Hoofdstuk 1: Lineaire en exponentiële formules
Voorkennis
Het getal waarmee je een oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te
krijgen heet de factor.
Er geldt nieuwe hoeveelheid = factor x oude hoeveelheid
Dus geldt ook factor = Nieuw/Oud
Een groeiproces heet exponentieel als de factor per tijdseenheid steeds hetzelfde is. Deze factor
heet de groeifactor. Ook bij een afname spreek je van exponentiele groei. De groeifactor is in dat
geval kleiner dan 1.
Bij procentuele toename of procentuele afnamen kun je rekenen met een groeifactor. Als
bijvoorbeeld een hoeveelheid met 21% toeneemt, dan is de groeifactor 1,21, je kunt de nieuwe
hoeveelheid berekenen door te vermenigvuldigen met de factor 1,21.
Hoe bereken je bij exponentiële groei het groeipercentage voor een andere tijdseenheid?
1. Bereken de groeifactor per gegeven tijdseenheid
2. Ga na hoeveel keer zo groot de nieuwe tijdseenheid is
3. Bereken de groeifactor bij de nieuwe tijdseenheid. Als de nieuwe tijdseenheid k keer zo groot
is dan is de nieuwe groefactor gk
4. Reken de groeifactor om naar een percentage
Voorbeeld:
Het aantal inwoners in een stad neemt per jaar met 4% af. Met hoeveel procent neemt het aantal
inwoners per 10 jaar af?
1. De groeifactor per jaar is 0,96
2. De nieuwe tijdseenheid is 10x zo groot
3. De groeifactor per 10 jaar is 0,9610 = 0,665
4. Het aantal inwoners neemt met 33,5% af
Hoe maak je een formule bij een exponentieel verband?
1. Schrijf de formule op: N= bg x gf t
2. Zoek uit wat de groeifactor per eenheid is (n/o)
3. Zoek uit wat de beginhoeveelheid is, dus de hoeveelheid bij 0
4. Vul de groeifactor en de beginhoeveelheid in bij de formule. Geef aan welke tijdseenheid bij
de groeifactor hoort.
5. Controleer de formule door bekende waarden bij t in te vullen
,Paragraaf 1: Lineaire verbanden
Als bij een tabel een lineair verband hoort dan kun je een tussenliggende waarde bereken met lineair
interpoleren en een verder gelegen waarde met lineair extrapoleren.
Voorbeeld:
T 2010 2015
B 335 420
De tabel hoort bij een lineair verband. Bereken de waarde van B in 2012 en in 2019.
Oplossing
De toename van B per jaar is
420 – 335
5 = 17
In 2012 is B = 335 + 2 x 17 = 369
In 2019 is B = 420 + 2 x 17 = 448
Een lineair verband kun je op verschillende manieren herkennen:
De grafiek is een rechte lijn
In een tabel is er bij gelijke stappen telkens dezelfde toename of afname
Uit de tekst blijkt dat de toename of afname bij gelijke stappen dezelfde is
Bij een lineair verband hoort een formule van de vorm y = ax + b met a het hellingsgetal of
richtingscoëfficiënt en b het startgetal.
Voorbeeld:
Stel een formule op bij bovenstaande grafiek.
Oplossing
De lijn gaat door (2,0) en (7,2) dus de richtingscoëfficiënt van de lijn is:
(2,0)
(7,2)
∆y
/∆x = 2/5
y = 2/5x + b
(2,0)
0 = 2/5 x 2 + b
0 = 4/5 + b
b = -4/5
y = 2/5x - 4/5
, Paragraaf 2: Gebieden
Een uitdrukking als 5y + 3x ≥ 15 heet een lineaire ongelijkheid. De grafiek van een lineaire
ongelijkheid is een halfvlak. Dit halfvlak wordt begrensd door een lijn 5y + 3x = 15.
Door de coördinaten van een punt buiten de lijn in te vullen kun je zien aan welke kant van de lijn dit
halfvlak ligt. Als de variabelen uitsluitend gehele waarden mogen aannemen dan zijn alleen
roosterpunten toegestaan.
GR:
Ga naar geavanceerde grafieken. Typ de formule helemaal in dus 5y +3x ≥ 15. Nu krijg je al je lijn te
zien en het halfvlak. Op je toets schijf je:
GR:
V1: 5y + 3x ≥ 15
Nu kun je het halfvlak tekenen.
Zonder GR:
5y + 3x ≥ 15
1. 5y + 3x = 15
2. Vul 0 in de formule
X = 0 5y + 3 x 0 = 15
5y = 15
y = 3 (0,3)
Y = 0 5 x 0 + 3x = 15
3x = 15 Markeer ook de lijn omdat er wordt
X = 5 (5,0) gevraag groter of gelijk aan
3. Vul een punt in de formule in
Bekijk punt (0,0) 5 x 0 + 3 x 0 ≥ 15 Klopt niet
Bekijk punt (5,3) 5 x 3 + 3 x 5 ≥ 15 Klopt
Als je al een lijn krijgt gegeven bijv. y = 2x + 1. En er wordt het volgende gevraag y ≥ 2x + 1. Dan hoef
je alleen maar het punt (0,0) in te vullen en dan heb je al je antwoord.
Voorkennis
Het getal waarmee je een oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te
krijgen heet de factor.
Er geldt nieuwe hoeveelheid = factor x oude hoeveelheid
Dus geldt ook factor = Nieuw/Oud
Een groeiproces heet exponentieel als de factor per tijdseenheid steeds hetzelfde is. Deze factor
heet de groeifactor. Ook bij een afname spreek je van exponentiele groei. De groeifactor is in dat
geval kleiner dan 1.
Bij procentuele toename of procentuele afnamen kun je rekenen met een groeifactor. Als
bijvoorbeeld een hoeveelheid met 21% toeneemt, dan is de groeifactor 1,21, je kunt de nieuwe
hoeveelheid berekenen door te vermenigvuldigen met de factor 1,21.
Hoe bereken je bij exponentiële groei het groeipercentage voor een andere tijdseenheid?
1. Bereken de groeifactor per gegeven tijdseenheid
2. Ga na hoeveel keer zo groot de nieuwe tijdseenheid is
3. Bereken de groeifactor bij de nieuwe tijdseenheid. Als de nieuwe tijdseenheid k keer zo groot
is dan is de nieuwe groefactor gk
4. Reken de groeifactor om naar een percentage
Voorbeeld:
Het aantal inwoners in een stad neemt per jaar met 4% af. Met hoeveel procent neemt het aantal
inwoners per 10 jaar af?
1. De groeifactor per jaar is 0,96
2. De nieuwe tijdseenheid is 10x zo groot
3. De groeifactor per 10 jaar is 0,9610 = 0,665
4. Het aantal inwoners neemt met 33,5% af
Hoe maak je een formule bij een exponentieel verband?
1. Schrijf de formule op: N= bg x gf t
2. Zoek uit wat de groeifactor per eenheid is (n/o)
3. Zoek uit wat de beginhoeveelheid is, dus de hoeveelheid bij 0
4. Vul de groeifactor en de beginhoeveelheid in bij de formule. Geef aan welke tijdseenheid bij
de groeifactor hoort.
5. Controleer de formule door bekende waarden bij t in te vullen
,Paragraaf 1: Lineaire verbanden
Als bij een tabel een lineair verband hoort dan kun je een tussenliggende waarde bereken met lineair
interpoleren en een verder gelegen waarde met lineair extrapoleren.
Voorbeeld:
T 2010 2015
B 335 420
De tabel hoort bij een lineair verband. Bereken de waarde van B in 2012 en in 2019.
Oplossing
De toename van B per jaar is
420 – 335
5 = 17
In 2012 is B = 335 + 2 x 17 = 369
In 2019 is B = 420 + 2 x 17 = 448
Een lineair verband kun je op verschillende manieren herkennen:
De grafiek is een rechte lijn
In een tabel is er bij gelijke stappen telkens dezelfde toename of afname
Uit de tekst blijkt dat de toename of afname bij gelijke stappen dezelfde is
Bij een lineair verband hoort een formule van de vorm y = ax + b met a het hellingsgetal of
richtingscoëfficiënt en b het startgetal.
Voorbeeld:
Stel een formule op bij bovenstaande grafiek.
Oplossing
De lijn gaat door (2,0) en (7,2) dus de richtingscoëfficiënt van de lijn is:
(2,0)
(7,2)
∆y
/∆x = 2/5
y = 2/5x + b
(2,0)
0 = 2/5 x 2 + b
0 = 4/5 + b
b = -4/5
y = 2/5x - 4/5
, Paragraaf 2: Gebieden
Een uitdrukking als 5y + 3x ≥ 15 heet een lineaire ongelijkheid. De grafiek van een lineaire
ongelijkheid is een halfvlak. Dit halfvlak wordt begrensd door een lijn 5y + 3x = 15.
Door de coördinaten van een punt buiten de lijn in te vullen kun je zien aan welke kant van de lijn dit
halfvlak ligt. Als de variabelen uitsluitend gehele waarden mogen aannemen dan zijn alleen
roosterpunten toegestaan.
GR:
Ga naar geavanceerde grafieken. Typ de formule helemaal in dus 5y +3x ≥ 15. Nu krijg je al je lijn te
zien en het halfvlak. Op je toets schijf je:
GR:
V1: 5y + 3x ≥ 15
Nu kun je het halfvlak tekenen.
Zonder GR:
5y + 3x ≥ 15
1. 5y + 3x = 15
2. Vul 0 in de formule
X = 0 5y + 3 x 0 = 15
5y = 15
y = 3 (0,3)
Y = 0 5 x 0 + 3x = 15
3x = 15 Markeer ook de lijn omdat er wordt
X = 5 (5,0) gevraag groter of gelijk aan
3. Vul een punt in de formule in
Bekijk punt (0,0) 5 x 0 + 3 x 0 ≥ 15 Klopt niet
Bekijk punt (5,3) 5 x 3 + 3 x 5 ≥ 15 Klopt
Als je al een lijn krijgt gegeven bijv. y = 2x + 1. En er wordt het volgende gevraag y ≥ 2x + 1. Dan hoef
je alleen maar het punt (0,0) in te vullen en dan heb je al je antwoord.
