Samenvatting Formules Kansrekenen

Formularium Hoofdstuk 1: Kansruimten
1. Basisbegrippen
1.1 Het Universum
Het universum, genoteerd als Ω, is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten
van een experiment.

1.2 Sigma-algebra’s van deelverzamelingen
Een sigma-algebra (of σ-algebra) over het universum Ω wordt gedefinieerd door
de volgende drie axioma’s:

1. Ω ∈ A

2. Als A ∈ A, dan AC ∈ A
S∞
3. Als {An }n∈N ⊂ A, dan n=1 An ∈ A

1.3 Kansmaten
Een functie P : A → R wordt een kansmaat genoemd indien:

1. P (Ω) = 1
2. ∀A ∈ A, P (A) ≥ 0

3. Als {An }n∈N paarsgewijs disjunct zijn, dan:
∞ ∞
!
[ X
P An = P (An )
n=1 n=1


1.4 Traditionele kansruimten
1.4.1 Eindige verzamelingen
• Universum: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN }
PN
• Kansmaat: i=1 P ({ωi }) = 1
|A|
• Uniforme kansmaat: P (A) = |Ω|


1.4.2 Aftelbare verzamelingen
• Universum: Ω = {ωi | i ∈ N}
P∞
• Kansmaat: i=1 P ({ωi }) = 1




1

, 1.4.3 Niet-aftelbare verzamelingen
Gebruik van complexe technieken om de kansmaat te definiëren, vaak via inte-
gralen.

2. Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid
2.1 Voorwaardelijke kans
De voorwaardelijke kans van A gegeven B (met P (B) > 0) is:

P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)

2.2 Onafhankelijkheid
Gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk indien:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

3. Belangrijke regels en stellingen
3.1 Somregel
Voor alle A, B ∈ A:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

3.2 Regel van totale kans
Als {Bi } een partitie van Ω is, dan:
X
P (A) = P (A|Bi )P (Bi )
i


3.3 Stelling van Bayes
Voor gebeurtenissen A en B met P (A) > 0 en P (B) > 0:

P (A|B)P (B)
P (B|A) =
P (A)




2