Statistiek Semester 2 - van Lot naar Kans
H8: MAYBE YES, MAYBE NO
Het belang van kansberekening
1. De ‘probabilistisch ingestelde’ wereld begrijpen
• Verzekeringsmaatschappij -> Rawls’ sluier van onwetendheid is verscheurd
(Veel instituties na WOII, een tijd waarin iedereen werd bedreigd, waren ontworpen via een veil
of ignorance. Oftewel zo egalitair mogelijk. MAAR toen ontstonden verzekeringsmaatschappijen
die niet via deze weg ontworpen werden. Zij lieten sindsdien jongeren met hogere risico’s, hogere
KANSEN, meer betalen)
2. Als sociale wetenschapper: uitspraken doen over een populatie op basis van een
steekproef
3. Kansspelen winnen
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek
I.p.v. enkel kijken naar de steekproef of de populatie en deze beschrijven, gaan we in deel 2
kijken naar de wisselwerking tussen de twee.
,BASISBEGRIPPEN KANSBEREKENING
Stochastisch proces/toevalsproces = een proces waarvan de uitkomst onzeker is
- Synoniem: ‘kansexperiment’
- Kansvariabelen = stochasten (X)
gooien met een dobbelsteen
- <-> Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt - onzekerheid
is hier heel beperkt
Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
- Aangeduid met A, B, C,… of xi met i = 0, 1, 2, 3,…
Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
- Verschillende elementaire toevalsgebeuren van hetzelfde stochastische proces
overlappen niet; zij zijn mutueel exclusief
Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke (exhaustief)
elementaire toevalsgebeurens
- S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m}
Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens van een stochastisch proces
Gebeurtenis B (‘gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’) = {2, 4, 6}
INTERMEZZO: SYMBOLEN UIT DE VERZAMELINGENLEER
- Een verzameling is een duidelijk afgebakend geheel van objecten, waarbij de objecten
aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot de verzameling te behoren.
- Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
De UNIE van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B of in A en B
zitten
- A∪B
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {oneven}.
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
,De DOORSNEDE van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B
zitten
- A ∩B
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {oneven};
A ∩ B = {1}
A is een DEELVERZAMELING van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
- A⊂B
- !!! elk toevalsgebeuren xi (elementair én samengesteld) is een deelverzameling/partitie
uit uitkomstenruimte S -> xi ⊂ S
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
DISJUNCTE verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen
bevatten; ze zijn mutueel exclusief
dobbelsteen: A = {1} en B = {2, 4, 6}
A ∩B=∅
Het VERSCHIL van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A
die niet in B zitten
- A\B
dobbelsteen: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6};
A \ B = {1, 3, 5}
,BASISBEGRIPPEN KANSBEREKENING
- Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S -> A ⊂ S
- De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
- Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
- Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
• Ac of 𝑨
̅= S \ A
dobbelsteen: A = {1}, dan ̅𝐴 = {2, 3, 4, 5, 6}
De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
- Bv: S = {1, 2, 3}
- Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
- Bv. M(S)=[Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}]
Als #S = n dan geldt #M(S) = 2n
➔ Oftewel, als S n elementen dan is het mogelijk 2n deelverzamelingen te maken
,KANSDEFINITIE
Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een
getal tussen 0 en 1
- P -> Probability
- Bv. P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
- Bijvoorbeeld `de kans om de lotto te winnen is erg klein’
- Vaak gebaseerd op ervaring of intuïtie, vaag
2. Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
- Bijvoorbeeld ‘de kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen’ dobbelsteen heel vaak
opwerpen (n → oneindig)
𝒇𝒊
- Geregeld berekenen (= benadering voor kans)
𝒏
fi = aantal keer dat je bv. 2 werpt
n = aantal keer dat je werpt
𝒇𝒊
- kijken waar de waarden naartoe gaan als n toeneemt → de `limietwaarde’ is de
𝒏
gezochte kans
(kans = RELATIEVE FREQUENTIE IN DE LONG RUN -> fi* zal pas evolueren naar eenn
theoretisch kans heel veel n)
𝒇𝒊
- 𝑷(𝑨) = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞ 𝒏
VOORBEELD
Gooien met eerlijke dobbelsteen en aantal keer 2
registreren
Bij weinig observaties/worpen zeer onvoorspelbaar
- Bij veel worpen (richting oneindig) zeer
voorspelbaar!
𝒇𝒊
P=
𝒏
- De wet van de grote getallen
, 3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
- Bijvoorbeeld kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
- # gunstige uitkomsten = 1 ; # mogelijke uitkomsten = 6
- P({2}) = 1/6
Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is (`kansverdeling van
elementaire gebeurtenissen is uniform’)
- Enkel toepassen bij eerlijke dobbelsteen
VOORBEELD
Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke dobbelsteen? ->
1/3
Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen bij een worp
met 2 dobbelstenen? -> 1/36
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s/basisregels:
1. 0 ≤ P(A) ≤1 - tussen 0 en 1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B)
,REKENREGELS KANSBEREKENING
De voorbeelddata uit het boek
1. COMPLEMENTREGEL
Wat is de kans dat iemand NIET op VLD zal stemmen?
- Omslachtige manier:
P(niet stemmen op VLD) = P(stemmen op CVP) + P(stemmen op SP) + … + (Stemmen
Blanco)
- Snelle ‘slimmere’ manier:
P(niet stemmen op VLD) = 1 – P(stemmen op VLD)
̅ )= 1 - P(A)
Complementregel: P(𝑨
,2. SOMREGEL
Wat is de kans dat iemand op Vlaams Blok OF Agalev zal stemmen?
- De cruciale vraag bij de somregel is of de gebeurtenissen disjunct zijn.
- Somregel als A en B disjunct zijn: P (A U B) = P(A) + P(B)
Wat is de kans dat iemand een Vlaams Blok-kiezer OF een man is?
- Stel A = Vlaams Blok-kiezer ; B = man
- P (A U B) ?
- Cruciale vraag: zijn de gebeurtenissen disjunct?
➔ Nee, want ze kunnen overlappen. Iemand kan VB-kiezer én man zijn.
,VOORBEELD
Wat is de kans dat iemand een PVDA-
kiezer of een man is?
- Zijn de gebeurtenissen disjunct?
- Er zijn geen uitkomsten die man en
PVDA zijn, dus vandaar dat deze
gebeurtenissen in dit concrete geval
disjunct zijn
- Maar in theorie zijn geslacht en
stemgedrag niet disjunct
OEFENING
In een restaurant werken 6 koks en 8 obers. De obers zijn voor de helft vrouwelijk, maar er is
slechts één vrouwelijke kok.
Wanneer een personeelslid wordt geselecteerd, wat is dan de kans dat dit een kok of een
vrouw is?
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
6 5 1 10
𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵 ) = + − = = 0,714
14 14 14 14
, 3. PRODUCTREGEL
Wat is de kans dat je 3 gooit met een eerlijke dobbelsteen EN daarna kop gooit met een
muntje?
- De cruciale vraag bij de productregel is of de gebeurtenissen ONAFHANKELIJK zijn.
- Productregel bij onafhankelijke gebeurtenissen:
P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
Stel A=`3 gooien’ ; B=`kop gooien’
1 1 1
Dus P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(𝐴 ) . P(𝐵 ) = 6 . = 12 = 0,0833
2
VOORBEELD
Wat is de kans dat iemand een Vlaams Blok-kiezer en een man is?
- Zijn de gebeurtenissen onafhankelijk?
• Wat is de kans dat een man een Vlaams Blok-kiezer is?
8/120 = 0,0667
• Wat is de kans dat een vrouw een Vlaams Blok-kiezer is?
4/130 = 0,0308
• Wat is de kans op Vlaams Blok-kiezer zijn?
12/250 = 0,0480
➔ De gebeurtenissen zijn afhankelijk/voorwaardelijk.
H8: MAYBE YES, MAYBE NO
Het belang van kansberekening
1. De ‘probabilistisch ingestelde’ wereld begrijpen
• Verzekeringsmaatschappij -> Rawls’ sluier van onwetendheid is verscheurd
(Veel instituties na WOII, een tijd waarin iedereen werd bedreigd, waren ontworpen via een veil
of ignorance. Oftewel zo egalitair mogelijk. MAAR toen ontstonden verzekeringsmaatschappijen
die niet via deze weg ontworpen werden. Zij lieten sindsdien jongeren met hogere risico’s, hogere
KANSEN, meer betalen)
2. Als sociale wetenschapper: uitspraken doen over een populatie op basis van een
steekproef
3. Kansspelen winnen
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek
I.p.v. enkel kijken naar de steekproef of de populatie en deze beschrijven, gaan we in deel 2
kijken naar de wisselwerking tussen de twee.
,BASISBEGRIPPEN KANSBEREKENING
Stochastisch proces/toevalsproces = een proces waarvan de uitkomst onzeker is
- Synoniem: ‘kansexperiment’
- Kansvariabelen = stochasten (X)
gooien met een dobbelsteen
- <-> Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt - onzekerheid
is hier heel beperkt
Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
- Aangeduid met A, B, C,… of xi met i = 0, 1, 2, 3,…
Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
- Verschillende elementaire toevalsgebeuren van hetzelfde stochastische proces
overlappen niet; zij zijn mutueel exclusief
Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke (exhaustief)
elementaire toevalsgebeurens
- S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m}
Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens van een stochastisch proces
Gebeurtenis B (‘gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’) = {2, 4, 6}
INTERMEZZO: SYMBOLEN UIT DE VERZAMELINGENLEER
- Een verzameling is een duidelijk afgebakend geheel van objecten, waarbij de objecten
aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot de verzameling te behoren.
- Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
De UNIE van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B of in A en B
zitten
- A∪B
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {oneven}.
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
,De DOORSNEDE van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B
zitten
- A ∩B
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {oneven};
A ∩ B = {1}
A is een DEELVERZAMELING van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
- A⊂B
- !!! elk toevalsgebeuren xi (elementair én samengesteld) is een deelverzameling/partitie
uit uitkomstenruimte S -> xi ⊂ S
dobbelsteen: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
DISJUNCTE verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen
bevatten; ze zijn mutueel exclusief
dobbelsteen: A = {1} en B = {2, 4, 6}
A ∩B=∅
Het VERSCHIL van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A
die niet in B zitten
- A\B
dobbelsteen: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6};
A \ B = {1, 3, 5}
,BASISBEGRIPPEN KANSBEREKENING
- Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S -> A ⊂ S
- De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
- Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
- Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
• Ac of 𝑨
̅= S \ A
dobbelsteen: A = {1}, dan ̅𝐴 = {2, 3, 4, 5, 6}
De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
- Bv: S = {1, 2, 3}
- Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
- Bv. M(S)=[Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}]
Als #S = n dan geldt #M(S) = 2n
➔ Oftewel, als S n elementen dan is het mogelijk 2n deelverzamelingen te maken
,KANSDEFINITIE
Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een
getal tussen 0 en 1
- P -> Probability
- Bv. P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
- Bijvoorbeeld `de kans om de lotto te winnen is erg klein’
- Vaak gebaseerd op ervaring of intuïtie, vaag
2. Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
- Bijvoorbeeld ‘de kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen’ dobbelsteen heel vaak
opwerpen (n → oneindig)
𝒇𝒊
- Geregeld berekenen (= benadering voor kans)
𝒏
fi = aantal keer dat je bv. 2 werpt
n = aantal keer dat je werpt
𝒇𝒊
- kijken waar de waarden naartoe gaan als n toeneemt → de `limietwaarde’ is de
𝒏
gezochte kans
(kans = RELATIEVE FREQUENTIE IN DE LONG RUN -> fi* zal pas evolueren naar eenn
theoretisch kans heel veel n)
𝒇𝒊
- 𝑷(𝑨) = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞ 𝒏
VOORBEELD
Gooien met eerlijke dobbelsteen en aantal keer 2
registreren
Bij weinig observaties/worpen zeer onvoorspelbaar
- Bij veel worpen (richting oneindig) zeer
voorspelbaar!
𝒇𝒊
P=
𝒏
- De wet van de grote getallen
, 3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
- Bijvoorbeeld kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
- # gunstige uitkomsten = 1 ; # mogelijke uitkomsten = 6
- P({2}) = 1/6
Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is (`kansverdeling van
elementaire gebeurtenissen is uniform’)
- Enkel toepassen bij eerlijke dobbelsteen
VOORBEELD
Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke dobbelsteen? ->
1/3
Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen bij een worp
met 2 dobbelstenen? -> 1/36
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s/basisregels:
1. 0 ≤ P(A) ≤1 - tussen 0 en 1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B)
,REKENREGELS KANSBEREKENING
De voorbeelddata uit het boek
1. COMPLEMENTREGEL
Wat is de kans dat iemand NIET op VLD zal stemmen?
- Omslachtige manier:
P(niet stemmen op VLD) = P(stemmen op CVP) + P(stemmen op SP) + … + (Stemmen
Blanco)
- Snelle ‘slimmere’ manier:
P(niet stemmen op VLD) = 1 – P(stemmen op VLD)
̅ )= 1 - P(A)
Complementregel: P(𝑨
,2. SOMREGEL
Wat is de kans dat iemand op Vlaams Blok OF Agalev zal stemmen?
- De cruciale vraag bij de somregel is of de gebeurtenissen disjunct zijn.
- Somregel als A en B disjunct zijn: P (A U B) = P(A) + P(B)
Wat is de kans dat iemand een Vlaams Blok-kiezer OF een man is?
- Stel A = Vlaams Blok-kiezer ; B = man
- P (A U B) ?
- Cruciale vraag: zijn de gebeurtenissen disjunct?
➔ Nee, want ze kunnen overlappen. Iemand kan VB-kiezer én man zijn.
,VOORBEELD
Wat is de kans dat iemand een PVDA-
kiezer of een man is?
- Zijn de gebeurtenissen disjunct?
- Er zijn geen uitkomsten die man en
PVDA zijn, dus vandaar dat deze
gebeurtenissen in dit concrete geval
disjunct zijn
- Maar in theorie zijn geslacht en
stemgedrag niet disjunct
OEFENING
In een restaurant werken 6 koks en 8 obers. De obers zijn voor de helft vrouwelijk, maar er is
slechts één vrouwelijke kok.
Wanneer een personeelslid wordt geselecteerd, wat is dan de kans dat dit een kok of een
vrouw is?
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
6 5 1 10
𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵 ) = + − = = 0,714
14 14 14 14
, 3. PRODUCTREGEL
Wat is de kans dat je 3 gooit met een eerlijke dobbelsteen EN daarna kop gooit met een
muntje?
- De cruciale vraag bij de productregel is of de gebeurtenissen ONAFHANKELIJK zijn.
- Productregel bij onafhankelijke gebeurtenissen:
P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
Stel A=`3 gooien’ ; B=`kop gooien’
1 1 1
Dus P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(𝐴 ) . P(𝐵 ) = 6 . = 12 = 0,0833
2
VOORBEELD
Wat is de kans dat iemand een Vlaams Blok-kiezer en een man is?
- Zijn de gebeurtenissen onafhankelijk?
• Wat is de kans dat een man een Vlaams Blok-kiezer is?
8/120 = 0,0667
• Wat is de kans dat een vrouw een Vlaams Blok-kiezer is?
4/130 = 0,0308
• Wat is de kans op Vlaams Blok-kiezer zijn?
12/250 = 0,0480
➔ De gebeurtenissen zijn afhankelijk/voorwaardelijk.
