Hoofdstuk 8 (niet 8.4 en 8.5)
statistische gevolgtrekking: betrouwbaarheidsintervallen
8.1 punt- en intervalschattingen van populatieparameters
populatieparameters hebben twee soorten schattingen:
1. een puntschatting: is een enkel getal dat onze beste schatting is voor de
parameter
2. een intervalschatting: is een interval van getallen waarvan wordt
aangenomen dat het de werkelijke waarde van de parameter bevat
Zo vroeg een Algemene Sociale Enquête: "Gelooft u in hel?" Op basis van de
eenvoudige gegevens is de puntschatting voor het percentage volwassen
Amerikanen dat ja zou antwoorden 0,73 - meer dan 7 van 10. Het adjectief 'punt' in.
Een puntschatting verwijst naar het gebruik van een enkel getal of punt als de
parameter schatting
Een intervalschatting, gevonden met de methode die in de volgende sectie
wordt geïntroduceerd, voorspelt dat het aandeel volwassen Amerikanen dat in de hel
gelooft tussen 0,71 en 0,75 ligt.
Een puntschatting op zichzelf is niet voldoende omdat het ons niet vertelt hoe
dicht de schatting waarschijnlijk bij de parameter zal zijn. Een intervalschatting is
handiger. Het vertelt ons dat de puntschatting van 0,73 binnen een foutmarge van
0,02 van het werkelijke populatie verhouding valt. Door een foutmarge op te nemen,
helpt de intervalschatting ons de nauwkeurigheid van de puntschatting te meten
Puntschatting: de beste schatting maken voor een populatieparameter
Als we de gegevens hebben verzameld, hoe vinden we dan een
puntschatting, die onze beste schatting voor een parameterwaarde weergeeft? Het
antwoord is eenvoudig: we kunnen een geschikte steekproef statistiek gebruiken.
Voor een populatiegemiddelde µ is het steekproefgemiddelde x̄ bijvoorbeeld een
puntschatting van µ. Voor het populatiegemiddelde is het steekproef aandeel een
puntschatting
Puntschattingen zijn de meest voorkomende vorm van gevolgtrekking die
door de massamedia wordt gerapporteerd.
, Eigenschappen van puntschatters
Voor een bepaalde parameter zijn er verschillende mogelijke puntschattingen.
Overweeg bijvoorbeeld om de parameter µ te schatten uit een normale verdeling, die
het centrum beschrijft. Met steekproefgegevens van een normale verdeling zijn twee
mogelijke schattingen van µ het steekproefgemiddelde maar ook de
steekproefmediaan omdat de verdeling symmetrisch is. Wat maakt de ene
puntschatter beter dan de andere? Een goede schatter van een parameter heeft
twee wenselijke eigenschappen:
1. Een goede schatter heeft een steekproefverdeling die is gecentreerd
op de parameter die hij probeert te schatten. We definiëren in dit geval
centrum als het gemiddelde van die steekproefverdeling. Een schatter
met deze eigenschap zou niet verhoogd zijn.
2. Een goede schatter heeft een kleine standaarddeviatie in vergelijking
met andere schatters. Dit vertelt ons dat de schatter de neiging heeft
dichter bij de parameter te komen dan andere schattingen.
Intervalschatting: een interval construeren dat de parameter bevat (we
hopen)
Een recente enquête over het startsalaris van pas afgestudeerden schatte het
gemiddelde startsalaris op $ 45.500. Lijkt $ 45.500 voor u aannemelijk? Te hoog? Te
laag? Elke individuele puntschatting kan al dan niet dicht bij de parameterschatting
liggen. Om de schatting bruikbaar te maken, moeten we weten hoe dicht deze
waarschijnlijk bij de werkelijke parameterwaarde zal vallen. Ligt de schatting van $
45.500 waarschijnlijk binnen $ 1000 van het werkelijke populatiegemiddelde? Binnen
$ 5000? Binnen $ 10.000? Inferentie over een parameter moet niet alleen een
puntschatting opleveren, maar moet ook de waarschijnlijke nauwkeurigheid
aangeven
Een intervalschatting geeft precisie aan door een interval van getallen rond de
puntschatting te geven. Het interval bestaat uit getallen die de meest geloofwaardige
waarden zijn voor de onbekende parameter, op basis van de waargenomen
gegevens. Een enquête onder pas afgestudeerden voorspelt bijvoorbeeld dat het
gemiddelde beginsalaris ergens tussen $ 43.500 en $ 47.500 daalt, dat wil zeggen
binnen een foutmarge van $ 2000 op de puntschatting van $ 45.500. Een
intervalschatting is ontworpen om de parameter te bevatten met een bepaalde
waarschijnlijkheid, zoals 0,95. Omdat interval-estimation de parameter met een
zekere mate van betrouwbaarheid bevatten, worden ze betrouwbaarheidsintervallen
genoemd.
Het interval van $ 48.500 tot $ 52.000 is een voorbeeld van een
betrouwbaarheidsinterval. Het is geconstrueerd met een betrouwbaarheidsniveau
van 0,95. Dit wordt vaak uitgedrukt als een percentage, en we zeggen dat we 95%
zekerheid hebben dat het interval de parameter bevat. Het is een
betrouwbaarheidsinterval van 95%.
statistische gevolgtrekking: betrouwbaarheidsintervallen
8.1 punt- en intervalschattingen van populatieparameters
populatieparameters hebben twee soorten schattingen:
1. een puntschatting: is een enkel getal dat onze beste schatting is voor de
parameter
2. een intervalschatting: is een interval van getallen waarvan wordt
aangenomen dat het de werkelijke waarde van de parameter bevat
Zo vroeg een Algemene Sociale Enquête: "Gelooft u in hel?" Op basis van de
eenvoudige gegevens is de puntschatting voor het percentage volwassen
Amerikanen dat ja zou antwoorden 0,73 - meer dan 7 van 10. Het adjectief 'punt' in.
Een puntschatting verwijst naar het gebruik van een enkel getal of punt als de
parameter schatting
Een intervalschatting, gevonden met de methode die in de volgende sectie
wordt geïntroduceerd, voorspelt dat het aandeel volwassen Amerikanen dat in de hel
gelooft tussen 0,71 en 0,75 ligt.
Een puntschatting op zichzelf is niet voldoende omdat het ons niet vertelt hoe
dicht de schatting waarschijnlijk bij de parameter zal zijn. Een intervalschatting is
handiger. Het vertelt ons dat de puntschatting van 0,73 binnen een foutmarge van
0,02 van het werkelijke populatie verhouding valt. Door een foutmarge op te nemen,
helpt de intervalschatting ons de nauwkeurigheid van de puntschatting te meten
Puntschatting: de beste schatting maken voor een populatieparameter
Als we de gegevens hebben verzameld, hoe vinden we dan een
puntschatting, die onze beste schatting voor een parameterwaarde weergeeft? Het
antwoord is eenvoudig: we kunnen een geschikte steekproef statistiek gebruiken.
Voor een populatiegemiddelde µ is het steekproefgemiddelde x̄ bijvoorbeeld een
puntschatting van µ. Voor het populatiegemiddelde is het steekproef aandeel een
puntschatting
Puntschattingen zijn de meest voorkomende vorm van gevolgtrekking die
door de massamedia wordt gerapporteerd.
, Eigenschappen van puntschatters
Voor een bepaalde parameter zijn er verschillende mogelijke puntschattingen.
Overweeg bijvoorbeeld om de parameter µ te schatten uit een normale verdeling, die
het centrum beschrijft. Met steekproefgegevens van een normale verdeling zijn twee
mogelijke schattingen van µ het steekproefgemiddelde maar ook de
steekproefmediaan omdat de verdeling symmetrisch is. Wat maakt de ene
puntschatter beter dan de andere? Een goede schatter van een parameter heeft
twee wenselijke eigenschappen:
1. Een goede schatter heeft een steekproefverdeling die is gecentreerd
op de parameter die hij probeert te schatten. We definiëren in dit geval
centrum als het gemiddelde van die steekproefverdeling. Een schatter
met deze eigenschap zou niet verhoogd zijn.
2. Een goede schatter heeft een kleine standaarddeviatie in vergelijking
met andere schatters. Dit vertelt ons dat de schatter de neiging heeft
dichter bij de parameter te komen dan andere schattingen.
Intervalschatting: een interval construeren dat de parameter bevat (we
hopen)
Een recente enquête over het startsalaris van pas afgestudeerden schatte het
gemiddelde startsalaris op $ 45.500. Lijkt $ 45.500 voor u aannemelijk? Te hoog? Te
laag? Elke individuele puntschatting kan al dan niet dicht bij de parameterschatting
liggen. Om de schatting bruikbaar te maken, moeten we weten hoe dicht deze
waarschijnlijk bij de werkelijke parameterwaarde zal vallen. Ligt de schatting van $
45.500 waarschijnlijk binnen $ 1000 van het werkelijke populatiegemiddelde? Binnen
$ 5000? Binnen $ 10.000? Inferentie over een parameter moet niet alleen een
puntschatting opleveren, maar moet ook de waarschijnlijke nauwkeurigheid
aangeven
Een intervalschatting geeft precisie aan door een interval van getallen rond de
puntschatting te geven. Het interval bestaat uit getallen die de meest geloofwaardige
waarden zijn voor de onbekende parameter, op basis van de waargenomen
gegevens. Een enquête onder pas afgestudeerden voorspelt bijvoorbeeld dat het
gemiddelde beginsalaris ergens tussen $ 43.500 en $ 47.500 daalt, dat wil zeggen
binnen een foutmarge van $ 2000 op de puntschatting van $ 45.500. Een
intervalschatting is ontworpen om de parameter te bevatten met een bepaalde
waarschijnlijkheid, zoals 0,95. Omdat interval-estimation de parameter met een
zekere mate van betrouwbaarheid bevatten, worden ze betrouwbaarheidsintervallen
genoemd.
Het interval van $ 48.500 tot $ 52.000 is een voorbeeld van een
betrouwbaarheidsinterval. Het is geconstrueerd met een betrouwbaarheidsniveau
van 0,95. Dit wordt vaak uitgedrukt als een percentage, en we zeggen dat we 95%
zekerheid hebben dat het interval de parameter bevat. Het is een
betrouwbaarheidsinterval van 95%.
