College aantekeningen Inleiding Data-analyse (350818) Statistical Methods for Business and Economics

Week 1 / H6, 7.1, 7.3

Kansen berekenen als er sprake is van een toevalsexperiment
Toevalsexperiment = een experiment waarvan de uitkomst bepaald wordt door kans.

(Mogelijke) uitkomsten = mogelijke resultaten van toevalsexperiment
Uitkomstenruimte  = verzameling van alle N mogelijke uitkomsten.

Venn diagram = handige methode om de uitkomstenruimte te illustreren

Gebeurtenissen A, B, . . . = deelverzamelingen van de uitkomstenruimte .
- Enkelvoudige gebeurtenissen = één specifieke uitkomst.
- Meervoudige gebeurtenissen = meer dan één uitkomst.
- Lege gebeurtenis =  (lege verzameling)
“Gebeurtenis A treedt op” = de daadwerkelijke uitkomst zit in A.

Definities gebeurtenissen A en B:
• AB = A is een deelverzameling van B (als A optreedt, dan treedt B ook op)




• Ac = complement van A (A treedt niet op)




• AB = vereniging van A en B (A óf B treedt op (of beide))




• AB = doorsnede van A en B (A én B treden op)




• A  B =  = A en B zijn disjunct: ze hebben geen gemeenschappelijke uitkomsten




Regels voor verzamelingen:
• A  (BC) = (AB)  (AC)
• A  (BC) = (AB)  (AC)
• (A  B)c = Ac  Bc
• (A  B)c = Ac  Bc
• A  Ac = 
• A = (AB)  (ABc) voor alle gebeurtenissen B

,De verzamelingen D1, D2, ..., Ds vormen een partitie als ze onderling disjunct zijn EN hun
vereniging  is. Dit betekent dat precies één van de gebeurtenissenD1,   , Ds optreedt




Regels voor verzamelingen:


• Voor partitie D1,  , Ds en gebeurtenis A:

Klassieke definitie van kans
Vereiste: alle uitkomsten van het experiment zijn even waarschijnlijk
Kans op gebeurtenis A = P(A) = N(A) / N (waarbij N(A) = # uitkomsten in A)
Eigenschappen voor dit geval:
• 0  P(A)  1 voor alle gebeurtenissen A
• P() = 0 en P() = 1
• P(AB) = P(A) + P(B) als A, B disjunct

Empirische definitie van kans.
Niet alle toevalsexperimenten hebben uitkomsten die even waarschijnlijk zijn
Vereiste: het toevalsexperiment kan onafhankelijk en identiek herhaald worden. (Is niet altijd het
geval ....)
Dan kan de volgende definitie van P gebruikt worden: Laat n(A) het aantal keer zijn dat A optreedt
in n herhalingen. De wet van de grote aantallen stelt dat:
De ratio n(A)/n nadert een constante als n → ∞
Deze constante is P(A)

Subjectieve definitie van kans
Maar niet alle toevalsexperimenten hebben uitkomsten die even waarschijnlijk zijn of kunnen
onafhankelijk en indentiek herhaald worden.
Kan gebruikt worden voor alle toevalsexperimenten. Nadeel: het is subjectief.
Dezelfde eigenschappen moeten gelden.

Algemene definitie van Kolmogorov =
Een model P kent reële getallen P(A) toe aan alle gebeurtenissen A, op zo’n manier dat:
(1) P(A)  0
(2) P() = 1
(3) Als A, B disjunct, dan P(AB) = P(A) + P(B)
(1)-(3) zijn de basisaxioma’s van een kansmodel.
Merk op: alle drie eerder besproken definities resulteren in een kansmodel.

Basiseigenschappen (van model P)
• P(Ac) = 1 – P(A)
• P() = 0
• A  B  P(A)  P(B)
• P(A) = P(AB) + P(ABc)

,• Als D1, ... , Ds een partitie is van , dan
• P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Aselect/willekeurig (een steekproef) trekken = Eén element uit de populatie wordt willekeurig
gekozen; uitkomstenruimte  is {1, 2, ..., N}; iedere uitkomst is even waarschijnlijk.
Fracties (proporties) van de populatie {1, 2, . . , N} worden kansen onder dit toevalsexperiment.

, Week .2, 7.4, 7.5, 8.1

Regels voor tellen:
1) # ordeningen van k objecten
k! = k  (k−1)  ...  2 1 (uitspraak: k faculteit)
0! = 1 (per definitie)
2) # mogelijkheden om k objecten uit m objecten te kiezen. k-tal = rij van k objecten
a) geordend, met teruglegging → je kunt hetzelfde object meerdere keren kiezen.
k posities (bijv., antwoorden) moeten gevuld worden. Geeft m^k mogelijke k-tallen.
b) geordend, zonder teruglegging → de volgorde maakt uit én verschillende elementen.
k posities (bijv., stoelen) moeten gevuld worden. Geeft m! / (m-k)! mogelijke k-tallen.
c) ongeordend, zonder teruglegging → verschillende elementen met dezelfde rol.
diverse geordende k-tallen ongeordend dezelfde uitkomst? Hoeveel zijn dat er? Steeds k!
dus ( ^m k ) = m! / k!(m-k)! mogelijke k-tallen. uitspraak: “m boven k”; “k uit m”
binomiaalcoëfficiënten:



& (^m 1) = m
d) ongeordend, met teruglegging (hier niet behandeld)

Voorwaardelijke (conditionele) kansen van een gebeurtenis gegeven een andere gebeurtenis.
P (A|B) = PB(A) = kans op A gegeven B = P(AB) / P(B). Merk op: kan alleen als P(B) > 0
P(A) is de priorkans (voordat info B beschikbaar is)
P(A | B) is de posteriorkans (nadat info B beschikbaar is.




Voorwaardelijke kansen zijn kansen. → axioma’s en kanseigenschappen gelden zolang de
voorwaardelijke gebeurtenis hetzelfde blijft.

A en B zijn onafhankelijk als: P(A|B) = P(A)
Dus, als de informatie over het optreden van B geen invloed heeft op de kans op A.
Equivalent: P(AB) = P(A) x P(B)
Equivalent: P(A|B) = P(B)
NB: Als P(A)=0 of P(B)=0 zeggen we ook dat A en B onafhankelijk zijn.

Regel van Bayes = drukt de voorwaardelijke kans uit in de omgekeerde voorwaardelijke kans.
P(A|B) = P(A) x (P(B|A) / (P(B))
Deze regel vergelijkt de posteriorkans met de bijbehorende priorkans.
De ratio in de formule geeft het belang van de prior informatie weer.

Context: toevalsexperiment met uitkomsten in uitkomstenruimte ; model P
Kansvariabele (kv) = een voorschift dat een waarde toekent aan iedere uitkomst van de
uitkomstenruimte. Een kansvariabele is dus een wiskundige functie. Notatie: X, Y, Z
(hoofdletters)
Werkdefinitie: grootheid waarvoor de werkelijke uitkomst wordt bepaald door toeval.