Samenvatting trillingen & golven + volledig uitgewerkte examenvragen (theorie)

Alex Otten
H1
Massa-Veer

Fun
Fases i/e Oscillatie
Fr = -
k1X

E


j
v = 0 = 0 : x(0) = -

A
k
V(0)

-many
= 0


M
S


i
I
AX
Amplitude
t At
= :
x (1t) = 0




-am
Periode : T =
4 At [S] v (at) + 0 (inertie

Frequentie : 1/+ =
↑ (1/5] (H2]




A
Bewegingsugi veer :




t 21t x (21H A
ma
=
: =


+ x = 0
v(2At) = 0




Harmonische Trillingen
-
!
X(t) =
Acos(wt
↳
+ P)
2f
i A




imm
A(m] =


t =
31t : X (31t) = 0
w(rads] 2
= + =
V(31t) + 0
↑ (rad] G


+
x




o we
-y
7 j M
I

I
Amplitude
ti
t
Periode V (4At)
: x (4At) =



=
-




0
A




2π = 2 +
Valinbewegingsugl ~ -
-MWAcos(wt +) k ~
ACOS(wt +)

So
: + + .
+



V (t) = -

WASin (cot +
f) Mw? 0

↳ Afleidingen
= + k =
-




>
a(t) = -
w Acos(wt +
1) kennen !
= W =

k/m
Invloed faschoen W =
Natuurlijke Frequentie
x (0) = -
ACOS(f)




-
f


W
e
=
π


10 : A cosses -
>
-


Tegenfase
f = 0
,
2π
...




Energie ir HT
Arbeidnodig ofstand A
·

om Massa te verplaatsen




Jud =
,
W :
F = =
K A .
= W

O 2
m




Constante omzetting E PE




S
·
en



E X 2
+e
E =
Tot mu




Potentile
·
in System :
+ = c d
2 2
?
↳A
t(x) EnAcos(wt Sina(wt 1)
f)
-
=> = + + M +

2
~


E(x) = EKACOS (wt + 1) + ...
= E(x) =
EkA2 (COS (wt + 1) + sin
>
(w + +
e)]

, v(t) = -
AWSin(wt + e)

Energie ifv locatie Snelheid if afstand (e) :
Acos (t + 1) (= cos(we + e) =
Ex
E du du dx
· · 1/2A = .
() - WYOS(wt + f) = - Asin(0t + e)
dx de
Ep(x) =
1k .
x It


:I
Gcoscott
(OS(WE + )
=
W
= I
I ↑

Sin(wt +l)
I & I >x
1 -


x)
A
-

A
aanpassen integratie te
vergemankelijken
om :


?
1/2A


I Xacte
·
as
Eur =
Emuls Sv = I Wa .
a les Vale I Wa n-

1 -

xy
= Max Snelheid V( A)
V(A) 0

A >
= -
=
&
x I
A x
= )(te = 0
V(x) IVmax
.

= 1
-


/A2
-




Cirnelvormige beweging Pendulum

afstand cirnelboog tot evenwicht
=At o
t Vm che
A
T


.
=
W . = X :



VM 0 +f = wt + f l La x 1 0 = = .



e
=
Ct
t 8
Drijvende
=

Projectie
&
kracht Op
Cirkelboog
&




i
:
Projectie Op

.............
X-as :




.......
A
(e AcOs(wt mysino
-



C Xp =
+ e)
↳ tegengesteld
---




Xp
Periode rotatie : aan
uitwijning
Afstand 2A


!
voor kleine hoeken

= V =
A
= W A .


Bewegingsugl :
n .
a = m
N = -mysinoQ-90
?
dt
= w = = af


=
>T =
2
T 1 . O

dt2
-
= 90() do 0 = 0


W
lijkt zeer hard op die van veer


O(t) =
00(0t + 1)

- =
9/ =
Natuurlijne F


Gedempte Trilling
Op elhe
trilling demping
·




↑
aanwezig Invullen in bewegingsugl :
Vb
(U + jw) xXt) =(W E
·
. Schokdemper
JWSEXES
:
+ = + =

S

↓
O
im
I :
-b v
0 + 2jw0 +
2jw2 +
bm8 bmjw + + 1
m
= 0



,
.



.- · emper

↳ dempings che deel
, - - >
Imaginair
-

:
0
T
-
-- /I/
3m
,
O
b mjw
-
---
2
2jw)
=
0 = 0
-
Vloeist of + = -




M
-

- . 0

- Reel deel
Bewegingsugl : :



.* 5
=
m a Freer + Edemper
.
= = -
xx -
b j 22 + + =
M

m .

+ b .




q x (- ) - 2 -




am
b b
M
+
n = 0




)b-
(=
22
b
C12 x ↓ dx
Y = =
-
-


+ +
+ = 0
2m2
·




>
dt mat


Eulers formule : ejt =
cost +
jsinf
(ejt 18) = ( w =
1 -b
jw)t je
Algmene Opi : (t) = A e(U + +




ReGX() A cos(wt 4)
Waarbij
+
x(t) = =
!
Algemen
.




OPI : m
X(E) = Al cos(wt + 4)
rece
.




dee

, ·

Ondergedempt system : b 4mn ·
kritisch gedempt Sys : =
4MU
x 1 X 1 >
-
Nieteens 1 Oscillatie




I
Ongedempt exponentile functie




g
...........
j &




-
-
- -
--



Gedempte trilling
-




t St
. . . . a -




. - --
.




. . ..
-
-



.
-
. & ↑




·
overgedemt system : b mu
X




t



Gedwongen Oscillatie
Externe macht
-
x = 0
-




-
>
-
System tritt met F van deze kracht
U

F Fo cos(wt)
↑
= .




M
- i



Bewegingsugl : (voor ongedempt Sys : b = 0 Stellen


m . +
b + ux = Fo 20S(CE)


·
Algemeine O voor de
bewegingsugl is :
() = +je er F =
Fo . we
Invullen in V91
·
:


tane
tanenerg
E
jwt jt
ejt Formule Sine= Sint
dE
+
jwt =

=
:
=
Ajw e =
Ajwe .

1 + tan
> invullen in imaginair deel
-
:




d Ajwjwejwt
jf
Awejwt ej)
+
= = -
.




bAw =
- Fotant Es bab
~ =
Fo .

(wal
1 + tanzpi (n mw4)2 + 22b2
- ejt
Asejwt t
est A-
ejwteit jut
-
-




-
m . .
+ b .

Ajw . + u .
-
=
Fo .
C
-
2
(n mwz) -




(k mwz)Aej
-

+ jbAwest = Fo Fo
Fo

, we
j
(k mw)A +
jbtw = Fo e > A =




wa
- .




A
/
(S =


(n mw)t jbAw FoCOSt-jfoSinf e

(wo- when
-
+ =

L ,




E
Imaginair : baw =
-JFosin S bAw = -Fosinf Natuurlijne :
Wo =

Am
Fo
Reel (n-mw)A Focosf
↳
: =
m
>
-
Ongedempt : b = 0 =
A =




Delen door elkaar : (w8 -
(2)
bAc -Eosinf -Cub M




I
= (= ) tanf =
A I


(x MW2) A Fo Cost
? I
-
n -Mw



Ongedempt
Fo
T
-


I Gedempt
w
↑
wo

,

,H3-Golven
·
Longitudinale en transversale

De
golfvergelijking
or#
·
- ds &
- ...
↑
~


Klein stukje dy

e
V

Elementair
-
------
. . . .-

L
dx

↳
>
-




Fe
-
Is

Y dm P Ads
-
= .




C
X




Wet Newton in -richting
.




I A)
Free fe zijn gevolg I spanning ill touw dus Fo Fe
If y
o =
=
day ,




Frsinar-Fesinae = P Ads
.
.


Ay
=> verplaatsing mogelijk Omdat r Xe

A(Sinar-sinxe) =
PAdsay
↓ e en
r zijn
Y
zeer klein
Ruimtelijke Analyse
>
-
Sind = = tanx
-Y
dX
t= t1
- ds = dx

u
·
(x
Y(x1 (1)
,
=
YmSin(kx + +1)
·
(l-Ele) =
Pdx .




62xxl 1 x
v


(Ele-Ele)
=
-At
·
62y(x x) tj t1 + At
=

= p .
,




~
:
dx 6t
( x
Y(Xc tz)
,
=
YmSin(ux + Py

5 .
8y(x , t)
= p .
62y(x t) ,
= (m) = V
6x2 6t

· e ( = ) golf verplaatst naar rechts
6y(x t) 62y(x t)
v2 ,
,
=
golf
=
verplaatst links
.
·
naar
6x2 6t

1D-Golfvergelijking Snelheid bepalen door
kan je oon een max . te volgen :

- voorplantingssnelheid V p
is =
afkankelijk V
- (MIW) : Len RLafleiden

eigenschappen In medium (snaar in dit gevall
=
(4xM1 07 +
1) = 0




Harmonische Golven =
= 0 =
= V


Y(x t) Ym ,
=


Sin(k + we + 1)
.
-




I
L

↳ amplitude ↳ afh van locatie
+ W =
Negative Snelheid= linkslopende golf
. en
tijd
Golfugi 6 . JY Wt= Positive SnelheidRechtslopende golf
-

>
-
:
1
=
3
2x
>
12 6t


geeft 8 1 1G If
=
Invullen :
= :




7 Ymwsin(nx 1)
2
* m
-
k Sin(kx = 27 + f) = ↑
- - = wz +




v = = v =
n



Tijdsdomein Analyse
zijnfaschoen
samen een

fr
1 Y - P
Y(xe , 1) =
YmSin (x11 wt + f)
-




p
-




(
=
YmSin(t at + (1)
X

Yz(x2 t) ,
= YmSin(t wt + (c)

43(x3 t) YmSin( = w+ fal
(d) -golfgetal +
=
,



>
Fasverschiving afh Van locatie
-

.




Def "In fase" . :



Oscillatie in Fase
zijn
XGπ
·


als 2 Punten it apart 2π
= k + su =


Golf in Fase ↓
Golflegte apart
·
2 Punten 1
als zijn

,Superpositie
·
Twee golven optellen kan als y(x t) ,
= Y .
(x t) ,
+ ↑ c(x , +)
aan de golfugl. Voldoet

G(Yes 12(yay
1 Gy(x
>
22y(x t) , ,
t
=
-

= -



bx GEE 2x2 va 2t

(7) by + 6246 16 + 16 Ye voldoet
+
=


12
I
=

Y is oon een golf
2x2 Gx 2t3 vot Y voldoet


Reflectie + Transmissio
>
-

die Electromagnetische golven


Interferentie
Y

Y, (x , t) YmSin(kx 1 wt) Destructive interferentie as COS() 0




USSS-COSCE
:
Y1 = =
Y2


-
- f
Yz(x , t) 1π
(x
=
YmSin(kx = t + 1) =
,
13π
,
15
,
...



1
((
Yc(x t) ?
en
Y(x , t) Y(x
~
-
=
,
t) + ,




Constructive interferentie als cos(2) = 1
-
Y(x t) ,
=
24m(OS(y) sin(nx
-
+ wt + (j) f = 0 12π 14,




U
E
...

E , ,


Amplitude is zelfde u




M
F(t) en -




Staande Golven
·
Interferentie vle rechtslopende en linkslopende golf
Y(x , t) =
YmSin(hx -
20t) + YmSin(nx + Wt) vb .
n = 1 = u
=
= Sin (x) COS (WE) en n =
2π(= + = 2L
n = 3 = n =
3 = x =
8
+
A(x)



E.E
- (
> =
L F
E
/
~ * Randvoorwaarden : -
A(X) ~
3V
L
M ~
-
-
1

~

T .........
-




Y(0 , t) V 2h

%
- = 0 -
SinO = o


· -
- -
- Y(( , 7) = 0 -



Sin(UL) =
Or Derde Harmonische
↑ =
-
Fundamentele
of eerste harmonische
mode
- kL
- = =
π ; n = 1
,
2,3
, ...
X = 0 x = L
n =
2 = n =
2 = )
x = n = 4 = u =

41 = x =
Mπ L
= S k =

- (




E.
L
E
.
L
=
M
&



=
- -

Energietransport
-


Tweede Harmonische Vierde Harmonische

--- - / , // / - ////y




num
&
-




Energie in Controle volume in
tijdsinterval dt ? Intensiteit is
vermogen per Oppervlau :




dx = vdt = dE =

1A" Emw = W =
m =
E = - geeft Sternte golf weer


d
w =
2πf = dE =
1 =E = 2A
voor serische golven geldt volgende vereenvoudiging :


(dm =
p d . = p . S .
dx) -

M
7 P M

=> de = 2π p Sdx .
.
F ? As R
I =

4πR2W 4 πRC
S · C
=
2πPSVCFAd
L V

↳ V

Vermon =E = SVft e

, Geluid
Drungolf
·




Hoe genereren geluid ?
·
we


-
veronderstel buis gevuld met lucht en aan

het uiteinde een zuiger . Er heerst een dichtheida

en drau Po 5 is dwarsoppervlaute Om een
.
zuiger .
druugolf te genereren moeten we de
zuiger met

Zeuere Snelheid v'verplaatsen .




i
-
-
ne
afgelegd
-
- Het gecomprimeerde heeft afstand de grens
- Stau
- V t en

-Vo -
.




V - P Po
(Vv). Door drungolf


·
beweegt
.




- met Snelheid wordt het volume
-- v




t
Samengedruut en de drun wordt Pot AP .




-
- V voorplantingssnelheid golf het volume zelf
beweegt v
- E
vi
Y
=
maar met
( ~ P
..
---
-
- Po + AP /E
(
Pos
S S
V E .




Stoot die gegeven wordt al gecomprimeerde Volume




~
:

· Vo =
S .
v .. Stoot = Fnet -
t =
1m .
v -
o = PSvtv' = APSE

· AV = -
S V E.
.


# P = .v .
v
'

(behoud impuls)
ed
(Neg .
omdat vol .

verandering neg
.
· kracht nodig om vol . lucht te comprimeren :



= = (Po + 1P)S -
PoS =
AP S
ne+
.




Of
AP
Compressiemodulus B invullen
e
· : =

1
AV
B = B = P. F

(Bulk modulus) No -




·
Vb .




Lucht
°

20 C 343m/S
(v
:
= x .

f)
Helium : 1005 MIS


Water : 1440 m/s (Hoge compressiemodulus

Staal : 5000m/S weinig samendrunbaar)

Temperatuursafhankelijkheid
=> : Lucht = 331 + O, GT (o) mis



Wiskundige Beschrijving


Lagearum
Hoge drun


Geluid =
Longitudinale drungolf
: : I


Un i
-
: . .
p
~D Als golf Passert :




Ap = -B
. AP =
-B -




&D Geeft drun weer die en n


S .
AD
geluidsgolf genereert
B
=
.
-




S -
1x


·
D Asin (x1 (t) Relatie Men
&
DisSin P is
~
=
Op




3
: cos




Verpa
,



invullen 1P =
-

B AUCOS (4x . = wt) dus bij een opgelegde verplaatsing krijg je een

P
>
Ancos (n x = wt) drun die /2 verder light
=
v
- .




= -
Pj A2πf cos(kx = wt)

AP = -

PyA2πf COS(ux + wt)
I ,


= amplitude
=
APmax