Samenvatting statistiek 2

Statistiek 2
1 Het schatten van populatieparameters
1.1 Populatieparameters schatten
“Gemiddeld zetten ouders 72 euro per kind per maand opzij....Anderzijds geeft 20 procent van de Bel-
gen aan helemaal niets te kunnen sparen voor hun kinderen. (Bron: Deredactie.be 7 mei 2015)”

 Uitspraak over een gemiddelde en een proportie (20%) voor de ganse populatie (Belgische
gezinnen met kinderen)
 Gebaseerd op een steekproef  in totaal zijn 1000 Belgische ouders tussen 35 en 54 jaar on-
dervraagd

Aantal populatieparameters (Griekse letters want het gaat over de populatie):

 Populatiegemiddelde µ (vb. gemiddelde dikte plastic folie)
 Populatievariantie σ2 (vb. variantie dikte plastic folie)
 Populatieproportie π (vb. percentage pc-bankierders)
o In de praktijk zelden of nooit gekend
o Doel: uitspraken doen over onbekende populatieparameters
o Hoe? Steekproefgegevens verzamelen  populatieparameters schatten

1.2 Schatting?
 Schatting van de onbekende populatieparameter zal een functie zijn van de verzamelde
steekproefgegevens x1,x2,...,xn
 Steekproefgemiddelde




o Vb. gemiddeld 72 euro per maand per kind
o Xi: aantal euro per maand per kind gespaard door ouder i in de SP
o Kleine n = grootte steekproef
 Steekproefvariantie




 Steekproefproportie




o Waarbij xi = 1 indien succes
o Waarbij xi = 0 indien faling
 Vb. 20% kan niet sparen (succes = niet sparen  1)
 Xi = 1 indien ouder i niet kan sparen
 Xi = 0 indien ouder i wel kan sparen

1

,1.3 Schatting vs. schatter
 Concrete steekproef x1,x2,...,xn  kleine letter
 Bijhorend steekproefgemiddelde 𝑥̅ is een schatting (= reëel getal)  kleine letters voor con-
crete schatting
 Elke onderzoeker bekomt andere steekproefgegevens
 Reden: trekken van steekproef, verzamelen van steekproefgegevens = kansexperiment

ALGEMEEN:

 Steekproefwaarnemingen X1,X2,...,Xn
 Steekproefgemiddelde 𝑥̅ is schatter (waarde nog niet bekend). We hebben de gegevens nog
niet verzameld

Zijn kansvariabelen met

 Een verwachte waarde
 Een variantie
 Een kansverdeling of -dichtheid
o  gebruik hoofdletters voor schatters

VOORBEELD:

 “onbekend” proces = gooien van dobbelsteen
o Xi = aantal ogen gegooid (uniform verdeeld met k = 6)  µ = (k +1)/2 = 3,5
 1000 onderzoekers
 Elk 5 waarnemingen
 Doel: centrale ligging schatten
o (bekend) populatiegemiddelde µ = 3.5
o (bekend) populatiemediaan γ0.5 = 3.5
 Hoe?
o Steekproefgemiddelde 𝑋
o Steekproefmediaan Me
 zie JMP file dobbelsteen.jmp
 wat zien we?
o Gemiddelde van steekproefgemiddelden ≈ µ = 3.5
o Gemiddelde van steekproefmedianen ≈ µ = 3.5
 Steeproefgemiddelde en steekproefmediaan zijn zuivere of onvertekende schatters (dit be-
tekend dat de schattingen rond de populatieparameters moeten liggen)

1.4 Criteria voor schatters
Zuivere schatter
Definitie: als θ (notatie) een schatter is van de onbekende populatieparameter θ en E(θ) = θ, dan is θ
een zuivere of onvertekende schatter.

 Vb: E(𝑋) = µ



2

,  De vertekening van een schatter V(θ) = E θ − θ met E θ de verwachtingswaarde van de
schatter en θ de populatieparameter (= hoe onzuiver is de schatter)
 Zuiver betekent dat de schattingen rond de werkelijkheid liggen, onzuiver is als ze niet in de
buurt van de werkelijkheid liggen

Efficiënte schatter
 Wat zien we nog?
 Steekproefgemiddelde zit vaakst in de buurt van 3.5
 Steekproefmediaan zit er soms serieus naast
 Gevolg: steekproefgemiddelde heeft kleinere variantie dan steekproefmediaan
 Met andere woorden: steekproefgemiddelde biedt preciezere informatie over centrale lig-
ging dan steekproefmediaan
 Daarom: 𝑋 is een efficiëntere schatter dan Me

1.5 Gemiddelde gekwadrateerde afwijking (GGA)
 Keuze tussen vertekende efficiënte schatter en onvertekende inefficiënte schatter
 Kies schatter die minimaliseert



1.6 Steekproefschatters in detail
 Steekproefgemiddelde, steekproefvariantie en steekproefproportie = kansvariabelen
 Per schatter kijken naar verwachte waarde, variantie, verdeling

Steekproefgemiddelde 𝑋




 Onvertekende schatter van µ

 BEWIJS (rekenregel verwachtings-
waarde van lineaire combinatie = line-
aire combinatie van verwachtingswaarde



 schatter wordt efficiënter
naarmate steekproef groter
wordt

 formule variantie statistiek
1. Covariantie valt weg want
resultaten er onafhankelijk uit-
halen

 Meest precieze lineaire onvertekende schatter (best linear unbiased estimater, BLUE)



3

, 1.6.1.1 Kansverdeling 𝑋
 Geval 1: normaal verdeelde populatie




 lineaire combinatie van normaal verdeelde
kansvariabelen is ook normaal verdeeld

 Geval 2: niet-normaal verdeelde populatie (vb. uniform, exponentieel, binomiaal)


o Kleine steekproeven: geen algemeen antwoord
o Grote steekproeven:


(zie statistiek 1)
o Wanneer is de steekproef groot genoeg?
 Afhankelijk van oorspronkelijke kansverdeling of kansdichtheid
 n ≥ 30 is meestal voldoende

Steekproefproportie 𝑃
 Schatter van de populatieproportie π
 𝑃 = aantal successen in steekproef gedeeld door n





 π is de succeskans

 𝑃 is speciaal geval van steekproefgemiddelde 𝑋


1.6.2.1 Kansverdeling of -dichtheid 𝑃
 n groot: centrale limietstelling bij grote n
 aantal successen groter dan 5
 aantal mislukkingen groter dan 5




 n klein: gebruik binomiale kansverdeling. Aantal successen in SP met grootte n ∼ bin(n,π)

VOORBEELDEN




4