calculo integral unidad 3(la integral definida)

UNIDAD 4 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES

Esta técnica o método puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es
particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y
trascendentales. Este método se basa en la integración de la fórmula de la derivada del
producto de dos funciones. La fórmula que se utiliza para integrar por partes es la siguiente:

∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖

Estrategia para Integrar por Partes:

a) Tomar como 𝒅𝒗 la funciona más complicada del integrando que se ajuste a una regla
básica de integración y como 𝒖 el factor restante del integrando.
b) Tomar como 𝒖 la función del integrando cuya derivada sea una función más simple que
la propia 𝒖, y como 𝒅𝒗 el factor restante del integrando.
c) Checar que la segunda integral que resulta al aplicar el método debe de ser más simple
que la primera integral (o principal integral), si no es así se intercambian 𝒖 y 𝒅𝒗.

Sugerencia: una buena estrategia para selección de 𝒖 y 𝒅𝒗, es que al seleccionar la función
𝒖 y al derivarla siempre baje de nivel.

Para fórmula de ésta técnica de integración, se elige 𝒖 para generar 𝒅𝒖 y se elige 𝒅𝒗 para
obtener 𝒗, los cuales se necesitan en la fórmula del método.

Ejemplos: Realizar o evaluar las siguientes integrales.

𝟏. ∫ 𝟒𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑢 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑣 = 4𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑣 = 2𝑥 2
Nota: Observe que cuando se usa una integral auxiliar nunca se pone la constante de
integración y tampoco se aplica la integral definida, porque debe cumplir el objetivo de auxiliar
a la integral principal.

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Se aplica la fórmula del método

∫ 4𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ⏟
(𝑒 2𝑥 ) (2𝑥
⏟ 2 ) − ∫ (2𝑥
⏟ 2) ⏟
(2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥) = 2𝑥 2 𝑒 2𝑥 − ∫ 4𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
𝒖 𝒗 𝒗 𝒅𝒖
⏟



1

,Observe que la integral resultante no es más simple que la principal ya que aumento de grado
y nivel, por lo que no cumple la buena selección de 𝒖 y 𝒅𝒗 , así que deberán intercambiarse.

∫ 𝟒𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
1
𝑣= ∫ 𝑒 2𝑥 ⏟
𝟐𝑑𝑥
𝟐 𝒅𝒖
1 2𝑥
𝑣= 𝑒
2
1 1
∫ 4𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ⏟
(4𝑥) ( 𝑒 2𝑥 ) − ∫ ( 𝑒 2𝑥 ) ⏟
(4𝑑𝑥) = 2𝑥𝑒 2𝑥 − 2 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
⏟2 ⏟2 ⏟
𝒖 𝒅𝒖
𝒗 𝒗

Ahora observe que la integral resultante bajó de grado o nivel, por lo que la selección fue
adecuada, note además que la derivada de 𝒖 que es 𝒅𝒖, resultó ser más simple, por lo que
cumple con la estrategia.
1
∫ 4𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 2𝑥 − 2 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 2𝑥 − 2 ∙ ∫ 𝑒 2𝑥 ⏟
𝟐𝑑𝑥
𝟐 𝒅𝒖
𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

∫ 4𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 𝑐 ⟸𝑹


𝟐. ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 ⟸ Esta integral se hace dos veces integracion por partes por el grado dos
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑢 = 5𝑥
𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥
1
𝑣= ∫ 𝑒 5𝑥 ⏟
𝟓𝑑𝑥
𝟓 𝒅𝒖
1 5𝑥
𝑣= 𝑒
5

Enseguida se aplica la fórmula del método ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢



2

, 1 5𝑥 1 1 2 5𝑥 2
∫ 𝑥 2 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥 2 ) ( 𝑒 ) − ∫ ( 𝑒 5𝑥 ) (2𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 𝑒 − ∫ 𝑥 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
5 5 5 5
La integral resultante se integra nuevamente por partes.

∫ 𝑥 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑢 = 5𝑥
𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥
1
𝑣= ∫ 𝑒 5𝑥 ⏟
𝟓𝑑𝑥
𝟓 𝒅𝒖
1 5𝑥
𝑣= 𝑒
5
1 1 1 1
∫ 𝑥𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥) ( 𝑒 5𝑥 ) − ∫ ( 𝑒 5𝑥 ) (𝑑𝑥) = 𝑥𝑒 5𝑥 − ∫ 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
5 5 5 5
𝑢 = 5𝑥
𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥
1 5𝑥 1 1 1 5𝑥 1 5𝑥
∫ 𝑥𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − ∙ ∫ 𝑒 5𝑥 ⏟
𝟓𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑒 ⟸ Se sustituye en principal
5 5 𝟓 ⏟5 25
𝒅𝒖

1 2 5𝑥 2 1 1 5𝑥
∫ 𝑥 2 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 − ( 𝑥𝑒 5𝑥 − 𝑒 )+𝑐
5 5 5 25

1 2 5𝑥 2 2
= 𝑥 𝑒 − 𝑥𝑒 5𝑥 + 𝑒 5𝑥 + 𝑐 ⟸𝑹
5 25 125


𝟑. ∫ 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑢 = 3𝑥
𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥
1
𝑣= ∫ 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 ⏟
3𝑑𝑥
3 𝑑𝑢
1
𝑣= 𝑆𝑒𝑛 3𝑥
3

Enseguida se aplica la fórmula del método ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢



3

, 1 1 2 2
∫ 2𝑥 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥) ( 𝑆𝑒𝑛 3𝑥) − ∫ ( 𝑆𝑒𝑛 3𝑥) (2 𝑑𝑥) = 𝑥 𝑆𝑒𝑛3𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥
3 3 3 3
𝑢 = 3𝑥
𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥
2 2 1
= 𝑥 𝑆𝑒𝑛3𝑥 − ∙ ∫ 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 ⏟
𝟑𝑑𝑥 ⟸ Ajustando el elemento diferencial
3 3 𝟑 𝒅𝒖

2 2 2 2
= 𝑥 𝑆𝑒𝑛3𝑥 − (−𝐶𝑜𝑠 3𝑥) + 𝑐 = 𝑥 𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 + 𝑐 ⟸𝑹
3 9 3 9


𝟒. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒉𝒚 𝑪𝒐𝒔𝒉𝟐𝒚 𝒅𝒚
𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑦 𝑑𝑦 ⟸ Esta integral es auxilar
𝑢 = 2𝑦
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑦
1
𝑣= ∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑦 ⏟
2𝑑𝑦
2
𝑑𝑢
1
𝑣= 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦
2

Enseguida se aplica la fórmula del método ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

1 1
∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑦 𝑑𝑦 = (𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦) ( 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦) − ∫ ( 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦) (𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦 )
2 2
1 1
= 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦 − ∫ ⏟
𝑆𝑒𝑛ℎ 2𝑦 𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦
2 2
Se usan las identidades para que sea más sencilla la integral resultante
𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 ⟸ Sustituirla en la integral
1 1
∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦 − ∫(2𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦) 𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦
2 2
1
= 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦 − ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ2 𝑦 ⏟
𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑦
2
𝒅𝒖
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ𝑦 𝑛=2
𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑦
1 1
= 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑆𝑒𝑛ℎ2𝑦 − 𝑆𝑒𝑛ℎ3 𝑦 + 𝑐
2 3



4