WISKUNDE VOOR ONTWERPERS
LES 1: VORM EN CHARACTERISTIEK
o Oppervlak ≈ veelvlak met alle zijvlakken driehoeken (=mesh/ raster)
→ Gewone zijde grenst aan juist twee driehoeken
→ Rand-zijde grenst aan slechts één driehoek
o Euler characteristiek van een oppervlak
X=V–E+F
→ V = aantal hoekpunten van mesh
→ E = aantal zijden van mesh
→ F = aantal driehoeken van mesh
o Het Euler characteristiek hangt niet af van de gekozen
mesh voor het oppervlak
→ Je kan een nieuw punt op een zijde toevoegen of een punt in het midden van de driehoeken
maar dat verandert niks aan de formule (want dat blijft nul -> 1-3+2=0)
→ Die ‘+’ staat voor ‘erbij komen bij het originele’
o De Euler characteristiek X = V - E +F blijft dezelfde als we een mesh van veelhoeken nemen i.p.v.
driehoeken
→ N-hoek n-2 driehoeken
→ Hier ga je dus ook altijd hetzelfde getal uitkomen zoals met de driehoeken als je het raster
aanpast
o Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek
→ Zijden van deze veelhoek zijn ofwel rand-zijden van het oppervlak of
moeten paarsgewijs geplakt worden
− Paarsgewijs: de 2 groene worden terug met elkaar verbonden als
veelhoek
− Ofwel in dezelfde richting (zijde tegen zijde) plakken ofwel in de
tegengestelde richting (zijde tegen ondersteboven zijde)
, o de rode/ blauwe zijden geven aan dat ze tegen elkaar geplakt moeten
worden en in welke richting (zie hierboven)
→ De blauwe zijden moeten ook tegen elkaar geplakt worden
→ F = Altijd 1 want maar 1 veelhoek
→ E
− 1e figuur: 2 want de rode zijn 1 zijde
− 2e figuur: 3 want rode zijn 1 zijde en zwarten elk apart
− 3e figuur: 3 want // //
e
− 4 figuur: 2 want rode zijn 1 zijde en blauwe ook 1 zijde
→ V
− Rode pijlen komen op dezelfde plaats dus beschouwt als 1 punt
− Achterkant van pijlen komen ook op 1 plaats en worden ook beschouwt als 1 punt
− => 2 punten in totaal voor de linker figuur --- 1 punt voor de rechter
o Crosscap X fles van Klein
→ Snijden zichzelf door
→ Uitzonderingen
o Een gesloten oppervlak is een oppervlak zonder rand
o Een gesloten oppervlak is een opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden twee aan twee geplakt
worden
o Een gesloten oppervlak kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle correspondeerde zijden in
tegengestelde richting voorkomen als we langs de rand van de veelhoek lopen
→ De enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn:
− Sfeer
− Torus
− Aaneenschakeling van g tori
−
− De genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het oppervlak
In deze torus dus 2
o Veelvlak: ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan elkaar te
plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens van juist 2
zijvlakken
o Convex veelvlak: veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de aangrenzende
zijvlakken minder is dan 360°
o Stelling van Euler:
→ als een convex veelvlak V hoekpunten, E ribben en F zijvlakken
heeft, dan geldt:
V–E+F=2
o een convex veelvlak noemen we Platonisch indien elk zijvlak een regelmatige n-hoek is, en in elk
hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen
o er zijn juist 5 platonische veelvlakken
→ de tetraheder
→ de kubus
→ de octaheder
LES 1: VORM EN CHARACTERISTIEK
o Oppervlak ≈ veelvlak met alle zijvlakken driehoeken (=mesh/ raster)
→ Gewone zijde grenst aan juist twee driehoeken
→ Rand-zijde grenst aan slechts één driehoek
o Euler characteristiek van een oppervlak
X=V–E+F
→ V = aantal hoekpunten van mesh
→ E = aantal zijden van mesh
→ F = aantal driehoeken van mesh
o Het Euler characteristiek hangt niet af van de gekozen
mesh voor het oppervlak
→ Je kan een nieuw punt op een zijde toevoegen of een punt in het midden van de driehoeken
maar dat verandert niks aan de formule (want dat blijft nul -> 1-3+2=0)
→ Die ‘+’ staat voor ‘erbij komen bij het originele’
o De Euler characteristiek X = V - E +F blijft dezelfde als we een mesh van veelhoeken nemen i.p.v.
driehoeken
→ N-hoek n-2 driehoeken
→ Hier ga je dus ook altijd hetzelfde getal uitkomen zoals met de driehoeken als je het raster
aanpast
o Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek
→ Zijden van deze veelhoek zijn ofwel rand-zijden van het oppervlak of
moeten paarsgewijs geplakt worden
− Paarsgewijs: de 2 groene worden terug met elkaar verbonden als
veelhoek
− Ofwel in dezelfde richting (zijde tegen zijde) plakken ofwel in de
tegengestelde richting (zijde tegen ondersteboven zijde)
, o de rode/ blauwe zijden geven aan dat ze tegen elkaar geplakt moeten
worden en in welke richting (zie hierboven)
→ De blauwe zijden moeten ook tegen elkaar geplakt worden
→ F = Altijd 1 want maar 1 veelhoek
→ E
− 1e figuur: 2 want de rode zijn 1 zijde
− 2e figuur: 3 want rode zijn 1 zijde en zwarten elk apart
− 3e figuur: 3 want // //
e
− 4 figuur: 2 want rode zijn 1 zijde en blauwe ook 1 zijde
→ V
− Rode pijlen komen op dezelfde plaats dus beschouwt als 1 punt
− Achterkant van pijlen komen ook op 1 plaats en worden ook beschouwt als 1 punt
− => 2 punten in totaal voor de linker figuur --- 1 punt voor de rechter
o Crosscap X fles van Klein
→ Snijden zichzelf door
→ Uitzonderingen
o Een gesloten oppervlak is een oppervlak zonder rand
o Een gesloten oppervlak is een opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden twee aan twee geplakt
worden
o Een gesloten oppervlak kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle correspondeerde zijden in
tegengestelde richting voorkomen als we langs de rand van de veelhoek lopen
→ De enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn:
− Sfeer
− Torus
− Aaneenschakeling van g tori
−
− De genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het oppervlak
In deze torus dus 2
o Veelvlak: ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan elkaar te
plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens van juist 2
zijvlakken
o Convex veelvlak: veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de aangrenzende
zijvlakken minder is dan 360°
o Stelling van Euler:
→ als een convex veelvlak V hoekpunten, E ribben en F zijvlakken
heeft, dan geldt:
V–E+F=2
o een convex veelvlak noemen we Platonisch indien elk zijvlak een regelmatige n-hoek is, en in elk
hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen
o er zijn juist 5 platonische veelvlakken
→ de tetraheder
→ de kubus
→ de octaheder
