Hoofdstuk 10: Inleiding- Eigenschappen van fluïda
1. De “geen-slip” randvoorwaarde
Een fluïdum in contact met een vast oppervlak “kleeft” aan het oppervlak; er treedt m.a.w. geen slip
op. snelheid = 0, maar fluïda dat aanstroomt heeft wel een zekere snelheid.
Oorzaak: viscositeit van het fluïdum
Gevolg:
- ontstaan grenslaag (= fluïdumlaag aan het oppervlak waar deze viskeuze effecten (en dus
snelheidsgradiënten) significant zijn). Viscositeit bepaald hoe de grenslaag eruit ziet.
- Oppervlakteweerstand of wrijvingsweerstand = surface drag, skin friction drag = fluïdum
tracht het oppervlak mee te sleuren in de stroomrichting, doordat fluïdummoleculen aan
elkaar trekken en door de viscositeit gaan die het vast oppervlak meetrekken.
Afscheidingszone = een fluïdum dat over een gebogen oppervlak stroomt “laat los” ten gevolge van
inertiekrachten (flow separation), het gaat als het ware uit de bocht.
“Geen-temperatuursprong” randvoorwaarde: een fluïdum en het oppervlak waar het mee in contact
staat (waar het over stroomt) hebben dezelfde temperatuur aan het contactoppervlak, doordat er bij
contact warmteoverdracht is zodat beide lichamen dezelfde temperatuur hebben.
2. Viscositeit
= interne weerstand van een fluïdum voor beweging (“vloeibaarheid”) = weerstand die fluïdum oplegt
aan de beweging volgens een kracht
Er is een kracht die een stromende vloeistof uitoefent op een lichaam in de stromingsrichting, de
grootte van die kracht is deels afhankelijk van de grootte van de viscositeit.
De onderste plaat beweegt niet. Op de
bovenste plaat wordt een constant
kracht F uitgeoefend en daarom
beweegt die plaat met snelheid V voort
in de richting van de kracht. De vloeistof
in contact met de bovenste plaat kleeft
aan het plaatoppervlak en beweegt
mee met dezelfde snelheid, voor de
schijfspanning 𝜏 die op de vloeistoflaag
inwerkt geldt: 𝜏 = 𝐹/A.
De vloeistof in contact met de onderste
plaat, neemt dezelfde snelheid aan als die van de plaat, dus = 0.
De vervormingssnelheid van een vloeistof (onder invloed van schuifspanning) is gelijk aan de
snelheidsgradiënt. 𝑑𝛽/𝑑𝑡 = 𝑑𝑢/𝑑y
Schuifspanning is recht evenredig met de vervormingssnelheid of de snelheidsgradiënt. (𝜏 ∝
𝑑𝛽/𝑑𝑡 of 𝜏 ∝ 𝑑𝑢/𝑑y).
Newtoniaanse fluïda
= fluïda waarvoor de vervormingssnelheid evenredig is met de
schuifspanning.
du
Schuifspanning τ =μ (N /m2 )
dy
, met μ = dynamische viscositeit (kg/ms of Ns/m2 of Pas)
= rico van de rechte (van τ ifv 𝑑𝑢/𝑑y)
du V
Schuifkracht F=τ A=μA =μA
dy l
Kinematische viscositeit ν=μ/ ρ (m2/s of stoke (1 stoke = 1 cm2 /s))
Niet- Newtoniaanse fluïda: “schijnbare viscositeit”
= de vervormingssnelheid is niet evenredig met de schuifspanning.
Pseudoplastisch (“afschuifverdunnend”): schijnbare viscositeit neemt af met de
vervormingssnelheid. Eerst moet je hier bij lage schuifspanning heel veel kracht in steken om
vloeistof te laten bewegen (om vervormingssnelheid te hebben), maar vanaf je beweging
hebt, moet je veel minder kracht toevoegen om te vervormen. Bv: ketchup, verf, zeep
Dilatant (“afschuif-verdikkend”): schijnbare viscositeit neemt toe met de
vervormingssnelheid. Bij een lage schuifspanning kan jij bij een langzame beweging makkelijk
roeren in de vloeistof (makkelijk vervormen). Wanneer je snel probeert te roeren, gaat dit
veel moeizamer. Bv: drijfzand, natte cement
Bingham plastisch (kunnen weerstaan aan beperkte schuifspanning en gedragen zich dus als
een vaste vloeistof, maar ze vervormen constant als de schuifspanning de vloeigrens
overschrijdt en gedragen zich als een vloeistof)
Temperatuur:
Vloeistoffen: viscositeit neemt af als T toeneemt, want als vloeistof opwarmt, gaan deeltjes verder uit
elkaar en is de cohesiekracht kleiner
Gassen: viscositeit neemt toe als T toeneemt, want de temperatuur van het gas neemt toe dus de
individuele moleculen hebben meer bewegingsenergie en gaan meer botsen
Druk zie ppt dia 13
Toep: roterende viscosimeter
3. Classificatie van stromingen
- Viskeuze stroming: stroming in gebieden waar wrijving significant is.
- Niet-viskeuze stroming: stromingen (meestal op voldoende afstand van vaste oppervlakken), waar
de viskeuze krachten verwaarloosbaar klein zijn in vergelijking met traagheids- of drukkrachten.
- Interne stroming: stroming in een pijp, een buis of kanaal, volledig begrensd door vaste
oppervlakken. Stroming die ingesloten is.
2
,- Externe stroming: de stroming van een onbegrensde vloeistof over een oppervlak, zoals een plaat,
een draad of een pijp. Stroming over een voorwerp. Bv: stroming over een tennisbal
- Onsamendrukbare stroming: de dichtheid is min of meer constant (vb. vloeistoffen).
- Samendrukbare stroming: de dichtheid varieert in de stroming (vb: hoge snelheidsstromen).
- Gassen: ~ onsamendrukbaar bij Mach getal < 0,3. 𝑀𝑎 = 𝑉/𝑐, met c = snelheid van het geluid in lucht,
op zeeniveau = 346 m/s
- Laminaire stroming: geordende beweging, gelaagde stroming, hoog viskeuze fluïda (vb. olie), bij
lage snelheden. Heel netjes, geen uitwisseling van vloeistof tussen lagen
- Overgang: Stroming alterneert (gaat over van) tussen laminair en turbulent. Bv: rook van een kaars
- Turbulente stroming: wanordelijke beweging, laag viskeuze fluïda (vb. lucht), bij hoge snelheden.
laminaire of turbulente stroming bepaald door Reynolds getal Re
- Natuurlijke stroming: Stroming heeft een natuurlijke oorzaak, vb verschil in densiteit door
temperatuurverschil.
- Gedwongen stroming: Stroming wordt gedwongen over een oppervlak of in een buis d.m.v. een
pomp of ventilator
- Stationair: geen verandering van eigenschappen in de tijd. vb. turbines, compressoren, pompen
- Niet-stationair: *Transient: ontwikkelende stroming
*Periodisch: fluctuatie rond stationair gemiddelde.
Hoofdstuk 11: Hydrostatica
1. Inleiding
Fluïdumstatica waarbij het fluïdum een vloeistof is. Het fluïda bevindt zich in een toestand van
absolute rust (ten opzichte van de aarde beschouwd).
Er worden geen extra krachten uitgeoefend op het fluïdum. De krachten die wel optreden zijn de
normale krachten (druk), geen tangentiële krachten.
Hydrostatica heeft enkel betekenis in een gravitatieveld, want in de hydrostatica gaat het vooral over
de drukken die fluïdum een uitoefent op oppervlak en die druk is een gevolg van het gewicht van het
fluïdum en zal variëren afhankelijk van hoe diep men zich bevindt in het fluïdum.
2. Hydrostatische druk
Atmosferische druk P0, Pa of Patm = druk die heerst in de atmosfeer. Voor eenheden zie dia 25.
1 atm = de gemiddelde druk die heerst op zeeniveau.
Atm, bar zijn geen SI-eenheden.
De effectieve of relatieve druk Prel: waterkolom boven je je hoofd (waar je je bevindt) weegt op
je, het drukt op jou.
Absolute druk Pabs: druk die heerste op de positie waar je je bevindt (als je je in een fluïdum
bevindt). Het is het gevolg van de vloeistof kolom die zich boven je hoofd bevindt + de atmosfeer
die op die vloeistof drukt. 𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑟el
Druk is een scalaire grootheid, geen vector.
Variatie druk met diepte in fluïdum
som van alle krachtcomponenten=0
z-richting: zwaartekracht
3
, P van gassen is niet constant, dus infinitesimale veranderingen
Absolute druk = atmosfeerdruk die boven vloeistof heerst + de hydrostatische druk
3. Drukmetingen
Druk op eenzelfde hoogte is overal gelijk
Barometer: 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔ℎ
Manometer: 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ
(zie meer info dia 27)
Een differentiaalmanometer:
De druk in A en B is gelijk.
PA = P B
PA = de druk door de vloeistofkolom erboven
= P1 + 𝜌1𝑔h (druk van vloeistof boven A tot op een
hoogte h) + 𝜌1𝑔a (vanaf hoogte h tot hoogte a)
PB = de druk door de vloeistofkolom erboven en de druk
in punt 2.
= P2 + 𝜌2𝑔ℎ (druk van vloeistofkolom boven B)
+ 𝜌1𝑔a (druk van vloeistofkolom boven rode vloeistof).
4. Hydrostatische krachten op ondergedompelde vlakke oppervlakken
Het is een systeem van parallelle krachten, die variëren met de diepte.
We willen dat volledige systeem van parallelle krachten beschrijven door één resulterende
hydrostatische kracht FR?
- Hoe groot is die?
- En waar grijpt die aan?
- De richting is gekend.
De atmosferische druk kan verwaarloosd worden als die op beide zijden inwerkt.
Vlakke plaat - volledig ondergedompeld
De ondergedompelde voetvormige plaat snijdt het oppervlak met een bepaalde hoek θ. Op het
infinitesimale oppervlak van de vlakke plaat heerst een druk gelijk aan 𝜌𝑔y sinθ, met h= y sinθ en y
variërend. Dit is de relatieve druk, dus hier moet P atm nog bij opgeteld worden.
Dus P = P0 + 𝜌𝑔y sinθ
❑
Grootte van de resulterende hydrostatische kracht: F R =∫ PdA
A
Hoe dieper (groter y), hoe groter de druk en hoe groter de kracht.
Grootte van FR komt
overeen met drukkracht
die heerst in
geometrisch centrum (=
druk in geometrisch
centrum x A).
F R =Patm A
4
1. De “geen-slip” randvoorwaarde
Een fluïdum in contact met een vast oppervlak “kleeft” aan het oppervlak; er treedt m.a.w. geen slip
op. snelheid = 0, maar fluïda dat aanstroomt heeft wel een zekere snelheid.
Oorzaak: viscositeit van het fluïdum
Gevolg:
- ontstaan grenslaag (= fluïdumlaag aan het oppervlak waar deze viskeuze effecten (en dus
snelheidsgradiënten) significant zijn). Viscositeit bepaald hoe de grenslaag eruit ziet.
- Oppervlakteweerstand of wrijvingsweerstand = surface drag, skin friction drag = fluïdum
tracht het oppervlak mee te sleuren in de stroomrichting, doordat fluïdummoleculen aan
elkaar trekken en door de viscositeit gaan die het vast oppervlak meetrekken.
Afscheidingszone = een fluïdum dat over een gebogen oppervlak stroomt “laat los” ten gevolge van
inertiekrachten (flow separation), het gaat als het ware uit de bocht.
“Geen-temperatuursprong” randvoorwaarde: een fluïdum en het oppervlak waar het mee in contact
staat (waar het over stroomt) hebben dezelfde temperatuur aan het contactoppervlak, doordat er bij
contact warmteoverdracht is zodat beide lichamen dezelfde temperatuur hebben.
2. Viscositeit
= interne weerstand van een fluïdum voor beweging (“vloeibaarheid”) = weerstand die fluïdum oplegt
aan de beweging volgens een kracht
Er is een kracht die een stromende vloeistof uitoefent op een lichaam in de stromingsrichting, de
grootte van die kracht is deels afhankelijk van de grootte van de viscositeit.
De onderste plaat beweegt niet. Op de
bovenste plaat wordt een constant
kracht F uitgeoefend en daarom
beweegt die plaat met snelheid V voort
in de richting van de kracht. De vloeistof
in contact met de bovenste plaat kleeft
aan het plaatoppervlak en beweegt
mee met dezelfde snelheid, voor de
schijfspanning 𝜏 die op de vloeistoflaag
inwerkt geldt: 𝜏 = 𝐹/A.
De vloeistof in contact met de onderste
plaat, neemt dezelfde snelheid aan als die van de plaat, dus = 0.
De vervormingssnelheid van een vloeistof (onder invloed van schuifspanning) is gelijk aan de
snelheidsgradiënt. 𝑑𝛽/𝑑𝑡 = 𝑑𝑢/𝑑y
Schuifspanning is recht evenredig met de vervormingssnelheid of de snelheidsgradiënt. (𝜏 ∝
𝑑𝛽/𝑑𝑡 of 𝜏 ∝ 𝑑𝑢/𝑑y).
Newtoniaanse fluïda
= fluïda waarvoor de vervormingssnelheid evenredig is met de
schuifspanning.
du
Schuifspanning τ =μ (N /m2 )
dy
, met μ = dynamische viscositeit (kg/ms of Ns/m2 of Pas)
= rico van de rechte (van τ ifv 𝑑𝑢/𝑑y)
du V
Schuifkracht F=τ A=μA =μA
dy l
Kinematische viscositeit ν=μ/ ρ (m2/s of stoke (1 stoke = 1 cm2 /s))
Niet- Newtoniaanse fluïda: “schijnbare viscositeit”
= de vervormingssnelheid is niet evenredig met de schuifspanning.
Pseudoplastisch (“afschuifverdunnend”): schijnbare viscositeit neemt af met de
vervormingssnelheid. Eerst moet je hier bij lage schuifspanning heel veel kracht in steken om
vloeistof te laten bewegen (om vervormingssnelheid te hebben), maar vanaf je beweging
hebt, moet je veel minder kracht toevoegen om te vervormen. Bv: ketchup, verf, zeep
Dilatant (“afschuif-verdikkend”): schijnbare viscositeit neemt toe met de
vervormingssnelheid. Bij een lage schuifspanning kan jij bij een langzame beweging makkelijk
roeren in de vloeistof (makkelijk vervormen). Wanneer je snel probeert te roeren, gaat dit
veel moeizamer. Bv: drijfzand, natte cement
Bingham plastisch (kunnen weerstaan aan beperkte schuifspanning en gedragen zich dus als
een vaste vloeistof, maar ze vervormen constant als de schuifspanning de vloeigrens
overschrijdt en gedragen zich als een vloeistof)
Temperatuur:
Vloeistoffen: viscositeit neemt af als T toeneemt, want als vloeistof opwarmt, gaan deeltjes verder uit
elkaar en is de cohesiekracht kleiner
Gassen: viscositeit neemt toe als T toeneemt, want de temperatuur van het gas neemt toe dus de
individuele moleculen hebben meer bewegingsenergie en gaan meer botsen
Druk zie ppt dia 13
Toep: roterende viscosimeter
3. Classificatie van stromingen
- Viskeuze stroming: stroming in gebieden waar wrijving significant is.
- Niet-viskeuze stroming: stromingen (meestal op voldoende afstand van vaste oppervlakken), waar
de viskeuze krachten verwaarloosbaar klein zijn in vergelijking met traagheids- of drukkrachten.
- Interne stroming: stroming in een pijp, een buis of kanaal, volledig begrensd door vaste
oppervlakken. Stroming die ingesloten is.
2
,- Externe stroming: de stroming van een onbegrensde vloeistof over een oppervlak, zoals een plaat,
een draad of een pijp. Stroming over een voorwerp. Bv: stroming over een tennisbal
- Onsamendrukbare stroming: de dichtheid is min of meer constant (vb. vloeistoffen).
- Samendrukbare stroming: de dichtheid varieert in de stroming (vb: hoge snelheidsstromen).
- Gassen: ~ onsamendrukbaar bij Mach getal < 0,3. 𝑀𝑎 = 𝑉/𝑐, met c = snelheid van het geluid in lucht,
op zeeniveau = 346 m/s
- Laminaire stroming: geordende beweging, gelaagde stroming, hoog viskeuze fluïda (vb. olie), bij
lage snelheden. Heel netjes, geen uitwisseling van vloeistof tussen lagen
- Overgang: Stroming alterneert (gaat over van) tussen laminair en turbulent. Bv: rook van een kaars
- Turbulente stroming: wanordelijke beweging, laag viskeuze fluïda (vb. lucht), bij hoge snelheden.
laminaire of turbulente stroming bepaald door Reynolds getal Re
- Natuurlijke stroming: Stroming heeft een natuurlijke oorzaak, vb verschil in densiteit door
temperatuurverschil.
- Gedwongen stroming: Stroming wordt gedwongen over een oppervlak of in een buis d.m.v. een
pomp of ventilator
- Stationair: geen verandering van eigenschappen in de tijd. vb. turbines, compressoren, pompen
- Niet-stationair: *Transient: ontwikkelende stroming
*Periodisch: fluctuatie rond stationair gemiddelde.
Hoofdstuk 11: Hydrostatica
1. Inleiding
Fluïdumstatica waarbij het fluïdum een vloeistof is. Het fluïda bevindt zich in een toestand van
absolute rust (ten opzichte van de aarde beschouwd).
Er worden geen extra krachten uitgeoefend op het fluïdum. De krachten die wel optreden zijn de
normale krachten (druk), geen tangentiële krachten.
Hydrostatica heeft enkel betekenis in een gravitatieveld, want in de hydrostatica gaat het vooral over
de drukken die fluïdum een uitoefent op oppervlak en die druk is een gevolg van het gewicht van het
fluïdum en zal variëren afhankelijk van hoe diep men zich bevindt in het fluïdum.
2. Hydrostatische druk
Atmosferische druk P0, Pa of Patm = druk die heerst in de atmosfeer. Voor eenheden zie dia 25.
1 atm = de gemiddelde druk die heerst op zeeniveau.
Atm, bar zijn geen SI-eenheden.
De effectieve of relatieve druk Prel: waterkolom boven je je hoofd (waar je je bevindt) weegt op
je, het drukt op jou.
Absolute druk Pabs: druk die heerste op de positie waar je je bevindt (als je je in een fluïdum
bevindt). Het is het gevolg van de vloeistof kolom die zich boven je hoofd bevindt + de atmosfeer
die op die vloeistof drukt. 𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑟el
Druk is een scalaire grootheid, geen vector.
Variatie druk met diepte in fluïdum
som van alle krachtcomponenten=0
z-richting: zwaartekracht
3
, P van gassen is niet constant, dus infinitesimale veranderingen
Absolute druk = atmosfeerdruk die boven vloeistof heerst + de hydrostatische druk
3. Drukmetingen
Druk op eenzelfde hoogte is overal gelijk
Barometer: 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔ℎ
Manometer: 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ
(zie meer info dia 27)
Een differentiaalmanometer:
De druk in A en B is gelijk.
PA = P B
PA = de druk door de vloeistofkolom erboven
= P1 + 𝜌1𝑔h (druk van vloeistof boven A tot op een
hoogte h) + 𝜌1𝑔a (vanaf hoogte h tot hoogte a)
PB = de druk door de vloeistofkolom erboven en de druk
in punt 2.
= P2 + 𝜌2𝑔ℎ (druk van vloeistofkolom boven B)
+ 𝜌1𝑔a (druk van vloeistofkolom boven rode vloeistof).
4. Hydrostatische krachten op ondergedompelde vlakke oppervlakken
Het is een systeem van parallelle krachten, die variëren met de diepte.
We willen dat volledige systeem van parallelle krachten beschrijven door één resulterende
hydrostatische kracht FR?
- Hoe groot is die?
- En waar grijpt die aan?
- De richting is gekend.
De atmosferische druk kan verwaarloosd worden als die op beide zijden inwerkt.
Vlakke plaat - volledig ondergedompeld
De ondergedompelde voetvormige plaat snijdt het oppervlak met een bepaalde hoek θ. Op het
infinitesimale oppervlak van de vlakke plaat heerst een druk gelijk aan 𝜌𝑔y sinθ, met h= y sinθ en y
variërend. Dit is de relatieve druk, dus hier moet P atm nog bij opgeteld worden.
Dus P = P0 + 𝜌𝑔y sinθ
❑
Grootte van de resulterende hydrostatische kracht: F R =∫ PdA
A
Hoe dieper (groter y), hoe groter de druk en hoe groter de kracht.
Grootte van FR komt
overeen met drukkracht
die heerst in
geometrisch centrum (=
druk in geometrisch
centrum x A).
F R =Patm A
4
