen 2 X ( +) , y(t) en z(t) invullen inf 3 dotproduct "
integreren over !



gradiënt :
Wist in richting van grootste Stijging 1 (881 /lengte) =
max stigsnelheid
&

conservatief veld F = ↓ & :(
ub f = x2 + yz ,
dan F = (2x , 2y)

als f conservatief is dan (cf .
dr =
b(B) -

P(A) &
dus i is conservatiet als Scar hetzelede is voor alle paden (

2Q tussen punten A en B
.

,
&

conservatiet als by f(p ,
Q) =
ex Of VXF =
8
2D

Stappenplan ,
conservatief of niet ? Gegeven : F/D Q1 . .
Lynintegraal in opgave is must !

OP 22 GR

bereken ux , by ,
22


2 ? ? NIET
gelijk Mogelijk conservatief. Niet gelijk conservatief .




20

potentiaalfunctie p P
=
3
Zoek :
neem 2x en integreer naar X



4
bepaal via Q ontbrekende functie
3D

Nu gegeven F(P , Q ,
R) dA = metrische factor


~
Bereken curl/rotatie V X#


2
curl =
o , mogelijk conservatief . Curl * O ,
NIET conservatief .




(cf b(B)
als of conservatief is dan dr =

&(1) dus deze gebruiken
. -




curl/rotatie van 5 : 2x
&
- i >
-
z Kruisproduct
8Fz
voor 5 =
Fx ex +
Fyey + fxe

divergentie voor FIFx , Fy fal ,
:
8 . fose
by
+ +
82 : Netto uitstroom 1 += bron ,
--
put (


da = Ituxtul dudu
&


SSi dA
fluxgegeven
oe .




E = /+ 5 .
(tuxE) dudv