Hoofdstuk 18
Meervoudige integratie
Indien je de onbepaalde integraal pakt van fx(x,y)dx, dan moet je erachter + C(y) schrijven want is ifv y
Als je de integraal van fx of fy pakt, kom je in beide gevallen uit op f(x,y)
Oppervlak
Stel je moet het oppervlak van een zwevende rechthoek in het xy-vlak gaan berekenen, is semester 1 zagen we
dat we dit adhv een verschil van enkelvoudige integralen konden doen
Oplossing = dubbele integraal
We kiezen bv x-waarden vast en laten dan de y-waarden variëren → dydx dxdy
De dubbele integraal zal een getal uitkomen
!!! een dubbele integraal hoort van buiten naar binnen opgesteld te worden en van binnen naar buiten
opgesteld te worden, ook altijd een schets maken! De d dat laatst staat bepaald de vaste grenzen
dydx = integratievolgorde, eerst over y, dan over x met de x-waarden vast gekozen dxdy
Moet zien welke integratievolgorde de eenvoudigste integraal oplevert
Hebt hier ook nog geen functies dus het argument is 1
Bepaal de oppervlakte ingesloten door ____
Belangrijk om eerst een tekening te maken en te visualiseren welk gebied je zal berekenen
Dan nadenken over welke grenzen je vast kiest en wat dan de grenzen van de variabele moeten zijn
Denk ook na over de grenzen en of je de integraal moet opsplitsen
Bij de tweede integraal moet je de functie dat het oppervlak langs boven begrenst op de plaats van b
schrijven in de integraal, de onderste bij a
Indien je y vast kiest en x variabel: dxdy, zal je voor de grenzen van dx moeten herschrijven naar x = g(y)
Wissel de integratie volgorde om van een gegeven dubbele integraal bv:
Je gaat dus van dxdy → dydx dus x kies je vast, y laat je variëren
Kies je x grenzen maar hier zie je dat je x van 0 – 2 gedefinieerd
wordt door x = y²/4 en van 0 – 4 door x = (y + 4)/2
dus je zal je x grenzen moeten opsplitsen
Voor de y grenzen moet je de functies herschrijven
opdat je y = ___ bekomt
, Volume
We krijgen nu ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 of ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Zal een volume ipv een oppervlak krijgen
Allemaal balkjes pakken en kijken naar de hoogte dat de balk bereik
Volume onder de grafiek f(x,y) wordt gegeven door:
Met R een gesloten en begrenst gebied in het xy-vlak
V = volume tussen R in het xy-vlak en de projectie van R op f(x,y)
= obv dwarsdoorsnedes met A(x) = oppervlakte van dwarsdoorsnede
= obv balken met dx en dy de breedte en lengte, f(x,y) de hoogte
Stelling van Fubini:
Als er op het examen gevraagd wordt
bereken deze enkelvoudige integraal
van een verschil, herschrijf als
dubbele integraal en pak de
argumenten als grenzen, probeer
dan de integratievolgorde eens om te
draaien, zal wrs makkelijker zijn
Zie extra VB
De grenzen zoeken is het moeilijkste aan de opgave, als je x of y hebt vastgelegd verder redeneren, van waar
tot waar mag y of x nu gaan, van welke waarde tot welke waarde? Of van welke rechte/kromme tot ___, niet
bezig houden met de hoogte maar met de figuur in het xy-vlak = R, de hoogte wordt door f(x,y) bepaald
VB 18.8!!
!!! voor de grenzen van x die variabel zijn: de functie die meest links ligt, ligt ‘onderaan’ dus moet op de
plaats van a komen, want x gedefinieerd door rechtse waarde – linkse waarde
Meervoudige integratie
Indien je de onbepaalde integraal pakt van fx(x,y)dx, dan moet je erachter + C(y) schrijven want is ifv y
Als je de integraal van fx of fy pakt, kom je in beide gevallen uit op f(x,y)
Oppervlak
Stel je moet het oppervlak van een zwevende rechthoek in het xy-vlak gaan berekenen, is semester 1 zagen we
dat we dit adhv een verschil van enkelvoudige integralen konden doen
Oplossing = dubbele integraal
We kiezen bv x-waarden vast en laten dan de y-waarden variëren → dydx dxdy
De dubbele integraal zal een getal uitkomen
!!! een dubbele integraal hoort van buiten naar binnen opgesteld te worden en van binnen naar buiten
opgesteld te worden, ook altijd een schets maken! De d dat laatst staat bepaald de vaste grenzen
dydx = integratievolgorde, eerst over y, dan over x met de x-waarden vast gekozen dxdy
Moet zien welke integratievolgorde de eenvoudigste integraal oplevert
Hebt hier ook nog geen functies dus het argument is 1
Bepaal de oppervlakte ingesloten door ____
Belangrijk om eerst een tekening te maken en te visualiseren welk gebied je zal berekenen
Dan nadenken over welke grenzen je vast kiest en wat dan de grenzen van de variabele moeten zijn
Denk ook na over de grenzen en of je de integraal moet opsplitsen
Bij de tweede integraal moet je de functie dat het oppervlak langs boven begrenst op de plaats van b
schrijven in de integraal, de onderste bij a
Indien je y vast kiest en x variabel: dxdy, zal je voor de grenzen van dx moeten herschrijven naar x = g(y)
Wissel de integratie volgorde om van een gegeven dubbele integraal bv:
Je gaat dus van dxdy → dydx dus x kies je vast, y laat je variëren
Kies je x grenzen maar hier zie je dat je x van 0 – 2 gedefinieerd
wordt door x = y²/4 en van 0 – 4 door x = (y + 4)/2
dus je zal je x grenzen moeten opsplitsen
Voor de y grenzen moet je de functies herschrijven
opdat je y = ___ bekomt
, Volume
We krijgen nu ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 of ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Zal een volume ipv een oppervlak krijgen
Allemaal balkjes pakken en kijken naar de hoogte dat de balk bereik
Volume onder de grafiek f(x,y) wordt gegeven door:
Met R een gesloten en begrenst gebied in het xy-vlak
V = volume tussen R in het xy-vlak en de projectie van R op f(x,y)
= obv dwarsdoorsnedes met A(x) = oppervlakte van dwarsdoorsnede
= obv balken met dx en dy de breedte en lengte, f(x,y) de hoogte
Stelling van Fubini:
Als er op het examen gevraagd wordt
bereken deze enkelvoudige integraal
van een verschil, herschrijf als
dubbele integraal en pak de
argumenten als grenzen, probeer
dan de integratievolgorde eens om te
draaien, zal wrs makkelijker zijn
Zie extra VB
De grenzen zoeken is het moeilijkste aan de opgave, als je x of y hebt vastgelegd verder redeneren, van waar
tot waar mag y of x nu gaan, van welke waarde tot welke waarde? Of van welke rechte/kromme tot ___, niet
bezig houden met de hoogte maar met de figuur in het xy-vlak = R, de hoogte wordt door f(x,y) bepaald
VB 18.8!!
!!! voor de grenzen van x die variabel zijn: de functie die meest links ligt, ligt ‘onderaan’ dus moet op de
plaats van a komen, want x gedefinieerd door rechtse waarde – linkse waarde
