Inhoudsopgave
1 Kansrekening ....................................................................................................................... 2
1.1 Toevalsexperiment, uitkomstenruimte, gebeurtenis ............................................................ 2
1.1.1 Toevalsexperiment ....................................................................................................... 2
1.1.2 Uitkomstenruimte......................................................................................................... 2
1.1.3 Gebeurtenis .................................................................................................................. 2
1.2 Experimentele kans ............................................................................................................... 2
1.3 Uniforme kansen ................................................................................................................... 3
1.3.1 Een eindig aantal uitkomsten ....................................................................................... 3
1.3.2 Oneindig veel uitkomsten ............................................................................................. 3
1.4 Algemene basisregels voor kansen ....................................................................................... 4
2 Toevalsvariabelen ................................................................................................................ 4
2.1 Het begrip toevalsvariabele................................................................................................... 4
2.1.1 Discrete toevalsvariabelen - kansfunctie ...................................................................... 4
2.1.2 Continue toevalsvariabelen - kansdichtheid................................................................. 5
2.2 Kengetallen van een toevalsvariabele ................................................................................... 5
2.2.1 Verwachtingswaarde .................................................................................................... 5
2.2.2 Variantie en standaardafwijking ................................................................................... 6
2.2.3 Lineaire transformatie .................................................................................................. 6
2.3 Normale verdeling ................................................................................................................. 6
2.3.1 Kansdichtheid en grafieken .......................................................................................... 6
2.3.2 De standaardnormale verdeling ................................................................................... 7
2.3.4 Normaal-kwantiel-diagrammen.................................................................................... 8
2.4 De binomiale verdeling.......................................................................................................... 8
2.4.1 Bernoulli-experiment .................................................................................................... 8
2.4.2 De binomiale verdeling ................................................................................................. 9
3 Sommen van onafhankelijke toevalsvariabele .................................................................... 11
3.1 Onafhankelijkheid en correlatie .......................................................................................... 11
3.2 Verwachtingswaarde en variantie ....................................................................................... 12
3.3 Verdeling van sommen van onafhankelijke toevalsvariabelen ........................................... 12
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 1 van 13
, DEEL 2: Kansrekenen en toevalsvariabelen
1 Kansrekening
1.1 Toevalsexperiment, uitkomstenruimte, gebeurtenis
1.1.1 Toevalsexperiment
- Een toevalsexperiment is een experiment waarvan de uitkomst bepaald wordt door het toeval,
waarvan de uitkomst op voorhand niet met zekerheid gekend is
bv. een muntstuk of dobbelsteen opgooien, kansspelen (Lotto), eindresultaat v/e willekeurige student
1.1.2 Uitkomstenruimte
- De uitkomstenruimte is de verzameling van alle (theoretisch) mogelijke uitkomsten van een
toevalsexperiment
Notatie: Ω = omega, het universum
bv. dobbelsteen opgooien: Ω = {1,2,3,4,5,6}, muntstuk opgooien Ω = {K, M}
1.1.3 Gebeurtenis
- Een gebeurtenis is een deelverzameling van een uitkomstenverzameling
Notatie: A, B, C …
bv. dobbelsteen opgooien: E = {2,4,6}
- Enkele speciale gebeurtenissen:
• 𝜙 = phi = de lege gebeurtenis = de “onmogelijke” gebeurtenis
een gebeurtenis die nooit optreedt
bv. “De uitkomst van een worp met een dobbelsteen is groter dan 7” stemt overeen met 𝜙
• Ω = de uitkomstenverzameling zelf = de “zekere” gebeurtenis
een gebeurtenis die met zekerheid optreedt
- De verzameling van alle gebeurtenissen bij een toevalsexperiment wordt genoteerd met G (“ronde g”)
bv. Opgooien met een muntstuk ⇒ Ω = {K, M}
G = {∅; {K}, {M}, {K, M}}
1.2 Experimentele kans
- De kans op munt is 0,5
de relatieve frequentie op lange termijn
- Kans is een toevalsexperiment oneindig keer herhalen
een relatieve frequentie na oneindig veel
herhalingen
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 2 van 13
,1.3 Uniforme kansen
1.3.1 Een eindig aantal uitkomsten
- Uni- form = één van vorm = allemaal hetzelfde = allemaal dezelfde kans
bv. een eerlijke dobbelsteen -> elk element heeft dezelfde kans namelijk 1/6
- De kansdefinitie van Laplace is een methode die uit gaat van een toevalsexperiment waarbij er een
eindig aantal uitkomsten zijn, die alle even waarschijnlijk zijn
#A aantal gunstige uitkomsten
𝑃(𝐴) = #Ω = aantal mogelijke uitkomsten
#{2,3,4,5,6} 5
bv. P (minsten 2 ogen gooit met een eerlijke dobbelsteen) = =
#Ω 6
1
GEVOLG: de kans op 1 bepaalde uitkomst = n en is voor alle uitkomsten hetzelfde
- Telregels:
a. Hoeveel verschillende codes zijn er voor een bankkaart?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
mogelijkheden: 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000
b. Hoeveel codes zijn er waarvan alle cijfers verschillend zijn?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
10! 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
mogelijkheden: 10 x 9 x 8 x 7 = = ! = faculteit
6! 6×5×4×3×2×1
c. Hoeveel codes zijn er waarin de cijfers 1, 3, 5 en 8 juist 1 maal voorkomen?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
mogelijkheden: 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 ⇒ aantal volgorders of aantal permutaties
d. Hoeveel codes zijn er met 4 verschillende cijfers maar waarbij de volgorde geen rol meer speelt?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
10!
mogelijkheden: 10 x 9 x 8 x 7 = = (10
4
) = 210 ⇒ combinaties
6!4!
- 𝒏-faculteit is het aantal mogelijke verschillende volgordes van 𝑛 elementen
= aantal permutaties van 𝑛 elementen
Notatie: 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 2 × 1
Verder is bij definitie 0! = 1
- Het aantal mogelijke manieren om uit een verzameling met 𝑛 verschillende elementen er 𝑘 te
selecteren, waarbij herhaling niet mogelijk is en de volgorde niet belangrijk is
𝑛!
Notatie: (𝑛𝑘) = (uit een verzameling van 𝑛 elementen, worden er 𝑘 gekozen)
𝑘!(𝑛−𝑘)!
We noemen (𝑛𝑘) het aantal combinaties van 𝑘 uit 𝑛
1.3.2 Oneindig veel uitkomsten
- Bij oneindig veel uitkomsten werkt de definitie van Laplace niet meer
andere kansdefinitie nodig
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 3 van 13
, - Kansdefinitie: de kans op een gebeurtenis 𝐴 is gelijk aan
oppervlakte van 𝐴
𝑃(𝐴) =
totale oppervlakte van Ω
1.4 Algemene basisregels voor kansen
- Axioma’s van Kolmogorow (1933): als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn van Ω dan moet een
kansdefinitie minimaal voldoen aan
1. voor elke gebeurtenis 𝐴 is 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
een kans ligt altijd tussen 𝟎 en 𝟏
2. 𝑃(Ω) = 1
3. De somregel: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
4. De complementregel: 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
met 𝐴̅ = alle elementen van Ω die niet in 𝐴 gelegen zijn
- Enkele gevolgen:
• 𝑃(𝜙) = 1 − 𝑃(𝜙) = 1 − 𝑃(Ω) = 1 − 1 = 0
• Als 𝐴 en 𝐵 disjunct1 zijn, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dan is 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
• Als 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )
2 Toevalsvariabelen
2.1 Het begrip toevalsvariabele
- Een toevalsvariabele is een variabele (of functie) die numerieke waarden aanneemt die bepaald
worden door het toeval
Notatie: 𝑋, 𝑌, 𝑍 …
2.1.1 Discrete toevalsvariabelen - kansfunctie
- Een discrete toevalsvariabele (dtv) is een toevalsvariabele met een eindig of aftelbaar oneindig
aantal beeldpunten
VOORBEELD:
𝑆 = het maximum van het aantal ogen als 2 eerlijke dobbelstenen opgegooid worden
• Het beeld van 𝑆 = {2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
het beeld van 𝑆 zijn reële getallen
• Kansen kunnen enkel berekend worden van Ω
1
als de doorsnede leeg is, als ze niets gemeenschappelijk hebben
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 4 van 13
1 Kansrekening ....................................................................................................................... 2
1.1 Toevalsexperiment, uitkomstenruimte, gebeurtenis ............................................................ 2
1.1.1 Toevalsexperiment ....................................................................................................... 2
1.1.2 Uitkomstenruimte......................................................................................................... 2
1.1.3 Gebeurtenis .................................................................................................................. 2
1.2 Experimentele kans ............................................................................................................... 2
1.3 Uniforme kansen ................................................................................................................... 3
1.3.1 Een eindig aantal uitkomsten ....................................................................................... 3
1.3.2 Oneindig veel uitkomsten ............................................................................................. 3
1.4 Algemene basisregels voor kansen ....................................................................................... 4
2 Toevalsvariabelen ................................................................................................................ 4
2.1 Het begrip toevalsvariabele................................................................................................... 4
2.1.1 Discrete toevalsvariabelen - kansfunctie ...................................................................... 4
2.1.2 Continue toevalsvariabelen - kansdichtheid................................................................. 5
2.2 Kengetallen van een toevalsvariabele ................................................................................... 5
2.2.1 Verwachtingswaarde .................................................................................................... 5
2.2.2 Variantie en standaardafwijking ................................................................................... 6
2.2.3 Lineaire transformatie .................................................................................................. 6
2.3 Normale verdeling ................................................................................................................. 6
2.3.1 Kansdichtheid en grafieken .......................................................................................... 6
2.3.2 De standaardnormale verdeling ................................................................................... 7
2.3.4 Normaal-kwantiel-diagrammen.................................................................................... 8
2.4 De binomiale verdeling.......................................................................................................... 8
2.4.1 Bernoulli-experiment .................................................................................................... 8
2.4.2 De binomiale verdeling ................................................................................................. 9
3 Sommen van onafhankelijke toevalsvariabele .................................................................... 11
3.1 Onafhankelijkheid en correlatie .......................................................................................... 11
3.2 Verwachtingswaarde en variantie ....................................................................................... 12
3.3 Verdeling van sommen van onafhankelijke toevalsvariabelen ........................................... 12
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 1 van 13
, DEEL 2: Kansrekenen en toevalsvariabelen
1 Kansrekening
1.1 Toevalsexperiment, uitkomstenruimte, gebeurtenis
1.1.1 Toevalsexperiment
- Een toevalsexperiment is een experiment waarvan de uitkomst bepaald wordt door het toeval,
waarvan de uitkomst op voorhand niet met zekerheid gekend is
bv. een muntstuk of dobbelsteen opgooien, kansspelen (Lotto), eindresultaat v/e willekeurige student
1.1.2 Uitkomstenruimte
- De uitkomstenruimte is de verzameling van alle (theoretisch) mogelijke uitkomsten van een
toevalsexperiment
Notatie: Ω = omega, het universum
bv. dobbelsteen opgooien: Ω = {1,2,3,4,5,6}, muntstuk opgooien Ω = {K, M}
1.1.3 Gebeurtenis
- Een gebeurtenis is een deelverzameling van een uitkomstenverzameling
Notatie: A, B, C …
bv. dobbelsteen opgooien: E = {2,4,6}
- Enkele speciale gebeurtenissen:
• 𝜙 = phi = de lege gebeurtenis = de “onmogelijke” gebeurtenis
een gebeurtenis die nooit optreedt
bv. “De uitkomst van een worp met een dobbelsteen is groter dan 7” stemt overeen met 𝜙
• Ω = de uitkomstenverzameling zelf = de “zekere” gebeurtenis
een gebeurtenis die met zekerheid optreedt
- De verzameling van alle gebeurtenissen bij een toevalsexperiment wordt genoteerd met G (“ronde g”)
bv. Opgooien met een muntstuk ⇒ Ω = {K, M}
G = {∅; {K}, {M}, {K, M}}
1.2 Experimentele kans
- De kans op munt is 0,5
de relatieve frequentie op lange termijn
- Kans is een toevalsexperiment oneindig keer herhalen
een relatieve frequentie na oneindig veel
herhalingen
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 2 van 13
,1.3 Uniforme kansen
1.3.1 Een eindig aantal uitkomsten
- Uni- form = één van vorm = allemaal hetzelfde = allemaal dezelfde kans
bv. een eerlijke dobbelsteen -> elk element heeft dezelfde kans namelijk 1/6
- De kansdefinitie van Laplace is een methode die uit gaat van een toevalsexperiment waarbij er een
eindig aantal uitkomsten zijn, die alle even waarschijnlijk zijn
#A aantal gunstige uitkomsten
𝑃(𝐴) = #Ω = aantal mogelijke uitkomsten
#{2,3,4,5,6} 5
bv. P (minsten 2 ogen gooit met een eerlijke dobbelsteen) = =
#Ω 6
1
GEVOLG: de kans op 1 bepaalde uitkomst = n en is voor alle uitkomsten hetzelfde
- Telregels:
a. Hoeveel verschillende codes zijn er voor een bankkaart?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
mogelijkheden: 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000
b. Hoeveel codes zijn er waarvan alle cijfers verschillend zijn?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
10! 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
mogelijkheden: 10 x 9 x 8 x 7 = = ! = faculteit
6! 6×5×4×3×2×1
c. Hoeveel codes zijn er waarin de cijfers 1, 3, 5 en 8 juist 1 maal voorkomen?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
mogelijkheden: 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 ⇒ aantal volgorders of aantal permutaties
d. Hoeveel codes zijn er met 4 verschillende cijfers maar waarbij de volgorde geen rol meer speelt?
Bankcode: ∙ ∙ ∙ ∙
10!
mogelijkheden: 10 x 9 x 8 x 7 = = (10
4
) = 210 ⇒ combinaties
6!4!
- 𝒏-faculteit is het aantal mogelijke verschillende volgordes van 𝑛 elementen
= aantal permutaties van 𝑛 elementen
Notatie: 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 2 × 1
Verder is bij definitie 0! = 1
- Het aantal mogelijke manieren om uit een verzameling met 𝑛 verschillende elementen er 𝑘 te
selecteren, waarbij herhaling niet mogelijk is en de volgorde niet belangrijk is
𝑛!
Notatie: (𝑛𝑘) = (uit een verzameling van 𝑛 elementen, worden er 𝑘 gekozen)
𝑘!(𝑛−𝑘)!
We noemen (𝑛𝑘) het aantal combinaties van 𝑘 uit 𝑛
1.3.2 Oneindig veel uitkomsten
- Bij oneindig veel uitkomsten werkt de definitie van Laplace niet meer
andere kansdefinitie nodig
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 3 van 13
, - Kansdefinitie: de kans op een gebeurtenis 𝐴 is gelijk aan
oppervlakte van 𝐴
𝑃(𝐴) =
totale oppervlakte van Ω
1.4 Algemene basisregels voor kansen
- Axioma’s van Kolmogorow (1933): als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn van Ω dan moet een
kansdefinitie minimaal voldoen aan
1. voor elke gebeurtenis 𝐴 is 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
een kans ligt altijd tussen 𝟎 en 𝟏
2. 𝑃(Ω) = 1
3. De somregel: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
4. De complementregel: 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
met 𝐴̅ = alle elementen van Ω die niet in 𝐴 gelegen zijn
- Enkele gevolgen:
• 𝑃(𝜙) = 1 − 𝑃(𝜙) = 1 − 𝑃(Ω) = 1 − 1 = 0
• Als 𝐴 en 𝐵 disjunct1 zijn, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dan is 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
• Als 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )
2 Toevalsvariabelen
2.1 Het begrip toevalsvariabele
- Een toevalsvariabele is een variabele (of functie) die numerieke waarden aanneemt die bepaald
worden door het toeval
Notatie: 𝑋, 𝑌, 𝑍 …
2.1.1 Discrete toevalsvariabelen - kansfunctie
- Een discrete toevalsvariabele (dtv) is een toevalsvariabele met een eindig of aftelbaar oneindig
aantal beeldpunten
VOORBEELD:
𝑆 = het maximum van het aantal ogen als 2 eerlijke dobbelstenen opgegooid worden
• Het beeld van 𝑆 = {2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
het beeld van 𝑆 zijn reële getallen
• Kansen kunnen enkel berekend worden van Ω
1
als de doorsnede leeg is, als ze niets gemeenschappelijk hebben
DEEL 2: KANSREKENEN EN TOEVALSVARIABELEN 4 van 13
