Hoofdstuk 16
Wiskundige optimalisatie
Extreme waarden
Nodige voorwaarden voor extrema
Lokaal minimum:
Als er een open schijf D bestaat dat punt P bevat zodat f(x0,y0) ≤ f(x,y) voor alle (x,y) die zowel in D als in
S zitten → lokaal minimum in P
Lokaal maximum
Als er een open schijf D bestaat dat punt P bevat zodat f(x0,y0) ≥ f(x,y) voor alle (x,y) die zowel in D als in
S zitten → lokaal maximum in P
Nodige voorwaarden voor extrema:
Een functie van 2 variabelen (IR → IR²) kan enkel een lokaal of globaal extremum hebben in 3 gevallen
▪ Indien P een kritisch punt is ⃗𝜵⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎 (alle partieel afgeleiden in P zijn 0 (x en y))
▪ Indien P een singulier punt is ⃗𝜵
⃗ f(x0,y0) bestaat niet
▪ Indien P een randpunt is van het domein D van f
!!!opgelet, deze punten zijn kandidaat extrema, niet altijd een minimum of een maximum
Bepaal en classificeer de kritische punten van f(x,y) = bepaal de extrema (methode voor makk functies)
Bepaal de gradiënt en stel deze gelijk aan de nulvector: ⃗𝜵 ⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎
Vul beide punten in, in ∆𝒇 = 𝒇(𝒉, 𝒌) − 𝒇(𝒙, 𝒚)
Dan besluiten of je altijd strikt positieve, negatieve waarden kan krijgen of een mix
o Strikt positief positief definiet (dus stijgt) lokaal minimum
o Strikt negatief negatief definiet (dus daalt) lokaal maximum
o Pos en negatief indefiniet (dus stijgt en daalt) zadelpunt = buigpunt
⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎 heb je dus een kritisch punt,
Indien voor P(x0,y0) de gradiënt ⃗𝜵
maar als je in dat punt in verschillende richtingen kan dalen en stijgen heb je
geen extrema maar een buigpunt → dit is een zadelpunt
Voldoende voorwaarden voor extrema
Hessiaan matrix in een punt a
= de matrix van de tweede-orde partiële afgeleiden van die functie
Alle variabelen in f 2 keer afleiden naar alle mogelijke variabelen en in de matrix plaatsen
Bv bij x en y heb je fxx, fxy, fyx en fyy, op de hoofdiagonalen zet je alles dat 2 keer dezelfde variabele heeft
En op elke rij start een nieuwe variabele, dus heel rij 1 start met fx.., fx…., ….
Als het een continue + afleidbare functie is zal fxy = fyx en zal de Hessiaan dus een symmetrische matrix zijn
, Wat betekent bv positief definiet: je pakt om het even
Tweede afgeleide test = Hessiaantest welke vector h en je krijg altijd een positief getal: ∆𝑓 > 0
Voorwaarden om test te doen:
▪ a is een kritisch punt van f(x)
▪ a is geen randpunt van
▪ de Hessiaan H(x) is continu in de omgeving van a
Mag enkel gebruiken als aan deze voorwaarden voldaan is!!
Indien aan deze voorwaarden voldaan is geldt
a) Als H(a) positief definiet is f in a een lokaal minimum (∆𝒇 > 𝟎)
b) Als H(a) negatief definiet is f in a een lokaal maximum (∆𝒇 < 𝟎) niet = 0!!!
c) Als H(a) indefiniet is dan is f in a een zadelpunt = buigpunt (geen vast teken + det(H) = 0)
d) Als H(a) geen van bovenstaande is heb je geen besluit en moet je een andere methode doen
o Dan adhv methode 1 op vorige pagina proberen → semi definiet dus als er 0 bij zit
f(h,k) is het punt naar
waar we bewegen, als
o ∆𝒇 = 𝒇(𝒉, 𝒌) − 𝒇(𝒙, 𝒚) en kijken of het altijd pos (min), neg (max), beiden (zadelpunt als je in
(x,y) een minimum is ene richting stijgt, andere daalt) kan zijn
zal je in elke richting voor x en y het kritische punt invullen in bovenstaande vergelijking
stijgen dus zal zh,k
hoger liggen dan zx,y In algebra gezien dat je dit berekent adhv de eigenwaarden maar kan veel makkelijker
en zal ∆𝒇 dus altijd door de determinanten te beschouwen: D1, D2 en naar die waarde te kijken
positief zijn
Bepaal en classificeer de kritische punten van f(x,y) = bepaal de extrema (methode 2)
= bepaal de extrema van f(x,y)
Bereken de partiële afgeleiden en stel ze gelijk aan 0
Bepaal hieruit de kritische punten = kandidaten voor extrema + ook singuliere punten + randpunten
Kritische punten = punten waarvoor gradiënt = 0
Bereken de tweede partiële afgeleiden (#2-de afgeleide = #variabelen²)
Stel de Hessiaan matrix op voor 2 variabelen = H(x,y)
Vul al de kritische punten apart in en doe de determinant methode
Kijken of je situatie a, b, c of d uitkomt, d is wanneer je c uitkomt en de determinant = 0
!!voor elk kritisch punt de Hessiaan invullen en het antwoord classificeren
Voldoende voorwaarde:
Als f een gesloten eindig interval als domein heeft en als f continu is, dan heeft f
een globaal minimum en globaal maximum
Extrema in een beperkt domein
Algemene procedure
Rekening houden met de nodige en voldoende voorwaarden voor extrema (zie vorige pagina)
Zij f een continue functie gedefinieerd over een gesloten (begrensd) verzameling S, dan heeft f een globale
maximum- en minimumwaarde over S
Herhaling nodige voorwaarden voor extrema:
▪ Kritisch punt gradiënt = 0
▪ Singulier punt gradiënt bestaat niet
▪ Randpunt ligt op rand van domein
Wiskundige optimalisatie
Extreme waarden
Nodige voorwaarden voor extrema
Lokaal minimum:
Als er een open schijf D bestaat dat punt P bevat zodat f(x0,y0) ≤ f(x,y) voor alle (x,y) die zowel in D als in
S zitten → lokaal minimum in P
Lokaal maximum
Als er een open schijf D bestaat dat punt P bevat zodat f(x0,y0) ≥ f(x,y) voor alle (x,y) die zowel in D als in
S zitten → lokaal maximum in P
Nodige voorwaarden voor extrema:
Een functie van 2 variabelen (IR → IR²) kan enkel een lokaal of globaal extremum hebben in 3 gevallen
▪ Indien P een kritisch punt is ⃗𝜵⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎 (alle partieel afgeleiden in P zijn 0 (x en y))
▪ Indien P een singulier punt is ⃗𝜵
⃗ f(x0,y0) bestaat niet
▪ Indien P een randpunt is van het domein D van f
!!!opgelet, deze punten zijn kandidaat extrema, niet altijd een minimum of een maximum
Bepaal en classificeer de kritische punten van f(x,y) = bepaal de extrema (methode voor makk functies)
Bepaal de gradiënt en stel deze gelijk aan de nulvector: ⃗𝜵 ⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎
Vul beide punten in, in ∆𝒇 = 𝒇(𝒉, 𝒌) − 𝒇(𝒙, 𝒚)
Dan besluiten of je altijd strikt positieve, negatieve waarden kan krijgen of een mix
o Strikt positief positief definiet (dus stijgt) lokaal minimum
o Strikt negatief negatief definiet (dus daalt) lokaal maximum
o Pos en negatief indefiniet (dus stijgt en daalt) zadelpunt = buigpunt
⃗ f(x0,y0) = ⃗𝟎 heb je dus een kritisch punt,
Indien voor P(x0,y0) de gradiënt ⃗𝜵
maar als je in dat punt in verschillende richtingen kan dalen en stijgen heb je
geen extrema maar een buigpunt → dit is een zadelpunt
Voldoende voorwaarden voor extrema
Hessiaan matrix in een punt a
= de matrix van de tweede-orde partiële afgeleiden van die functie
Alle variabelen in f 2 keer afleiden naar alle mogelijke variabelen en in de matrix plaatsen
Bv bij x en y heb je fxx, fxy, fyx en fyy, op de hoofdiagonalen zet je alles dat 2 keer dezelfde variabele heeft
En op elke rij start een nieuwe variabele, dus heel rij 1 start met fx.., fx…., ….
Als het een continue + afleidbare functie is zal fxy = fyx en zal de Hessiaan dus een symmetrische matrix zijn
, Wat betekent bv positief definiet: je pakt om het even
Tweede afgeleide test = Hessiaantest welke vector h en je krijg altijd een positief getal: ∆𝑓 > 0
Voorwaarden om test te doen:
▪ a is een kritisch punt van f(x)
▪ a is geen randpunt van
▪ de Hessiaan H(x) is continu in de omgeving van a
Mag enkel gebruiken als aan deze voorwaarden voldaan is!!
Indien aan deze voorwaarden voldaan is geldt
a) Als H(a) positief definiet is f in a een lokaal minimum (∆𝒇 > 𝟎)
b) Als H(a) negatief definiet is f in a een lokaal maximum (∆𝒇 < 𝟎) niet = 0!!!
c) Als H(a) indefiniet is dan is f in a een zadelpunt = buigpunt (geen vast teken + det(H) = 0)
d) Als H(a) geen van bovenstaande is heb je geen besluit en moet je een andere methode doen
o Dan adhv methode 1 op vorige pagina proberen → semi definiet dus als er 0 bij zit
f(h,k) is het punt naar
waar we bewegen, als
o ∆𝒇 = 𝒇(𝒉, 𝒌) − 𝒇(𝒙, 𝒚) en kijken of het altijd pos (min), neg (max), beiden (zadelpunt als je in
(x,y) een minimum is ene richting stijgt, andere daalt) kan zijn
zal je in elke richting voor x en y het kritische punt invullen in bovenstaande vergelijking
stijgen dus zal zh,k
hoger liggen dan zx,y In algebra gezien dat je dit berekent adhv de eigenwaarden maar kan veel makkelijker
en zal ∆𝒇 dus altijd door de determinanten te beschouwen: D1, D2 en naar die waarde te kijken
positief zijn
Bepaal en classificeer de kritische punten van f(x,y) = bepaal de extrema (methode 2)
= bepaal de extrema van f(x,y)
Bereken de partiële afgeleiden en stel ze gelijk aan 0
Bepaal hieruit de kritische punten = kandidaten voor extrema + ook singuliere punten + randpunten
Kritische punten = punten waarvoor gradiënt = 0
Bereken de tweede partiële afgeleiden (#2-de afgeleide = #variabelen²)
Stel de Hessiaan matrix op voor 2 variabelen = H(x,y)
Vul al de kritische punten apart in en doe de determinant methode
Kijken of je situatie a, b, c of d uitkomt, d is wanneer je c uitkomt en de determinant = 0
!!voor elk kritisch punt de Hessiaan invullen en het antwoord classificeren
Voldoende voorwaarde:
Als f een gesloten eindig interval als domein heeft en als f continu is, dan heeft f
een globaal minimum en globaal maximum
Extrema in een beperkt domein
Algemene procedure
Rekening houden met de nodige en voldoende voorwaarden voor extrema (zie vorige pagina)
Zij f een continue functie gedefinieerd over een gesloten (begrensd) verzameling S, dan heeft f een globale
maximum- en minimumwaarde over S
Herhaling nodige voorwaarden voor extrema:
▪ Kritisch punt gradiënt = 0
▪ Singulier punt gradiënt bestaat niet
▪ Randpunt ligt op rand van domein
