CIJFERALGORITMES
INHOUDSOPGAVE
1. inzetten van didactische kaders ................................................................................................................... 3
1.1 betekenis geven ...........................................................................................................................................3
1.2 inzicht opbouwen.........................................................................................................................................3
1.2.1 CSA-model ......................................................................................................................................... 3
1.2.2 rekenmateriaal .................................................................................................................................... 4
1.2.3 materiaal moet rekenhandeling ondersteunen ...................................................................................... 4
1.3 progressieve complicering............................................................................................................................5
1.4 probleemstellend werken. ............................................................................................................................5
2. terminologie ............................................................................................................................................ 6
3. kritisch kijken naar resultaten .................................................................................................................. 7
4. doelen van cijferen id lagere school .......................................................................................................... 8
5. beginsituatie vd leerlingen ....................................................................................................................... 8
6. cijferend optellen..................................................................................................................................... 8
6.1 wiskundige achtergrond voor cijferend optellen .............................................................................................8
6.2 de verschillende types voor het algoritme vd optelling ....................................................................................9
6.3 aanbreng ve type ........................................................................................................................................ 10
6.3.1. verdere opbouw leergang............................................................................................................................ 12
6.3.2 cijferend optellen met kommagetallen ......................................................................................................... 12
7. cijferend aftrekken ................................................................................................................................. 13
7.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend aftrekken ........................................................................................... 13
7.2 de verschillende types voor het algoritme van de aftrekking ................................................................................. 13
7.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 14
8.cijferend vermenigvuldigen ............................................................................................................................. 16
8.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend vermenigvuldigen ............................................................................... 16
8.2 de verschillende types voor het algoritme vd vermenigvuldiging ........................................................................... 17
8.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 18
8.3.3 vermenigv met een vermenigvuldiger v 2 of meer cijfers ................................................................................ 19
9.cijferend delen ................................................................................................................................................ 22
9.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend delen ................................................................................................. 22
9.1.1 analyse vd deling ......................................................................................................................................... 22
9.1.2 verdelingsdeling / verhoudingsdeling............................................................................................................ 23
9.1.3 eigenschap: de delingshalter ....................................................................................................................... 23
9.1.4 nauwkeurigheid........................................................................................................................................... 24
1
,9.2 verschillende types voor het algoritme vd deling .................................................................................................. 24
9.2.1 de deler bestaat uit 1 cijfer (3e lj) .................................................................................................................. 24
9.2.2 de deler bestaat uit 2 of 3 cijfers (vanaf 3e lj) ................................................................................................. 24
9.2.3 delen met kommagetallen ........................................................................................................................... 24
9.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 25
9.3.1 bet. sit ........................................................................................................................................................ 25
9.3.2 een vereenvoudiging als motivatie................................................................................................................ 25
9.3.3 een uitgewerkt voorbeeld: kennismaken met het algoritme ........................................................................... 25
9.3.4 delen door tweecijferige deler ...................................................................................................................... 27
9.3.5 delen met kommagetallen ........................................................................................................................... 31
2
,1. INZETTEN VAN DIDACTISCHE KADERS
1.1 BETEKENIS GEVEN
Belangrijk: betekenis geven aan abstracte begrippen of werkwijzen. Voor cijferen gebruiken we betekenisvolle situaties.
(uit leefwereld vd kinderen + realistisch en zinvol). Bij cijferen is het belangrijk om na een bet.sit. de ‘verborgen’ bewerking
aan bord te noteren.
1.2 INZICHT OPBOUWEN
1.2.1 CSA-MODEL
Concreet, schematisch en abstract: doel: betekenis van iets laten ervaren, inzicht verwerven of vernieuwen, werkwijze
ontdekken of gekende leerstof opfrissen.
Concrete fase:
- Handelen met concrete materialen uit leefwereld (= ervaringsgericht materiaal), nadien met rekenmateriaal +
verwoorden
Schematische fase:
- Schematische voorstellingen: handelingen worden vastgelegd in overzichtelijk schema + verwoorden
Abstracte fase:
- Redenering moet op abstract niveau gebeuren: de handeling wordt in gedachten uitgevoerd. (lln verwoorden de
handeling, later enkel het resultaat)
- Komt bij algoritme minder of zelfs niet voor. Biedt weinig meerwaarde wanneer lln concreet inzicht verkregen
hebben.
Aandachtspunten:
- Verschillende fasen overlappen gedeeltelijk en er is interactie tussen. Bv. bij overstap naar abstracte fase:
belangrijk om aandacht te besteden aan formeel noteren vd handelingen en het resultaat. Het moet voor de lln
duidelijk worden hoe concrete ‘verhaal’ vertaald wordt naar abstracte symbolen.
- Hoe jonger > hoe hoe langer concreet werken nodig is + als lln moeite heeft op schematisch of abstract niveau:
afdalen van niveau. (bedoeling: inzicht te geven in oplossingswijze)
3
, 1.2.2 REKENMATERIAAL
Eerst ervaringsmateriaal, daarna concreet-gestructureerd materiaal of materiaal dat de tientalligheid van ons talligheid
van ons talstelsel weerspiegeld. Bij positiemateriaal stelt elk stuk materiaal een E,T,H,.. voor door zijn vorm (MAB) of
positie(abacus, magneetbord).
Bij cijferen: lln moeten begrijpen dat je per rang mag rekenen: je werkt bij cijferen afzonderlijk met H, T en E. Dit kan je lln
niet tonen door gebruik te maken van losse knikkers of kastanjes.
MAB-materiaal:
- Bestaat uit: blokjes, staafjes, vierkanten/plakken en blokken.
- Elk blokje stelt eenheid voor en 10 blokjes vormen een staafje van 10.
Rekenplaatjes:
- Rik Aerts en Magda Deckers.
- Elke rang dezelfde grootte, maar ander kleurtje (= abstracter mateiraal)
o Blauw: E
o Rood: T
o Geel: H
o ..
Magneetbord:
- Is een positie tabel verdeeld volgens E,T,H,D,… Het aantal elementen ve bepaalde orde wordt
door magneten voorgesteld. Het is overzichtelijker en wordt volgens kwadraatbeeld geschikt.
Abacussen:
- Elke staaf stelt een rang van het getal voor.
Opmerkingen:
- Gebruik v materialen is geen doel op zich. Het is enkel een hulpmiddel om
inzicht te geven.
- Lln moeten eerst vertrouwd zijn met het materiaal voor je het kan inzetten bij
bewerkingen.
- Getalbeeld gebruiken! Bv. kwadraatbeeld
1.2.3 MATERIAAL MOET REKENHANDELING ONDERSTEUNEN
Belangrijk: nadenken over gebruik ervan + gepaste verwoording. Voor ogen houden welke werkwijze we willen aanleren.
Voorbeeld:
- Methode aanleren om brugoefeningen zoals 6+5 op te lossen. Niet zinvol om te werken met pennen > zo leer je ze
resultatief tellen.
- Beter om te werken met eierdozen waarin deze per 10 verpakt kunnen worden. (6 in doos stoppen + aanvullen tot
10 en het laatste ei in de volgende doos stoppen. (= ontdekking oplossingswijze voor brugoefeningen, namelijk
aanvullen tot volgende tiental.
Bedoelde rekenhandeling ondersteunen bij cijferen: materiaal nodig die duidelijk de E,T,H,.. onderscheiden > daarom
positiemateriaal. (soms met geld > inwisselen dat bij bewerkingen gebruikt wordt)
4
INHOUDSOPGAVE
1. inzetten van didactische kaders ................................................................................................................... 3
1.1 betekenis geven ...........................................................................................................................................3
1.2 inzicht opbouwen.........................................................................................................................................3
1.2.1 CSA-model ......................................................................................................................................... 3
1.2.2 rekenmateriaal .................................................................................................................................... 4
1.2.3 materiaal moet rekenhandeling ondersteunen ...................................................................................... 4
1.3 progressieve complicering............................................................................................................................5
1.4 probleemstellend werken. ............................................................................................................................5
2. terminologie ............................................................................................................................................ 6
3. kritisch kijken naar resultaten .................................................................................................................. 7
4. doelen van cijferen id lagere school .......................................................................................................... 8
5. beginsituatie vd leerlingen ....................................................................................................................... 8
6. cijferend optellen..................................................................................................................................... 8
6.1 wiskundige achtergrond voor cijferend optellen .............................................................................................8
6.2 de verschillende types voor het algoritme vd optelling ....................................................................................9
6.3 aanbreng ve type ........................................................................................................................................ 10
6.3.1. verdere opbouw leergang............................................................................................................................ 12
6.3.2 cijferend optellen met kommagetallen ......................................................................................................... 12
7. cijferend aftrekken ................................................................................................................................. 13
7.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend aftrekken ........................................................................................... 13
7.2 de verschillende types voor het algoritme van de aftrekking ................................................................................. 13
7.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 14
8.cijferend vermenigvuldigen ............................................................................................................................. 16
8.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend vermenigvuldigen ............................................................................... 16
8.2 de verschillende types voor het algoritme vd vermenigvuldiging ........................................................................... 17
8.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 18
8.3.3 vermenigv met een vermenigvuldiger v 2 of meer cijfers ................................................................................ 19
9.cijferend delen ................................................................................................................................................ 22
9.1 wiskundige achtergrond voor het cijferend delen ................................................................................................. 22
9.1.1 analyse vd deling ......................................................................................................................................... 22
9.1.2 verdelingsdeling / verhoudingsdeling............................................................................................................ 23
9.1.3 eigenschap: de delingshalter ....................................................................................................................... 23
9.1.4 nauwkeurigheid........................................................................................................................................... 24
1
,9.2 verschillende types voor het algoritme vd deling .................................................................................................. 24
9.2.1 de deler bestaat uit 1 cijfer (3e lj) .................................................................................................................. 24
9.2.2 de deler bestaat uit 2 of 3 cijfers (vanaf 3e lj) ................................................................................................. 24
9.2.3 delen met kommagetallen ........................................................................................................................... 24
9.3 aanbreng van een type ....................................................................................................................................... 25
9.3.1 bet. sit ........................................................................................................................................................ 25
9.3.2 een vereenvoudiging als motivatie................................................................................................................ 25
9.3.3 een uitgewerkt voorbeeld: kennismaken met het algoritme ........................................................................... 25
9.3.4 delen door tweecijferige deler ...................................................................................................................... 27
9.3.5 delen met kommagetallen ........................................................................................................................... 31
2
,1. INZETTEN VAN DIDACTISCHE KADERS
1.1 BETEKENIS GEVEN
Belangrijk: betekenis geven aan abstracte begrippen of werkwijzen. Voor cijferen gebruiken we betekenisvolle situaties.
(uit leefwereld vd kinderen + realistisch en zinvol). Bij cijferen is het belangrijk om na een bet.sit. de ‘verborgen’ bewerking
aan bord te noteren.
1.2 INZICHT OPBOUWEN
1.2.1 CSA-MODEL
Concreet, schematisch en abstract: doel: betekenis van iets laten ervaren, inzicht verwerven of vernieuwen, werkwijze
ontdekken of gekende leerstof opfrissen.
Concrete fase:
- Handelen met concrete materialen uit leefwereld (= ervaringsgericht materiaal), nadien met rekenmateriaal +
verwoorden
Schematische fase:
- Schematische voorstellingen: handelingen worden vastgelegd in overzichtelijk schema + verwoorden
Abstracte fase:
- Redenering moet op abstract niveau gebeuren: de handeling wordt in gedachten uitgevoerd. (lln verwoorden de
handeling, later enkel het resultaat)
- Komt bij algoritme minder of zelfs niet voor. Biedt weinig meerwaarde wanneer lln concreet inzicht verkregen
hebben.
Aandachtspunten:
- Verschillende fasen overlappen gedeeltelijk en er is interactie tussen. Bv. bij overstap naar abstracte fase:
belangrijk om aandacht te besteden aan formeel noteren vd handelingen en het resultaat. Het moet voor de lln
duidelijk worden hoe concrete ‘verhaal’ vertaald wordt naar abstracte symbolen.
- Hoe jonger > hoe hoe langer concreet werken nodig is + als lln moeite heeft op schematisch of abstract niveau:
afdalen van niveau. (bedoeling: inzicht te geven in oplossingswijze)
3
, 1.2.2 REKENMATERIAAL
Eerst ervaringsmateriaal, daarna concreet-gestructureerd materiaal of materiaal dat de tientalligheid van ons talligheid
van ons talstelsel weerspiegeld. Bij positiemateriaal stelt elk stuk materiaal een E,T,H,.. voor door zijn vorm (MAB) of
positie(abacus, magneetbord).
Bij cijferen: lln moeten begrijpen dat je per rang mag rekenen: je werkt bij cijferen afzonderlijk met H, T en E. Dit kan je lln
niet tonen door gebruik te maken van losse knikkers of kastanjes.
MAB-materiaal:
- Bestaat uit: blokjes, staafjes, vierkanten/plakken en blokken.
- Elk blokje stelt eenheid voor en 10 blokjes vormen een staafje van 10.
Rekenplaatjes:
- Rik Aerts en Magda Deckers.
- Elke rang dezelfde grootte, maar ander kleurtje (= abstracter mateiraal)
o Blauw: E
o Rood: T
o Geel: H
o ..
Magneetbord:
- Is een positie tabel verdeeld volgens E,T,H,D,… Het aantal elementen ve bepaalde orde wordt
door magneten voorgesteld. Het is overzichtelijker en wordt volgens kwadraatbeeld geschikt.
Abacussen:
- Elke staaf stelt een rang van het getal voor.
Opmerkingen:
- Gebruik v materialen is geen doel op zich. Het is enkel een hulpmiddel om
inzicht te geven.
- Lln moeten eerst vertrouwd zijn met het materiaal voor je het kan inzetten bij
bewerkingen.
- Getalbeeld gebruiken! Bv. kwadraatbeeld
1.2.3 MATERIAAL MOET REKENHANDELING ONDERSTEUNEN
Belangrijk: nadenken over gebruik ervan + gepaste verwoording. Voor ogen houden welke werkwijze we willen aanleren.
Voorbeeld:
- Methode aanleren om brugoefeningen zoals 6+5 op te lossen. Niet zinvol om te werken met pennen > zo leer je ze
resultatief tellen.
- Beter om te werken met eierdozen waarin deze per 10 verpakt kunnen worden. (6 in doos stoppen + aanvullen tot
10 en het laatste ei in de volgende doos stoppen. (= ontdekking oplossingswijze voor brugoefeningen, namelijk
aanvullen tot volgende tiental.
Bedoelde rekenhandeling ondersteunen bij cijferen: materiaal nodig die duidelijk de E,T,H,.. onderscheiden > daarom
positiemateriaal. (soms met geld > inwisselen dat bij bewerkingen gebruikt wordt)
4
