.
Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Theorie
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Inhoudsopgave
Theorie
1 Hoofdstuk 1.................................................................................................................................................................1
1.1 Hoorcollege 1....................................................................................................................................................1
2 Hoofdstuk 2.............................................................................................................................................................. 15
2.1 Hoorcollege 2................................................................................................................................................. 15
3 Hoofdstuk 3.............................................................................................................................................................. 29
3.1 Hoorcollege 3................................................................................................................................................. 29
4 Hoofdstuk 4.............................................................................................................................................................. 38
4.1 Hoorcollege 3................................................................................................................................................. 38
4.2 Hoorcollege 4................................................................................................................................................. 43
4.3 Hoorcollege 5................................................................................................................................................. 50
5 Hoofdstuk 5.............................................................................................................................................................. 57
5.1 Hoorcollege 5................................................................................................................................................. 57
5.2 Hoorcollege 6................................................................................................................................................. 62
6 Hoofdstuk 6.............................................................................................................................................................. 74
6.1 Hoorcollege 7................................................................................................................................................. 74
6.2 Hoorcollege 8................................................................................................................................................. 87
7 Hoofdstuk 7.............................................................................................................................................................. 95
7.1 Hoorcollege 9................................................................................................................................................. 95
7.2 Hoorcollege 10 ........................................................................................................................................... 110
,Bewijzen
1. Logistische groei .............................................................................................................................................. 27
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ............................................................................................................................................. 34
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 .............................................................................................................................................. 34
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | ............................................................................................................................................... 35
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | ........................................................................................................................................... 35
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | .......................................................................................................................... 36
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | .......................................................................................................................... 36
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) ............................................... 47
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ................................................... 47
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴......... 47
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................ 48
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 .................................................................................................................................................. 48
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 .............................................................................................................................................. 49
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................ 60
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. .............................................................................................................................................................. 68
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 68
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ....................................................................................................................................................115
,Theorie
, 1 Hoofdstuk 1
1.1 Hoorcollege 1
Bepaalde integraal
Definitie
Interpretatie: oppervlakte
Belangrijkste eigenschappen
Economische toepassing: consumenten- en producentensurplus
Oneigenlijke integralen
Definities
Voorbeelden
Convergentie en divergentie
Bepaalde integraal
Bij een bepaalde integraal ga je de
oppervlakte berekenen van gebieden die
begrensd zijn door rechten /functies /
curves / grafieken…
Definitie 𝑎 = ondergrens / 𝑏 = bovengrens
Zij 𝑓 continu op [ 𝑎, 𝑏 ], dan
𝑏 𝑏 = altijd een getal als uitkomst → geen 𝑥-waarde
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹(𝑥) ] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) → geen functie
𝑎 𝑎
Waarbij 𝐹 een primitieve functie is van 𝑓 op ] 𝑎, 𝑏 [.
𝑎𝑙𝑠
𝐹 is een primitieve van 𝑓 ⇔ 𝐹 ′ = 𝑓
1
, Voorbeeld
1 1
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 + 𝑥 ] = (12 + 1) − (02 + 0) = 2 (bij moeilijke functies kan men dus gebruik
0 0 maken van P.I. of substitutiemethode.
𝑓 𝐹 𝐹(1) 𝐹(0)
Opmerking
Men mag de integratieconstante weglaten bij het vinden van 𝐹(𝑥).
[𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶]10 = 𝐹(1) − 𝐹(0) = (12 + 1 + 𝐶) − (02 + 0 + 𝐶) +𝐶 − (+𝐶) = 0
⟶ 𝐶 valt weg
⟶ indien je ze wel schrijft, geen probleem. Hiervoor zullen geen
punten voor worden afgetrokken.
Oppervlakte als 𝑓 positief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Oefening
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van 𝑦 = 2𝑥 + 1, de 𝑋-as, de
𝑌-as en de rechte 𝑥 = 1.
1+3
1. oppervlakte = ( )∙1=2
2
1
2. de bepaalde integraal: oppervlakte = ∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
0
1
= [ 𝑥 2 + 𝑥 ]0
= (12 + 1) − (02 + 0)
=2−0=2
𝑏1 + 𝑏2
De oppervlakte (een trapezium) heeft als formule ∙ℎ
2
OF
De oppervlakte van een rechthoek + driehoek
2
, Opgelet!
Opmerking: wanneer een functie over een (gedeeltelijk) negatief oppervlakte beschikt, zoals
hieronder, moet je de positieve oppervlakte splitsen met de negatieve oppervlakte. Bij het negatief
oppervlak moet je als volgt een minteken ervoor plaatsen. Achteraf sommeren we de twee
oppervlaktes om de totale oppervlakte te weten.
Oppervlakte = 8,
MAAR
2 2
𝑥4 24 (−2)4
∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 ≠ 8 =[ ] = − = 4− 4 = 0 ???
−2 4 −2 4 4
𝐴1
REDEN?
𝐴2
2 2
𝑥4 24 04
𝐴1 : ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = [ ] = − =4
0 4 0 4 4
0 0
3
𝑥4 04 (−2)4
𝐴2 : − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − [ ] = − [ − ] = −(0 − 4) = 4
−2 4 −2 4 4
4+4
Oppervlakte als 𝑓 negatief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏 Dit oppervlakte is al negatief in dit geval.
𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Door er een minteken voor te plaatsen wordt
𝑎 de oppervlakte positief.
3
, Oppervlakte tussen twee grafieken
Één snijpunt
𝐴2
𝐴1
𝑐 𝑏
Oppervlakte: ∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎 𝑐
𝐴1 𝐴2
… …
Het basisidee is: oppervlakte tussen twee grafieken: [∫ boven 𝑓 − ∫ onder 𝑓 ]
… …
𝑨𝟏
= −
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑐 𝑐
𝐴1 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎 𝑎
𝑨𝟐
= −
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏
𝑏 𝑏
𝐴2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐 𝑐
4
Wiskunde voor bedrijfskundigen II
Theorie
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Inhoudsopgave
Theorie
1 Hoofdstuk 1.................................................................................................................................................................1
1.1 Hoorcollege 1....................................................................................................................................................1
2 Hoofdstuk 2.............................................................................................................................................................. 15
2.1 Hoorcollege 2................................................................................................................................................. 15
3 Hoofdstuk 3.............................................................................................................................................................. 29
3.1 Hoorcollege 3................................................................................................................................................. 29
4 Hoofdstuk 4.............................................................................................................................................................. 38
4.1 Hoorcollege 3................................................................................................................................................. 38
4.2 Hoorcollege 4................................................................................................................................................. 43
4.3 Hoorcollege 5................................................................................................................................................. 50
5 Hoofdstuk 5.............................................................................................................................................................. 57
5.1 Hoorcollege 5................................................................................................................................................. 57
5.2 Hoorcollege 6................................................................................................................................................. 62
6 Hoofdstuk 6.............................................................................................................................................................. 74
6.1 Hoorcollege 7................................................................................................................................................. 74
6.2 Hoorcollege 8................................................................................................................................................. 87
7 Hoofdstuk 7.............................................................................................................................................................. 95
7.1 Hoorcollege 9................................................................................................................................................. 95
7.2 Hoorcollege 10 ........................................................................................................................................... 110
,Bewijzen
1. Logistische groei .............................................................................................................................................. 27
𝑎 𝑏 𝑐
2. |0 𝑑 𝑒 | = 𝑎𝑑𝑓 ............................................................................................................................................. 34
0 0 𝑓
𝑎 0 0
3. |𝑏 𝑐 0| = 𝑎𝑐𝑓 .............................................................................................................................................. 34
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑎 𝑐
4. | |=| | ............................................................................................................................................... 35
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
5. | | = −| | ........................................................................................................................................... 35
𝑐 𝑑 𝑑 𝑐
𝑎 𝑏 𝜆𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
6. |𝑑 𝑒 𝜆𝑓| = 𝜆 |𝑑 𝑒 𝑓 | .......................................................................................................................... 36
𝑒 ℎ 𝜆𝑖 𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
7. | |=| | .......................................................................................................................... 36
𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏 𝑐 𝑑
8. Stelling. 𝐴 heeft een inverse ⟹ 𝐴 regulier ( d.w.z. det(𝐴) ≠ 0) ............................................... 47
9. Stelling. Als 𝐵 en 𝐵′ inverse matrices zijn van 𝐴, dan 𝐵 = 𝐵′. ................................................... 47
1
10. Als 𝐴 regulier is, dan is de matrix 𝐴−1 = det(𝐴) adj 𝐴 De enige inverse matrix van 𝐴......... 47
11. (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 ............................................................................................................................................ 48
1
12. (𝑟𝐴)−1 = 𝐴−1 .................................................................................................................................................. 48
𝑟
13. (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇 .............................................................................................................................................. 49
14. Karakteristieke vergelijking det(𝐴 − 𝜆𝐸𝑚 ) = 0. ................................................................................ 60
15. 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢. .............................................................................................................................................................. 68
16. 𝐴𝑡 𝑣 = 𝑐1 𝜆1𝑡 𝑣1 + 𝑐2 𝜆𝑡2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝜆𝑡𝑝 𝑝 ................................................................................................ 68
d𝑓 (𝑥 ∗ ,𝑦 ∗ )
17. d𝑐
= 𝜆∗ ....................................................................................................................................................115
,Theorie
, 1 Hoofdstuk 1
1.1 Hoorcollege 1
Bepaalde integraal
Definitie
Interpretatie: oppervlakte
Belangrijkste eigenschappen
Economische toepassing: consumenten- en producentensurplus
Oneigenlijke integralen
Definities
Voorbeelden
Convergentie en divergentie
Bepaalde integraal
Bij een bepaalde integraal ga je de
oppervlakte berekenen van gebieden die
begrensd zijn door rechten /functies /
curves / grafieken…
Definitie 𝑎 = ondergrens / 𝑏 = bovengrens
Zij 𝑓 continu op [ 𝑎, 𝑏 ], dan
𝑏 𝑏 = altijd een getal als uitkomst → geen 𝑥-waarde
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹(𝑥) ] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) → geen functie
𝑎 𝑎
Waarbij 𝐹 een primitieve functie is van 𝑓 op ] 𝑎, 𝑏 [.
𝑎𝑙𝑠
𝐹 is een primitieve van 𝑓 ⇔ 𝐹 ′ = 𝑓
1
, Voorbeeld
1 1
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 + 𝑥 ] = (12 + 1) − (02 + 0) = 2 (bij moeilijke functies kan men dus gebruik
0 0 maken van P.I. of substitutiemethode.
𝑓 𝐹 𝐹(1) 𝐹(0)
Opmerking
Men mag de integratieconstante weglaten bij het vinden van 𝐹(𝑥).
[𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶]10 = 𝐹(1) − 𝐹(0) = (12 + 1 + 𝐶) − (02 + 0 + 𝐶) +𝐶 − (+𝐶) = 0
⟶ 𝐶 valt weg
⟶ indien je ze wel schrijft, geen probleem. Hiervoor zullen geen
punten voor worden afgetrokken.
Oppervlakte als 𝑓 positief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Oefening
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van 𝑦 = 2𝑥 + 1, de 𝑋-as, de
𝑌-as en de rechte 𝑥 = 1.
1+3
1. oppervlakte = ( )∙1=2
2
1
2. de bepaalde integraal: oppervlakte = ∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
0
1
= [ 𝑥 2 + 𝑥 ]0
= (12 + 1) − (02 + 0)
=2−0=2
𝑏1 + 𝑏2
De oppervlakte (een trapezium) heeft als formule ∙ℎ
2
OF
De oppervlakte van een rechthoek + driehoek
2
, Opgelet!
Opmerking: wanneer een functie over een (gedeeltelijk) negatief oppervlakte beschikt, zoals
hieronder, moet je de positieve oppervlakte splitsen met de negatieve oppervlakte. Bij het negatief
oppervlak moet je als volgt een minteken ervoor plaatsen. Achteraf sommeren we de twee
oppervlaktes om de totale oppervlakte te weten.
Oppervlakte = 8,
MAAR
2 2
𝑥4 24 (−2)4
∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 ≠ 8 =[ ] = − = 4− 4 = 0 ???
−2 4 −2 4 4
𝐴1
REDEN?
𝐴2
2 2
𝑥4 24 04
𝐴1 : ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = [ ] = − =4
0 4 0 4 4
0 0
3
𝑥4 04 (−2)4
𝐴2 : − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − [ ] = − [ − ] = −(0 − 4) = 4
−2 4 −2 4 4
4+4
Oppervlakte als 𝑓 negatief op [ 𝑎, 𝑏 ]
𝑏 Dit oppervlakte is al negatief in dit geval.
𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Door er een minteken voor te plaatsen wordt
𝑎 de oppervlakte positief.
3
, Oppervlakte tussen twee grafieken
Één snijpunt
𝐴2
𝐴1
𝑐 𝑏
Oppervlakte: ∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎 𝑐
𝐴1 𝐴2
… …
Het basisidee is: oppervlakte tussen twee grafieken: [∫ boven 𝑓 − ∫ onder 𝑓 ]
… …
𝑨𝟏
= −
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑐 𝑐
𝐴1 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎 𝑎
𝑨𝟐
= −
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏
𝑏 𝑏
𝐴2 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐 𝑐
4
