DEEL IV – LINEAIRE REGRESSIE
HOOFDSTUK 11 – INLEIDING
11.1 PROBLEEMSTELLING
Er wordt onderzoek gedaan naar de variatie in neurocognitieve en functionele toestand van oudere patiënten na een
heupoperatie.
Bij oudere patiënten leidt een chirurgische ingreep vaak tot acute cognitieve disfunctie, ook wel delier genoemd.
Delier versus dementie:
Delier Dementie
• Begint acuut • Begint niet acuut
• Is meestal tijdelijk • Ontwikkelt zich traag
• Is onomkeerbaar
Kenmerken van delier
• Leidt tot medische en zorgproblemen
• Is vaak het eerste symptoom van een lichamelijke aandoening of medicatie-intoxicatie
• Kan de mortaliteit verhogen
• Is moeilijk te detecteren
Economische gevolgen van delier
• Extra zorg nodig
• Langere ziekenhuisopname
• Grotere kans op opname in een instelling
Onderzoek suggereert dat bij oudere patiënten met een heupfractuur de toename in afhankelijkheid vooral het gevolg is
van delier, niet van de fractuur zelf.
,11.2 STEEKPROEF
Longitudinaal ontwerp: bepaalde variabelen worden herhaaldelijk gemeten over de tijd.
Zowel prospectieve (bijv. complicaties) als retrospectieve (bijv. leefsituatie) metingen.
Inclusiecriteria:
• Leeftijd ≥ 65 jaar
• Opgenomen met een heupfractuur via spoeddienst
• Toestemming voor deelname aan het onderzoek
Exclusiecriteria:
• Tijdsinterval tussen opname en operatie ≥ 72 uur
• Meerdere trauma’s
• ...
Periode van dataverzameling: 16 september 1996 – 28 februari 1997
11.3 VERZAMELDE GEGEVENS
• 60 patiënten
• 78 variabelen
• Metingen vóór, tijdens en na de operatie
• Zowel longitudinale als afgeleide metingen
• Studievragenlijst, ADL-score, MMSE en CAM-scores
11.4 VERBAND TUSSEN T-TEST, ANOVA EN LINEAIRE REGRESSIE
ANOVA = Analysis of Variance (variantieanalyse).
In alle drie de gevallen is de afhankelijke variabele (Y) continu.
• Onafhankelijke t-test: vergelijkt Y tussen twee groepen.
• ANOVA: vergelijkt Y tussen twee of meer groepen; naast hypothesetoetsing kunnen ook groepsverschillen
worden geschat.
• Lineaire regressie: onderzoekt de relatie tussen Y en één of meer verklarende variabelen (X). Deze X-variabelen
kunnen continu, binair, categorisch of telvariabelen zijn.
Zowel met ANOVA als met lineaire regressie kunnen hypothesen worden getest en parameters worden geschat.
Verband tussen methodes:
Onafhankelijke t-test ⊆ ANOVA ⊆ Lineaire regressie
De gepaarde t-test is geschikt voor herhaalde metingen per individu.
,HOOFDSTUK 12 – ENKELVOUDIGE LINEAIRE REGRESSIE
12.1 INLEIDING
De correlatiecoëfficiënt 𝑟 meet de lineaire relatie tussen twee metingen, 𝑥 en 𝑦.
Hoe kunnen we deze lineaire relatie beschrijven?
Een mogelijke manier is het construeren van de rechte lijn die het beste past bij de geobserveerde metingen:
Een rechte lijn wordt analytisch beschreven door een vergelijking van de vorm:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥
De parameter 𝛽0 is het intercept van de rechte lijn. Dit is de waarde van 𝑦 wanneer 𝑥 = 0.
Het intercept geeft dus het startpunt van de lijn op de y-as aan.
De parameter 𝛽1 is de helling van de lijn. Deze geeft aan hoe sterk 𝑦 verandert als 𝑥 met één eenheid verandert.
Als 𝛽1 > 0:
• Er is een positieve relatie tussen 𝑥 en 𝑦.
• Hoe groter 𝛽1 , hoe sneller 𝑦 toeneemt met 𝑥.
Als 𝛽1 < 0:
• Er is een negatieve relatie tussen 𝑥 en 𝑦.
• Hoe kleiner 𝛽1 , hoe sneller 𝑦 afneemt met 𝑥.
De opdracht is om de parameters 𝛽0 en 𝛽1 te schatten op basis van de verzamelde gegevens (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ).
Dit gebeurt vaak met behulp van de methode van de kleinste kwadraten, waarbij de lijn wordt gekozen zodat de som van
de kwadraten van de verticale afwijkingen van de punten tot de lijn minimaal is.
, 12.2 DE METHODE VAN DE KLEINSTE KWADRATEN
Om 𝛽0 en 𝛽1 te schatten, moeten we eerst bepalen welk criterium de “beste” rechte lijn moet voldoen,
oftewel: wat bedoelen we precies met “beste”?
Als we 𝛽0 en 𝛽1 zouden kennen, dan kunnen we voor elke waarneming in de dataset, op basis van de 𝑥-waarde, een
voorspelde waarde voor 𝑦 berekenen:
𝑦̂𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖
De voorspelling is goed als 𝑦̂𝑖 dicht bij 𝑦𝑖 ligt, en slecht als 𝑦̂𝑖 sterk afwijkt van 𝑦𝑖 .
Als de rechte lijn de gegevens (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) goed beschrijft, verwachten we dat voor de meeste punten 𝑦̂𝑖 dicht bij de werkelijke
waarde 𝑦𝑖 ligt.
Een mogelijke maat om te bepalen hoe goed de rechte lijn gekozen is, is:
Hierbij is 𝑄een maat voor hoe dicht de data bij de rechte lijn 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 liggen.
Andere rechte lijnen (andere waarden voor 𝛽0 en 𝛽1 ) leiden tot andere 𝑄-waarden.
Dit suggereert het volgende criterium: de rechte lijn die de data het beste beschrijft, is degene waarvoor 𝑄 zo klein
mogelijk is.
De methode van de kleinste kwadraten berekent de waarden van 𝛽0 en 𝛽1 waarvoor 𝑄 minimaal is.
Het kan worden aangetoond dat deze waarden worden gegeven door:
Hierbij worden 𝛽̂0 en 𝛽̂1 de schatters van de kleinste kwadraten genoemd voor 𝛽0 en 𝛽1 .
De zo verkregen rechte lijn,
𝑦 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑥
wordt de regressielijn genoemd.
HOOFDSTUK 11 – INLEIDING
11.1 PROBLEEMSTELLING
Er wordt onderzoek gedaan naar de variatie in neurocognitieve en functionele toestand van oudere patiënten na een
heupoperatie.
Bij oudere patiënten leidt een chirurgische ingreep vaak tot acute cognitieve disfunctie, ook wel delier genoemd.
Delier versus dementie:
Delier Dementie
• Begint acuut • Begint niet acuut
• Is meestal tijdelijk • Ontwikkelt zich traag
• Is onomkeerbaar
Kenmerken van delier
• Leidt tot medische en zorgproblemen
• Is vaak het eerste symptoom van een lichamelijke aandoening of medicatie-intoxicatie
• Kan de mortaliteit verhogen
• Is moeilijk te detecteren
Economische gevolgen van delier
• Extra zorg nodig
• Langere ziekenhuisopname
• Grotere kans op opname in een instelling
Onderzoek suggereert dat bij oudere patiënten met een heupfractuur de toename in afhankelijkheid vooral het gevolg is
van delier, niet van de fractuur zelf.
,11.2 STEEKPROEF
Longitudinaal ontwerp: bepaalde variabelen worden herhaaldelijk gemeten over de tijd.
Zowel prospectieve (bijv. complicaties) als retrospectieve (bijv. leefsituatie) metingen.
Inclusiecriteria:
• Leeftijd ≥ 65 jaar
• Opgenomen met een heupfractuur via spoeddienst
• Toestemming voor deelname aan het onderzoek
Exclusiecriteria:
• Tijdsinterval tussen opname en operatie ≥ 72 uur
• Meerdere trauma’s
• ...
Periode van dataverzameling: 16 september 1996 – 28 februari 1997
11.3 VERZAMELDE GEGEVENS
• 60 patiënten
• 78 variabelen
• Metingen vóór, tijdens en na de operatie
• Zowel longitudinale als afgeleide metingen
• Studievragenlijst, ADL-score, MMSE en CAM-scores
11.4 VERBAND TUSSEN T-TEST, ANOVA EN LINEAIRE REGRESSIE
ANOVA = Analysis of Variance (variantieanalyse).
In alle drie de gevallen is de afhankelijke variabele (Y) continu.
• Onafhankelijke t-test: vergelijkt Y tussen twee groepen.
• ANOVA: vergelijkt Y tussen twee of meer groepen; naast hypothesetoetsing kunnen ook groepsverschillen
worden geschat.
• Lineaire regressie: onderzoekt de relatie tussen Y en één of meer verklarende variabelen (X). Deze X-variabelen
kunnen continu, binair, categorisch of telvariabelen zijn.
Zowel met ANOVA als met lineaire regressie kunnen hypothesen worden getest en parameters worden geschat.
Verband tussen methodes:
Onafhankelijke t-test ⊆ ANOVA ⊆ Lineaire regressie
De gepaarde t-test is geschikt voor herhaalde metingen per individu.
,HOOFDSTUK 12 – ENKELVOUDIGE LINEAIRE REGRESSIE
12.1 INLEIDING
De correlatiecoëfficiënt 𝑟 meet de lineaire relatie tussen twee metingen, 𝑥 en 𝑦.
Hoe kunnen we deze lineaire relatie beschrijven?
Een mogelijke manier is het construeren van de rechte lijn die het beste past bij de geobserveerde metingen:
Een rechte lijn wordt analytisch beschreven door een vergelijking van de vorm:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥
De parameter 𝛽0 is het intercept van de rechte lijn. Dit is de waarde van 𝑦 wanneer 𝑥 = 0.
Het intercept geeft dus het startpunt van de lijn op de y-as aan.
De parameter 𝛽1 is de helling van de lijn. Deze geeft aan hoe sterk 𝑦 verandert als 𝑥 met één eenheid verandert.
Als 𝛽1 > 0:
• Er is een positieve relatie tussen 𝑥 en 𝑦.
• Hoe groter 𝛽1 , hoe sneller 𝑦 toeneemt met 𝑥.
Als 𝛽1 < 0:
• Er is een negatieve relatie tussen 𝑥 en 𝑦.
• Hoe kleiner 𝛽1 , hoe sneller 𝑦 afneemt met 𝑥.
De opdracht is om de parameters 𝛽0 en 𝛽1 te schatten op basis van de verzamelde gegevens (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ).
Dit gebeurt vaak met behulp van de methode van de kleinste kwadraten, waarbij de lijn wordt gekozen zodat de som van
de kwadraten van de verticale afwijkingen van de punten tot de lijn minimaal is.
, 12.2 DE METHODE VAN DE KLEINSTE KWADRATEN
Om 𝛽0 en 𝛽1 te schatten, moeten we eerst bepalen welk criterium de “beste” rechte lijn moet voldoen,
oftewel: wat bedoelen we precies met “beste”?
Als we 𝛽0 en 𝛽1 zouden kennen, dan kunnen we voor elke waarneming in de dataset, op basis van de 𝑥-waarde, een
voorspelde waarde voor 𝑦 berekenen:
𝑦̂𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖
De voorspelling is goed als 𝑦̂𝑖 dicht bij 𝑦𝑖 ligt, en slecht als 𝑦̂𝑖 sterk afwijkt van 𝑦𝑖 .
Als de rechte lijn de gegevens (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) goed beschrijft, verwachten we dat voor de meeste punten 𝑦̂𝑖 dicht bij de werkelijke
waarde 𝑦𝑖 ligt.
Een mogelijke maat om te bepalen hoe goed de rechte lijn gekozen is, is:
Hierbij is 𝑄een maat voor hoe dicht de data bij de rechte lijn 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 liggen.
Andere rechte lijnen (andere waarden voor 𝛽0 en 𝛽1 ) leiden tot andere 𝑄-waarden.
Dit suggereert het volgende criterium: de rechte lijn die de data het beste beschrijft, is degene waarvoor 𝑄 zo klein
mogelijk is.
De methode van de kleinste kwadraten berekent de waarden van 𝛽0 en 𝛽1 waarvoor 𝑄 minimaal is.
Het kan worden aangetoond dat deze waarden worden gegeven door:
Hierbij worden 𝛽̂0 en 𝛽̂1 de schatters van de kleinste kwadraten genoemd voor 𝛽0 en 𝛽1 .
De zo verkregen rechte lijn,
𝑦 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑥
wordt de regressielijn genoemd.
