Cálculo II - Integrales triples, ejercicios muestra
Del libro: Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cálculo 2 de varias variables. 9ª edición. McGraw-Hill, 2010
Sección 14.6
Dar una integral triple para el volumen del sólido.
17. El sólido que está en el interior común bajo la esfera x 2
+ y 2
+ z 2
= 80 y sobre el paraboloide
z x y .
=
1
2
2
+
2
Se emplea el orden dzdydx. Se tiene que para cada variable los intervalos son:
1
2
x 2
+ y 2
⩽ z ⩽ 80 -y -x
2 2
- z- x 2
2
⩽ y⩽ 2 z- x 2
- 4 ⩽ x ⩽ 4
La intersección entre las superficies es la circunferencia x 2
+ y 2
= 16 , por lo que el intervalo de y puede
cambiarse a
- 16 -x 2
⩽ y⩽ 16 -x 2
,
esto con el propósito de no introducir nuevamente la variable z, que ya habrá sido integrada.
Así la integral que describe el volumen del sólido es
-x -x -y
z
4 2 2 2
16 80
V ∫ ∫ d dydx
=
- -
4 16 -x ∫2 1
2
x 2
+y 2
Usar una integral triple para encontrar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las
ecuaciones.
25. z - y z - y x
= 2 , = 4 x y 2
, = 0, = 3, = 0
, Con la figura se pueden deducir los límites de integración en el orden dzdxdy:
2 -y z ⩽ ⩽ 4 -y 2
0 ⩽ x ⩽ 3 0 ⩽ y⩽ 2
El intervalo de y fue hallado con las intersecciones de la superficie cilíndrica con el plano z = 2 - y:
-y -y 2
y 2
-y y 2
-y- y - y + 1) =
-
2 = 4 ⟹ = 2 ⟹ 2 = ( 2)( 0
y 1 = 2 y 2 = 1
Estableciendo y resolviendo la integral:
-y
-y dzdxdy -y - -y -y
2
2 3 4 2 3 2
V = ∫ ∫ ∫
2
= ∫ ∫ 4
2
+ y 2 dxdy = ∫ 2
2
( 3) dy
0 0 0 0 0
V = 3 2 y - 1
y 3
+
1
y 2
2
= 3 4 - 8
+2 = 3 6 - 8
= 3
18 - 8
3 2 0 3 3 3
V = 10 u 3
Sección 14.7
Dibujar la región sólida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral
iterada.
-r
1 z
2
2𝜋 5
5
0. ∫ ∫ ∫ rd drd𝜃
0 0 0
Se tiene que 0 ⩽ z ⩽ 5 -r 2
0 ⩽ r ⩽ 5 0 ⩽ 𝜃 ⩽ 2𝜋
De la desigualdad con z: z = 0, z = 5 -r 2
= 5 - x 2
+ y 2
son las superficies que limitan a z.
Cuando z : = 0
0 = 5 - x 2
+ y 2
⟹ x 2
+ y 2
= 5 Circunferencia de radio 5 sobre el plano XY
Esto coincide con el intervalo de r. Graficando:
Del libro: Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cálculo 2 de varias variables. 9ª edición. McGraw-Hill, 2010
Sección 14.6
Dar una integral triple para el volumen del sólido.
17. El sólido que está en el interior común bajo la esfera x 2
+ y 2
+ z 2
= 80 y sobre el paraboloide
z x y .
=
1
2
2
+
2
Se emplea el orden dzdydx. Se tiene que para cada variable los intervalos son:
1
2
x 2
+ y 2
⩽ z ⩽ 80 -y -x
2 2
- z- x 2
2
⩽ y⩽ 2 z- x 2
- 4 ⩽ x ⩽ 4
La intersección entre las superficies es la circunferencia x 2
+ y 2
= 16 , por lo que el intervalo de y puede
cambiarse a
- 16 -x 2
⩽ y⩽ 16 -x 2
,
esto con el propósito de no introducir nuevamente la variable z, que ya habrá sido integrada.
Así la integral que describe el volumen del sólido es
-x -x -y
z
4 2 2 2
16 80
V ∫ ∫ d dydx
=
- -
4 16 -x ∫2 1
2
x 2
+y 2
Usar una integral triple para encontrar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las
ecuaciones.
25. z - y z - y x
= 2 , = 4 x y 2
, = 0, = 3, = 0
, Con la figura se pueden deducir los límites de integración en el orden dzdxdy:
2 -y z ⩽ ⩽ 4 -y 2
0 ⩽ x ⩽ 3 0 ⩽ y⩽ 2
El intervalo de y fue hallado con las intersecciones de la superficie cilíndrica con el plano z = 2 - y:
-y -y 2
y 2
-y y 2
-y- y - y + 1) =
-
2 = 4 ⟹ = 2 ⟹ 2 = ( 2)( 0
y 1 = 2 y 2 = 1
Estableciendo y resolviendo la integral:
-y
-y dzdxdy -y - -y -y
2
2 3 4 2 3 2
V = ∫ ∫ ∫
2
= ∫ ∫ 4
2
+ y 2 dxdy = ∫ 2
2
( 3) dy
0 0 0 0 0
V = 3 2 y - 1
y 3
+
1
y 2
2
= 3 4 - 8
+2 = 3 6 - 8
= 3
18 - 8
3 2 0 3 3 3
V = 10 u 3
Sección 14.7
Dibujar la región sólida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral
iterada.
-r
1 z
2
2𝜋 5
5
0. ∫ ∫ ∫ rd drd𝜃
0 0 0
Se tiene que 0 ⩽ z ⩽ 5 -r 2
0 ⩽ r ⩽ 5 0 ⩽ 𝜃 ⩽ 2𝜋
De la desigualdad con z: z = 0, z = 5 -r 2
= 5 - x 2
+ y 2
son las superficies que limitan a z.
Cuando z : = 0
0 = 5 - x 2
+ y 2
⟹ x 2
+ y 2
= 5 Circunferencia de radio 5 sobre el plano XY
Esto coincide con el intervalo de r. Graficando:
