Samenvatting BOM
Boek 1: Inleiding differentiaalvergelijkingen
H1: basisbegrippen
Definitie: Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin afgeleiden of differentialen
voorkomen van een afhankelijke variabele naar één of meer onafhankelijke variabelen.
Doel: functie-verband bepalen tussen afhankelijke en onafhankelijke variabelen
(voorbeeld 1.1)
2 soorten:
Een gewone differentiaalvergelijking is een diffvgl waarin alle afgeleiden of differentialen
betrekking hebben op éénzelfde onafhankelijke variabele;
Een partiële differentiaalvergelijking is een diffvgl waarin de afgeleiden of differentialen
betrekking hebben op meerdere onafh variabelen.
(voorbeeld 1.2)
Definitie: De orde van een diffvgl is de hoogste orde van de afgeleiden die optreden in de diffvgl.
Vb: xy’ – y” = sinx / x^3 y is diffvgl van orde twee (y”)
Algemene notatie: men noteert een gewone diffvgl van eerste orde als
F(x, y, y’) = 0
Voor een differentiaal van tweede orde wordt dit:
F(x, y, y’, y”) = 0
Voor een differentiaal van n-de orde wordt dit:
F(x, y, y’, y”, …, y^(n)) = 0
Het functievoorschrift F(…) geeft het impliciete verband tussen de afgeleiden van y naar x en
x en y zelf.
(voorbeeld 1.4)
Definitie: Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een (afleidbare) functie die door
substitutie in de gegeven vergelijking van de vergelijking een identiteit maakt. Een functie bepaald
door ÿ(x) is maw oplossing van de diffvgl F(x, y, y’,y”,…, y^(n)) = 0 als geldt dat F(x,ÿ(x), ÿ’(x), ÿ”(x),…,
ÿ^(n)) =(identiteit)= 0
(voorbeeld 1.5 en 1.6)
2 soorten oplossingen:
De algemene oplossing van een diffvgl is de familie oplossingen van de diffvgl die evenveel
arbitraire constanten of parameters beat als de orde van de diffvgl.
De particuliere oplossing van een diffvgl is één oplossing van de diffvgl, zonder parameters
of onbepaalde coëfficiënten, of ook één exemplaar uit de algemene oplossing. (geen vrije
parameters).
Algemene oplossing is maw de unie van alle particuliere oplossingen!
(voorbeeld 1.7)
Definitie: Een singuliere oplossing van een diffvgl is een oplossing die niet behoort tot de verzameling
functies begrepen in de algemene oplossing, maar niettemin een echte oplossing is.
(voorbeeld 1.8)
,Definitie: een randvoorwaarde bij een diffvgl is een extra voorwaarde die men oplegt aan de
oplossing van de vergelijking, en die toelaat om aan een arbitraire constante uit de algemene
oplossing een concrete waarde toe te kennen.
Indien men alle arbitraire constanten wenst te bepalen, en maw geïnteresseerd is in een particuliere
oplossing in plaats van in de algemene oplossing, moet men een aantal randvoorwaarden toevoegen
gelijk aan de orde van de diffvgl
(voorbeeld 1.9)
H2: het nut van differentiaalvergelijkingen
Inleiding
2.1 Aangroei van een populatie
,H3: oplossen van eerste orde vergelijkingen
1. Scheidbare differentiaalvergelijkingen
Deze eerste methode vertrekt vanuit de differentiaalvorm van de diffvgl. Dit betekent dat we de
eerste orde vgl omvormen tot een gedaante:
P(x,y) dx + Q(x,y)dy = 0
Met P(x,y) en Q(x,y) continue functies van x en y.
Daartoe kunnen we eventueel gebruik maken van de gelijkheid
Y’ = dy/dx
Definitie: Een differentiaalvergelijking van eerste orde is scheidbaar, wanneer ze geschreven kan
worden in de vorm:
P(x) dx + Q(y) dy = 0
Het moet maw mogelijk zijn om de twee veranderlijke x en y volledig uit elkaar te halen, door een
factorisatie van de optredende functies.
(voorbeeld 3.1 + opstellen oplossingsmethode p.25)
Opm!
Wanneer de gescheiden differentiaalvorm verkregen wordt na een deling door een factor die y
bevat, veronderstellen we eigenlijk dat deze factor nergens nul wordt. Als dit wel zo is moet dit
afzonderlijk onderzocht worden, en kan dit leiden tot één of meerdere singuliere oplossingen;
Algemene oplossingsmethode (scheidbare diffvgl)
Schrijf de vergelijking in een differentiaalvorm met de beide
veranderlijke volledig gescheiden, of P(x)dx + Q(y) dy = 0
1. Integreer per veranderlijke, en plaats de arbitraire constante C in het rechterlid, of
… P(x) dx + … Q(y) dy = C
2. Werk de algemene oplossing uit tot een goed leesbare impliciete en zo mogelijk expliciete
vorm.
3. Ga na of er eventueel singuliere oplossingen zijn.
(voorbeeld 3.2)
2. Lineaire differentiaalvergelijkingen
Definitie: een diffvgl van eerste orde is lineair, wanneer ze geschreven kan worden in de vorm
y’ + M(x) y = N(x).
de vergelijking moet maw lineair zijn in de afhankelijke veranderlijke y en haar afgeleide;
alle andere optredende functies hangen enkel af van de onafh veranderlijke x.
(voorbeeld 3.3)
Algemene oplossingsmethode (lineaire diffvgl)
1. Schrijf de vergelijking in de vorm
y’ + M(x)y = N(x)
2. Bereken de tussenintegraal
G(x) = exp … M(x) dx…
3. De algemene oplossing luidt dan:
y= 1/G(x) * (C + … G(x) N(x) dx)
, BEWIJS
We kunnen de correctheid van de formule uit de methode aantonen door de afgeleide ervan te
berekenen, en na te gaan of deze overeenstemt met de diffvgl. Aangezien de voorgestelde oplossing
een arbitraire constante bevat, gaat het meteen om de algemene oplossing.
De afgeleide van de voorgestelde oplossing kunnen we schrijven als:
Boek 1: Inleiding differentiaalvergelijkingen
H1: basisbegrippen
Definitie: Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin afgeleiden of differentialen
voorkomen van een afhankelijke variabele naar één of meer onafhankelijke variabelen.
Doel: functie-verband bepalen tussen afhankelijke en onafhankelijke variabelen
(voorbeeld 1.1)
2 soorten:
Een gewone differentiaalvergelijking is een diffvgl waarin alle afgeleiden of differentialen
betrekking hebben op éénzelfde onafhankelijke variabele;
Een partiële differentiaalvergelijking is een diffvgl waarin de afgeleiden of differentialen
betrekking hebben op meerdere onafh variabelen.
(voorbeeld 1.2)
Definitie: De orde van een diffvgl is de hoogste orde van de afgeleiden die optreden in de diffvgl.
Vb: xy’ – y” = sinx / x^3 y is diffvgl van orde twee (y”)
Algemene notatie: men noteert een gewone diffvgl van eerste orde als
F(x, y, y’) = 0
Voor een differentiaal van tweede orde wordt dit:
F(x, y, y’, y”) = 0
Voor een differentiaal van n-de orde wordt dit:
F(x, y, y’, y”, …, y^(n)) = 0
Het functievoorschrift F(…) geeft het impliciete verband tussen de afgeleiden van y naar x en
x en y zelf.
(voorbeeld 1.4)
Definitie: Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een (afleidbare) functie die door
substitutie in de gegeven vergelijking van de vergelijking een identiteit maakt. Een functie bepaald
door ÿ(x) is maw oplossing van de diffvgl F(x, y, y’,y”,…, y^(n)) = 0 als geldt dat F(x,ÿ(x), ÿ’(x), ÿ”(x),…,
ÿ^(n)) =(identiteit)= 0
(voorbeeld 1.5 en 1.6)
2 soorten oplossingen:
De algemene oplossing van een diffvgl is de familie oplossingen van de diffvgl die evenveel
arbitraire constanten of parameters beat als de orde van de diffvgl.
De particuliere oplossing van een diffvgl is één oplossing van de diffvgl, zonder parameters
of onbepaalde coëfficiënten, of ook één exemplaar uit de algemene oplossing. (geen vrije
parameters).
Algemene oplossing is maw de unie van alle particuliere oplossingen!
(voorbeeld 1.7)
Definitie: Een singuliere oplossing van een diffvgl is een oplossing die niet behoort tot de verzameling
functies begrepen in de algemene oplossing, maar niettemin een echte oplossing is.
(voorbeeld 1.8)
,Definitie: een randvoorwaarde bij een diffvgl is een extra voorwaarde die men oplegt aan de
oplossing van de vergelijking, en die toelaat om aan een arbitraire constante uit de algemene
oplossing een concrete waarde toe te kennen.
Indien men alle arbitraire constanten wenst te bepalen, en maw geïnteresseerd is in een particuliere
oplossing in plaats van in de algemene oplossing, moet men een aantal randvoorwaarden toevoegen
gelijk aan de orde van de diffvgl
(voorbeeld 1.9)
H2: het nut van differentiaalvergelijkingen
Inleiding
2.1 Aangroei van een populatie
,H3: oplossen van eerste orde vergelijkingen
1. Scheidbare differentiaalvergelijkingen
Deze eerste methode vertrekt vanuit de differentiaalvorm van de diffvgl. Dit betekent dat we de
eerste orde vgl omvormen tot een gedaante:
P(x,y) dx + Q(x,y)dy = 0
Met P(x,y) en Q(x,y) continue functies van x en y.
Daartoe kunnen we eventueel gebruik maken van de gelijkheid
Y’ = dy/dx
Definitie: Een differentiaalvergelijking van eerste orde is scheidbaar, wanneer ze geschreven kan
worden in de vorm:
P(x) dx + Q(y) dy = 0
Het moet maw mogelijk zijn om de twee veranderlijke x en y volledig uit elkaar te halen, door een
factorisatie van de optredende functies.
(voorbeeld 3.1 + opstellen oplossingsmethode p.25)
Opm!
Wanneer de gescheiden differentiaalvorm verkregen wordt na een deling door een factor die y
bevat, veronderstellen we eigenlijk dat deze factor nergens nul wordt. Als dit wel zo is moet dit
afzonderlijk onderzocht worden, en kan dit leiden tot één of meerdere singuliere oplossingen;
Algemene oplossingsmethode (scheidbare diffvgl)
Schrijf de vergelijking in een differentiaalvorm met de beide
veranderlijke volledig gescheiden, of P(x)dx + Q(y) dy = 0
1. Integreer per veranderlijke, en plaats de arbitraire constante C in het rechterlid, of
… P(x) dx + … Q(y) dy = C
2. Werk de algemene oplossing uit tot een goed leesbare impliciete en zo mogelijk expliciete
vorm.
3. Ga na of er eventueel singuliere oplossingen zijn.
(voorbeeld 3.2)
2. Lineaire differentiaalvergelijkingen
Definitie: een diffvgl van eerste orde is lineair, wanneer ze geschreven kan worden in de vorm
y’ + M(x) y = N(x).
de vergelijking moet maw lineair zijn in de afhankelijke veranderlijke y en haar afgeleide;
alle andere optredende functies hangen enkel af van de onafh veranderlijke x.
(voorbeeld 3.3)
Algemene oplossingsmethode (lineaire diffvgl)
1. Schrijf de vergelijking in de vorm
y’ + M(x)y = N(x)
2. Bereken de tussenintegraal
G(x) = exp … M(x) dx…
3. De algemene oplossing luidt dan:
y= 1/G(x) * (C + … G(x) N(x) dx)
, BEWIJS
We kunnen de correctheid van de formule uit de methode aantonen door de afgeleide ervan te
berekenen, en na te gaan of deze overeenstemt met de diffvgl. Aangezien de voorgestelde oplossing
een arbitraire constante bevat, gaat het meteen om de algemene oplossing.
De afgeleide van de voorgestelde oplossing kunnen we schrijven als:
