Inhoudsopgave
1 Enkelvoudige versus samengestelde interest ........................................................................ 2
2 Meerdere verdisconteringsperioden..................................................................................... 2
3 Huidige waarde van een stroom van kasstromen .................................................................. 3
4 Net present value rule.......................................................................................................... 3
5 Rate of return rule ............................................................................................................... 3
6 Moeten we rekening houden met veranderende rentetarieven ............................................ 4
7 Special cash flow streams: annuities and perpetuities ........................................................... 4
7.1 Annuïteit ................................................................................................................................ 4
7.2 Perpetuïteit............................................................................................................................ 5
7.3 Tweestappenmodellen: Combinatie annuïteit + groeiende perpetuïteit ............................. 6
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 1 van 6
, CHAPTER 2: Financiële algebra
1 Enkelvoudige versus samengestelde interest
- Simple interest: FV = PV × (1 + r × t) discount factor = present
Lineaire functie value van 1 euro in jaar 𝑡
1 aan rate 𝑟
- Compound interest: FV = PV × (1 + r)𝑡 ⟺ 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1+r)𝑡
Exponentiële functie
bv. What is the future value of 100 euro if interest is compounded annually at a rate of 7% for 2 years?
100 × (1 + 0,07)2 = 114,49
bv. What is the present value of 300 euro you get in 6 years when the annual interest rate is 4%?
1
300 × 1,04 6 = 237,09
2 Meerdere verdisconteringsperioden
𝒓 𝒓 𝒓𝒆𝒇𝒇
𝒎 𝑭𝑽 (real = effective =
(nominal interest rate
(aantal periodes per jaar) 𝒎 (waarde van € 1 in één jaar) annually compounded
= APR) (periodieke interest rate)
rate)
6% 1 6% 1,06 6%
6% 2 3% 1,032 = 1,0609 6,090 %
6% 4 1,5 % 1,0154 = 1,0609 6,136 %
6% 12 0,5 % 1,00512 = 1,06168 6,168 %
6% 52 0,1154 % 1,0115452 = 1,06180 6,180 %
6% 365 0,0164 % 1,000164365 = 1,06183 6,183 %
= periodieke interest rate
𝐴𝑃𝑅 𝑚
- Multiple discounting periods: 𝑟𝑒𝑓𝑓 = (1 + 𝑚
) −1
bv. The interest you earn is 6% yearly compounded monthly. What is the real/effective interest rate?
12
(1 + 0,06
12
) − 1 = 0,06167
bv. The annually compounded (=real/effective) interest rate = 5.5%. What is the semi-annual rate?
𝑟𝑠𝑒𝑚 = (1,055)1/2 − 1 = 2,71 % per semester
- De formule wordt ook gebruikt om meerjarige rendementen te berekenen
bv. You earn 3 % annually for 5 consecutive years, what is the compounded return you’ve made over the 5 year period?
𝑟5 𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠 = (1,03)5 − 1 = 15,92 %
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 2 van 6
, 3 Huidige waarde van een stroom van kasstromen
𝐶𝐹1 𝐶𝐹2 𝐶𝐹3 𝐶𝐹𝑛
𝑃𝑉 = 𝐶𝐹0 + + + 3
+ ⋯+
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)² (1 + 𝑟) (1 + 𝑟)𝑛
𝑛
𝐶𝐹𝑡
𝑃𝑉 = ∑
(1 + 𝑟)𝑡
𝑡=0
VOORBEELD:
Stel dat de kasstromen uit de bouw en verkoop van een kantoorgebouw als volgt zijn. Bereken de netto
contante waarde bij een vereist rendement van 5 %. De disconteringsvoet weerspiegelt de
"opportuniteitskosten", d.w.z. wat 'elders' verdiend had kunnen worden in een project met een
vergelijkbaar risico. Projecten met een hoger risico vereisen een hoger rendement en veroorzaken
lagere PV's
Year 0 Year 1 Year 2
− 170,000 − 100,000 + 320,000
−100.000 320.000
𝑁𝑃𝑉 = −170.000 + + (1+0,05)2 = 25.011,33 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −170, {100,320})
1+0,05
Net Present Value: De ‘net’ slaat op het feit dat er zowel positieve als negatieve cashflows
kunnen zijn
4 Net present value rule
- Investeringsbeslissing: Accepteer alleen projecten die een positieve NPV hebben
VOORBEELD:
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 370.000 euro kost en we volgend jaar 420.000 euro krijgen.
Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
420.000
𝑁𝑃𝑉 = −370.00 + 1,05
= 30.000 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −370, {420})
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 170.000 euro kost, volgend jaar nog eens 100.000 euro en we
in jaar 2 320.000 euro krijgen. Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
−100 320
𝑁𝑃𝑉 = −170 + 1,05
+ 1,052 = 25.011 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −170, {−100,320})
5 Rate of return rule
- Investeringsbeslissing: Accepteer alleen projecten met een rendement dat hoger is dan de
alternatieve kosten van kapitaal
VOORBEELD:
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 370.000 euro kost en we volgend jaar 420.000 euro krijgen.
Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
420.000−370.000
𝑖𝑟𝑟 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) = 370.000
= 13,5 % > 5 %
OPMERKING: Intern rendement over 1 jaar berekenen is relatief simpel, over meerdere jaren wordt ingewikkelder
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 3 van 6
1 Enkelvoudige versus samengestelde interest ........................................................................ 2
2 Meerdere verdisconteringsperioden..................................................................................... 2
3 Huidige waarde van een stroom van kasstromen .................................................................. 3
4 Net present value rule.......................................................................................................... 3
5 Rate of return rule ............................................................................................................... 3
6 Moeten we rekening houden met veranderende rentetarieven ............................................ 4
7 Special cash flow streams: annuities and perpetuities ........................................................... 4
7.1 Annuïteit ................................................................................................................................ 4
7.2 Perpetuïteit............................................................................................................................ 5
7.3 Tweestappenmodellen: Combinatie annuïteit + groeiende perpetuïteit ............................. 6
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 1 van 6
, CHAPTER 2: Financiële algebra
1 Enkelvoudige versus samengestelde interest
- Simple interest: FV = PV × (1 + r × t) discount factor = present
Lineaire functie value van 1 euro in jaar 𝑡
1 aan rate 𝑟
- Compound interest: FV = PV × (1 + r)𝑡 ⟺ 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1+r)𝑡
Exponentiële functie
bv. What is the future value of 100 euro if interest is compounded annually at a rate of 7% for 2 years?
100 × (1 + 0,07)2 = 114,49
bv. What is the present value of 300 euro you get in 6 years when the annual interest rate is 4%?
1
300 × 1,04 6 = 237,09
2 Meerdere verdisconteringsperioden
𝒓 𝒓 𝒓𝒆𝒇𝒇
𝒎 𝑭𝑽 (real = effective =
(nominal interest rate
(aantal periodes per jaar) 𝒎 (waarde van € 1 in één jaar) annually compounded
= APR) (periodieke interest rate)
rate)
6% 1 6% 1,06 6%
6% 2 3% 1,032 = 1,0609 6,090 %
6% 4 1,5 % 1,0154 = 1,0609 6,136 %
6% 12 0,5 % 1,00512 = 1,06168 6,168 %
6% 52 0,1154 % 1,0115452 = 1,06180 6,180 %
6% 365 0,0164 % 1,000164365 = 1,06183 6,183 %
= periodieke interest rate
𝐴𝑃𝑅 𝑚
- Multiple discounting periods: 𝑟𝑒𝑓𝑓 = (1 + 𝑚
) −1
bv. The interest you earn is 6% yearly compounded monthly. What is the real/effective interest rate?
12
(1 + 0,06
12
) − 1 = 0,06167
bv. The annually compounded (=real/effective) interest rate = 5.5%. What is the semi-annual rate?
𝑟𝑠𝑒𝑚 = (1,055)1/2 − 1 = 2,71 % per semester
- De formule wordt ook gebruikt om meerjarige rendementen te berekenen
bv. You earn 3 % annually for 5 consecutive years, what is the compounded return you’ve made over the 5 year period?
𝑟5 𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠 = (1,03)5 − 1 = 15,92 %
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 2 van 6
, 3 Huidige waarde van een stroom van kasstromen
𝐶𝐹1 𝐶𝐹2 𝐶𝐹3 𝐶𝐹𝑛
𝑃𝑉 = 𝐶𝐹0 + + + 3
+ ⋯+
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)² (1 + 𝑟) (1 + 𝑟)𝑛
𝑛
𝐶𝐹𝑡
𝑃𝑉 = ∑
(1 + 𝑟)𝑡
𝑡=0
VOORBEELD:
Stel dat de kasstromen uit de bouw en verkoop van een kantoorgebouw als volgt zijn. Bereken de netto
contante waarde bij een vereist rendement van 5 %. De disconteringsvoet weerspiegelt de
"opportuniteitskosten", d.w.z. wat 'elders' verdiend had kunnen worden in een project met een
vergelijkbaar risico. Projecten met een hoger risico vereisen een hoger rendement en veroorzaken
lagere PV's
Year 0 Year 1 Year 2
− 170,000 − 100,000 + 320,000
−100.000 320.000
𝑁𝑃𝑉 = −170.000 + + (1+0,05)2 = 25.011,33 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −170, {100,320})
1+0,05
Net Present Value: De ‘net’ slaat op het feit dat er zowel positieve als negatieve cashflows
kunnen zijn
4 Net present value rule
- Investeringsbeslissing: Accepteer alleen projecten die een positieve NPV hebben
VOORBEELD:
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 370.000 euro kost en we volgend jaar 420.000 euro krijgen.
Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
420.000
𝑁𝑃𝑉 = −370.00 + 1,05
= 30.000 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −370, {420})
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 170.000 euro kost, volgend jaar nog eens 100.000 euro en we
in jaar 2 320.000 euro krijgen. Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
−100 320
𝑁𝑃𝑉 = −170 + 1,05
+ 1,052 = 25.011 GRM: 𝑛𝑝𝑣(5, −170, {−100,320})
5 Rate of return rule
- Investeringsbeslissing: Accepteer alleen projecten met een rendement dat hoger is dan de
alternatieve kosten van kapitaal
VOORBEELD:
Stel dat het kantoorgebouw vandaag 370.000 euro kost en we volgend jaar 420.000 euro krijgen.
Moeten we dit project accepteren met een rendement van 5 %?
420.000−370.000
𝑖𝑟𝑟 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) = 370.000
= 13,5 % > 5 %
OPMERKING: Intern rendement over 1 jaar berekenen is relatief simpel, over meerdere jaren wordt ingewikkelder
CHAPTER 2: FINANCIAL ALGEBRA 3 van 6
