Kwantitatieve Biologie DT2
Introductie
Modellen helpen bij het begrijpen van complexe biologische modellen,
voorspellen en visualiseren. Vaak zijn ecologische systemen extreem
complex, door biologische modellen te gebruiken en de belangrijkste
elementen eruit te halen kan je veel makkelijker het systeem begrijpen.
De drie basiselementen van modellen zijn:
1. De variabelen, hetgeen dat je onderzoekt. Deze waardes veranderen
tijdens het experiment. Bijvoorbeeld een populatiegrootte.
2. De parameters, dit zijn de waardes die constant zijn en bepalen hoe
snel of op welke manier de variabelen veranderen. Bijvoorbeeld de
sterftesnelheid van een populatie.
3. De aannames, de keuzes die je maakt om een model simpel en
begrijpelijk te houden, bijvoorbeeld het negeren van alle andere
dieren in het bos en om alle dieren in een populatie precies gelijk te
maken
Per model zijn er verschillende modellen die het best werken. Dit komt
later terug.
Een model kan nooit alles precies goed omschrijven of voorspellen.
Realisme is dus niet het hoofddoel, het doel is om te voorspellen of
verkennen. Modellen zijn allemaal fout, maar sommige zijn nuttig.
10. Exponentiële groei
Een differentievergelijking, bijvoorbeeld rijst op een schaakbord model
kan je opschrijven als: R(t+1) = 2*R(t). Hierbij is R de hoeveelheid rijst en
steeds elke nieuwe stap is dus 2 keer de vorige.
Exponentiële groei is groeit waarbij toename evenredig blijft aan de
eigen omvang, dus wordt met dezelfde waarde vermenigvuldigt. Groei is
altijd exponentieel als het percentage groei constant is. Door ‘log=y’
controleren of iets exponentieel is.
In een model met konijnen zit er uiteindelijk wel een limiet aan, want
uiteindelijk is er niet genoeg voedsel en ruimte. Logistische groei is
groei die exponentieel begint, maar waarbij het ecosysteem of de
populatie een bepaald draagvermogen heeft.
, Samenvattend H10:
- Snelle groei is niet altijd exponentiële groei en exponentiële groei is
niet altijd snel
- We spreken van exponentiële groei als de procentuele toename
constant blijft
- Bij een differentievergelijking bereken je de populatiegrootte in ‘de
volgende tijdstap’ uit op basis van de huidige populatiegrootte en in
is makkelijk in R uit te rekenen
- Logistische groei begint exponentieel, maar haalt uit eindelijk een
draagvlak en wordt constant
11. Modelleren met ODEs
Deterministische chaos, is zonder willekeur toch niet te voorspellen wat
er gebeurt, want de uitkomst is zeer gevoelig voor de initiële conditie.
Voorbeeld hiervan is een butterfly effect.
In H10 rekende met hele grote tijdstappen (jaren). Je berekent alleen de
punten niet de lijn ertussen. Veel processen zijn veel meer geleidelijk en
bij deze soepele processen zie je geen chaos in logistische groei. We gaan
oneindig kleine tijdstappen nemen in differentiaalvergelijkingen, hierbij
is de tijd continu en niet discreet.
Stel een populatie neemt met m dieren per tijdseenheid toe:
H (t )=H 0 +m∗t
Dit is steeds een te grote tijdstap om het vloeiend te maken, in plaats van
deze vergelijking doen we wat anders:
d H (t )
=m
dt
Je rekent nu niet de waarde uit maar de afgeleide over de tijd (t), dus hoe
steil de lijn loopt. Er staat nu ‘hoe snel veranderd mijn populatie?’
De ‘onbekende’ in een normale vergelijking is de oplossing, bijvoorbeeld
x=3. Bij een ODE is niet een getal, maar een functie. In de vergelijking
hierboven is het H(t). En H(t) is dan weer de eerste vergelijking.
Introductie
Modellen helpen bij het begrijpen van complexe biologische modellen,
voorspellen en visualiseren. Vaak zijn ecologische systemen extreem
complex, door biologische modellen te gebruiken en de belangrijkste
elementen eruit te halen kan je veel makkelijker het systeem begrijpen.
De drie basiselementen van modellen zijn:
1. De variabelen, hetgeen dat je onderzoekt. Deze waardes veranderen
tijdens het experiment. Bijvoorbeeld een populatiegrootte.
2. De parameters, dit zijn de waardes die constant zijn en bepalen hoe
snel of op welke manier de variabelen veranderen. Bijvoorbeeld de
sterftesnelheid van een populatie.
3. De aannames, de keuzes die je maakt om een model simpel en
begrijpelijk te houden, bijvoorbeeld het negeren van alle andere
dieren in het bos en om alle dieren in een populatie precies gelijk te
maken
Per model zijn er verschillende modellen die het best werken. Dit komt
later terug.
Een model kan nooit alles precies goed omschrijven of voorspellen.
Realisme is dus niet het hoofddoel, het doel is om te voorspellen of
verkennen. Modellen zijn allemaal fout, maar sommige zijn nuttig.
10. Exponentiële groei
Een differentievergelijking, bijvoorbeeld rijst op een schaakbord model
kan je opschrijven als: R(t+1) = 2*R(t). Hierbij is R de hoeveelheid rijst en
steeds elke nieuwe stap is dus 2 keer de vorige.
Exponentiële groei is groeit waarbij toename evenredig blijft aan de
eigen omvang, dus wordt met dezelfde waarde vermenigvuldigt. Groei is
altijd exponentieel als het percentage groei constant is. Door ‘log=y’
controleren of iets exponentieel is.
In een model met konijnen zit er uiteindelijk wel een limiet aan, want
uiteindelijk is er niet genoeg voedsel en ruimte. Logistische groei is
groei die exponentieel begint, maar waarbij het ecosysteem of de
populatie een bepaald draagvermogen heeft.
, Samenvattend H10:
- Snelle groei is niet altijd exponentiële groei en exponentiële groei is
niet altijd snel
- We spreken van exponentiële groei als de procentuele toename
constant blijft
- Bij een differentievergelijking bereken je de populatiegrootte in ‘de
volgende tijdstap’ uit op basis van de huidige populatiegrootte en in
is makkelijk in R uit te rekenen
- Logistische groei begint exponentieel, maar haalt uit eindelijk een
draagvlak en wordt constant
11. Modelleren met ODEs
Deterministische chaos, is zonder willekeur toch niet te voorspellen wat
er gebeurt, want de uitkomst is zeer gevoelig voor de initiële conditie.
Voorbeeld hiervan is een butterfly effect.
In H10 rekende met hele grote tijdstappen (jaren). Je berekent alleen de
punten niet de lijn ertussen. Veel processen zijn veel meer geleidelijk en
bij deze soepele processen zie je geen chaos in logistische groei. We gaan
oneindig kleine tijdstappen nemen in differentiaalvergelijkingen, hierbij
is de tijd continu en niet discreet.
Stel een populatie neemt met m dieren per tijdseenheid toe:
H (t )=H 0 +m∗t
Dit is steeds een te grote tijdstap om het vloeiend te maken, in plaats van
deze vergelijking doen we wat anders:
d H (t )
=m
dt
Je rekent nu niet de waarde uit maar de afgeleide over de tijd (t), dus hoe
steil de lijn loopt. Er staat nu ‘hoe snel veranderd mijn populatie?’
De ‘onbekende’ in een normale vergelijking is de oplossing, bijvoorbeeld
x=3. Bij een ODE is niet een getal, maar een functie. In de vergelijking
hierboven is het H(t). En H(t) is dan weer de eerste vergelijking.
