1. Introductie, geoïde en ellipsoïde
Introductie
geodesie: vorm, gravitatieveld, … van de (gehele) aarde
Vorm en afmeting van de aarde
macrovorm van de aarde bepaald door zwaartekracht en centrifugaalkracht
resultaat: aarde geen bol met straal R, maar ellipsoïde met grote as a en kleine as b
- a = evenaarsvlak
- a-b ≈ 21km
meso- en microvorm van de aarde bepaald door:
- endogene krachten: van binnen uit (vulkanisme, plaattektoniek, aardbevingen, …)
- exogene krachten: hoofdzakelijk erosie, gletsjers, …
gevolg: grillige vorm van de aarde = geen wiskundig beschrijfbaar oppervlak
Geoïde
- referentiemodel om het onregelmatige aardoppervlak te benaderen
- zwaartekrachtpotentieel: elk voorwerp in het zwaartekrachtsveld van de aarde heeft potentiële energie verkregen
doordat het naar de aarde getrokken te worden
- equipotentiaalvlak: elk punt op dat vlak heeft eenzelfde gravitatiepotentiaalwaarde
- water op een equipotentiaal oppervlak stroomt niet
- er bestaan oneindig veel van zulke oppervlakken rond de Aarde
- de loodlijn door een willekeurig oppervlaktepunt staat er altijd loodrecht op
- geoïde = equipotentiaalvlak dat bepaald is door het gemiddelde oppervlak van de oceanen
en de voortzetting van dit oppervlak onder de continenten
- geen eenvoudige geometrische vorm
- lokaal vervormd door aantrekkingen uitgeoefend door - reliëf
- dichtheidsanomalieën in de aardkorst
- geoïde kan alleen worden gekend worden door uitgebreide gravitatiemetingen en berekeningen
- potentiaal van de geoïde W0 = 6,263 685 60 x 107 m²s-²
- grillige vorm niet wiskundig beschrijfbaar
- voor praktisch gebruik vereenvoudigen door bol of ellipsoïde
Ellipsoïde
= volume verkregen door een ellips te roteren rond de korte as
Ellips
a = lange as, b = korte as
Lokale en globale ellipsoïdes
tegenwoordig: globale implementatie = internationale compatibiliteit
Bol (sfeer)
schaal < 1/5 000 000 geoïde benaderen door een bol
a = lange as R = (a + b) / 2
b = korte as R = (2a + b) / 2
voordelen: vereenvoudigde wiskunde, ψ = β = φ, …
nadelen: niet nauwkeurig genoeg voor grootschalige toepassingen
,Ellipsoïde vs. geoïde
- referentie-ellipsoïde: ellipsoïde die zo goed mogelijk aansluit bij de (lokale/globale) geoïde
- hoekverschil of afwijking tussen richting van normaal en verticaal
- η: afwijking in de OW-richting
- ξ: afwijking in de NZ-richting
- hoogteverschil tussen geoïde, ellipsoïde en topografisch oppervlak:
N=h–H N=h–H
Berekeningen op de ellipsoïde
- geocentrische breedte ψ middelpunt aarde
- geodetische breedte β loodrecht op ellipsoïde
- geografische breedte φ verzamelnaam, meestal β
- astronomische breedte hoek hemelequator, verticale
, 2. Zwaartekracht en datum
Zwaartekracht en het gravitatieveld van de Aarde
Gravitatie = aantrekkende kracht die 2 massa’s op elkaar uitoefenen
m1 m2 M
gravitatiewet van Newton: F = G ≈G
r² r²
Zwaartekrachtversnelling = valversnelling = zwaarteveldsterkte
M aarde
agravitation = G.
r ² aarde
zwaartekrachtsversnelling op het aardoppervlak hangt in feite af van
- gravitatiekracht, die door de massa van de Aarde wordt uitgeoefend
- middelpuntvliedende kracht (centrifugaalkracht) veroorzaakt door de draaiing van de Aarde
Zwaartekracht vs. gravitatie
- gravitatie: uitsluitend het gevolg van de aantrekkingskracht van massa's,
zoals beschreven door de Wet van Newton. (Hetzelfde geldt voor zwaartekrachtsversnelling.)
- zwaartekracht = gravitatie + centrifugale kracht t.g.v. de draaiing van de Aarde
(Wij gebruiken daarom zwaartekrachtversnelling (symbool g) om versnelling aan te duiden die door deze 2
krachten wordt veroorzaakt.)
Normale zwaartekrachtversnelling
= de versnelling t.g.v. de zwaartekracht op het oppervlak van een ellipsoïde
normale zwaartekracht: wat de zwaartekracht zou zijn als de aarde een eenvoudige, homogene ellipsoïde was
theoretische waarde
Het zwaartekrachtsveld van de aarde
zwaartekracht op elk punt op het aardoppervlak = som van de effecten t.g.v. (van grootste effect tot kleinste):
- hoogte (topografie): afstand tot het massamiddelpunt en de draaias van de aarde
(hoe hoger de hoogte, hoe lager de zwaartekracht)
- breedtegraad (ellipsoïdische vorm): de positie op de ellipsoïdische vorm van de planeet
(hoe hoger de breedtegraad, hoe groter de zwaartekracht)
- dichtheid: de massa (d.w.z. dichtheid maal volume) van materialen in en op de Aarde
(hoe lager de dichtheid t.o.v. de omgeving, hoe minder de zwaartekracht)
- massabeweging: veranderingen in massa's in de buurt van de meetlocatie
Het meten van de variatie van de zwaartekracht over de Aarde
gravimetrie = het meten van de sterkte van een zwaartekrachtsveld
Gravimetrie op de grond
- absolute zwaartekrachtinstrumenten die rechtstreeks de grootte meten van de versnelling t.g.v. de zwaartekracht
- relatieve zwaartekrachtinstrumenten die het verschil meten in de versnelling van de zwaartekracht tussen 2 punten
of in de tijd op een bepaalde plaats
Gravimetrie vanuit de lucht en vanaf zee
- alleen relatieve gravimetrie gebruikt
- in wezen een relatieve gravimeter op de grond die op een gestabiliseerd bewegend platform is geplaatst
Satelliet Gravimetrie
meting van de ruimtelijke verandering van de zwaartekracht - zwaartekrachtgradiënt genoemd - om de versnelling
t.g.v. de zwaartekracht te berekenen
Introductie
geodesie: vorm, gravitatieveld, … van de (gehele) aarde
Vorm en afmeting van de aarde
macrovorm van de aarde bepaald door zwaartekracht en centrifugaalkracht
resultaat: aarde geen bol met straal R, maar ellipsoïde met grote as a en kleine as b
- a = evenaarsvlak
- a-b ≈ 21km
meso- en microvorm van de aarde bepaald door:
- endogene krachten: van binnen uit (vulkanisme, plaattektoniek, aardbevingen, …)
- exogene krachten: hoofdzakelijk erosie, gletsjers, …
gevolg: grillige vorm van de aarde = geen wiskundig beschrijfbaar oppervlak
Geoïde
- referentiemodel om het onregelmatige aardoppervlak te benaderen
- zwaartekrachtpotentieel: elk voorwerp in het zwaartekrachtsveld van de aarde heeft potentiële energie verkregen
doordat het naar de aarde getrokken te worden
- equipotentiaalvlak: elk punt op dat vlak heeft eenzelfde gravitatiepotentiaalwaarde
- water op een equipotentiaal oppervlak stroomt niet
- er bestaan oneindig veel van zulke oppervlakken rond de Aarde
- de loodlijn door een willekeurig oppervlaktepunt staat er altijd loodrecht op
- geoïde = equipotentiaalvlak dat bepaald is door het gemiddelde oppervlak van de oceanen
en de voortzetting van dit oppervlak onder de continenten
- geen eenvoudige geometrische vorm
- lokaal vervormd door aantrekkingen uitgeoefend door - reliëf
- dichtheidsanomalieën in de aardkorst
- geoïde kan alleen worden gekend worden door uitgebreide gravitatiemetingen en berekeningen
- potentiaal van de geoïde W0 = 6,263 685 60 x 107 m²s-²
- grillige vorm niet wiskundig beschrijfbaar
- voor praktisch gebruik vereenvoudigen door bol of ellipsoïde
Ellipsoïde
= volume verkregen door een ellips te roteren rond de korte as
Ellips
a = lange as, b = korte as
Lokale en globale ellipsoïdes
tegenwoordig: globale implementatie = internationale compatibiliteit
Bol (sfeer)
schaal < 1/5 000 000 geoïde benaderen door een bol
a = lange as R = (a + b) / 2
b = korte as R = (2a + b) / 2
voordelen: vereenvoudigde wiskunde, ψ = β = φ, …
nadelen: niet nauwkeurig genoeg voor grootschalige toepassingen
,Ellipsoïde vs. geoïde
- referentie-ellipsoïde: ellipsoïde die zo goed mogelijk aansluit bij de (lokale/globale) geoïde
- hoekverschil of afwijking tussen richting van normaal en verticaal
- η: afwijking in de OW-richting
- ξ: afwijking in de NZ-richting
- hoogteverschil tussen geoïde, ellipsoïde en topografisch oppervlak:
N=h–H N=h–H
Berekeningen op de ellipsoïde
- geocentrische breedte ψ middelpunt aarde
- geodetische breedte β loodrecht op ellipsoïde
- geografische breedte φ verzamelnaam, meestal β
- astronomische breedte hoek hemelequator, verticale
, 2. Zwaartekracht en datum
Zwaartekracht en het gravitatieveld van de Aarde
Gravitatie = aantrekkende kracht die 2 massa’s op elkaar uitoefenen
m1 m2 M
gravitatiewet van Newton: F = G ≈G
r² r²
Zwaartekrachtversnelling = valversnelling = zwaarteveldsterkte
M aarde
agravitation = G.
r ² aarde
zwaartekrachtsversnelling op het aardoppervlak hangt in feite af van
- gravitatiekracht, die door de massa van de Aarde wordt uitgeoefend
- middelpuntvliedende kracht (centrifugaalkracht) veroorzaakt door de draaiing van de Aarde
Zwaartekracht vs. gravitatie
- gravitatie: uitsluitend het gevolg van de aantrekkingskracht van massa's,
zoals beschreven door de Wet van Newton. (Hetzelfde geldt voor zwaartekrachtsversnelling.)
- zwaartekracht = gravitatie + centrifugale kracht t.g.v. de draaiing van de Aarde
(Wij gebruiken daarom zwaartekrachtversnelling (symbool g) om versnelling aan te duiden die door deze 2
krachten wordt veroorzaakt.)
Normale zwaartekrachtversnelling
= de versnelling t.g.v. de zwaartekracht op het oppervlak van een ellipsoïde
normale zwaartekracht: wat de zwaartekracht zou zijn als de aarde een eenvoudige, homogene ellipsoïde was
theoretische waarde
Het zwaartekrachtsveld van de aarde
zwaartekracht op elk punt op het aardoppervlak = som van de effecten t.g.v. (van grootste effect tot kleinste):
- hoogte (topografie): afstand tot het massamiddelpunt en de draaias van de aarde
(hoe hoger de hoogte, hoe lager de zwaartekracht)
- breedtegraad (ellipsoïdische vorm): de positie op de ellipsoïdische vorm van de planeet
(hoe hoger de breedtegraad, hoe groter de zwaartekracht)
- dichtheid: de massa (d.w.z. dichtheid maal volume) van materialen in en op de Aarde
(hoe lager de dichtheid t.o.v. de omgeving, hoe minder de zwaartekracht)
- massabeweging: veranderingen in massa's in de buurt van de meetlocatie
Het meten van de variatie van de zwaartekracht over de Aarde
gravimetrie = het meten van de sterkte van een zwaartekrachtsveld
Gravimetrie op de grond
- absolute zwaartekrachtinstrumenten die rechtstreeks de grootte meten van de versnelling t.g.v. de zwaartekracht
- relatieve zwaartekrachtinstrumenten die het verschil meten in de versnelling van de zwaartekracht tussen 2 punten
of in de tijd op een bepaalde plaats
Gravimetrie vanuit de lucht en vanaf zee
- alleen relatieve gravimetrie gebruikt
- in wezen een relatieve gravimeter op de grond die op een gestabiliseerd bewegend platform is geplaatst
Satelliet Gravimetrie
meting van de ruimtelijke verandering van de zwaartekracht - zwaartekrachtgradiënt genoemd - om de versnelling
t.g.v. de zwaartekracht te berekenen
