samenvatting wiskunde
VORM EN CHARACTERISTIEK
Euler characteristiek (χ)
x=V-E+F
- V is het aantal hoekpunten van de mesh
- E is het aantal zijden van de mesh
- F is het aantal driehoeken van de mesh
voorbeeld :
→ stelling 2: De Euler characteristiek is een eigenschap van het oppervlak en hangt dus niet
af van de gekozen triangulatie.
→ de euler characteristiek blijft hetzelfde als we een mesh van veelhoeken nemen in plaats
van driehoeken :
n-hoek → n-2 driehoeken
V = + 0, E = + (n-3), F = + (n-3)
- oppervlak = veelvlak met alle zijvlakken driehoeken (mesh) → triangulatie
- een rand-zijde indien ze de zijde is van juist 1 driehoek
- een gewone zijde indien ze de zijde is van juist 2 driehoeken
→ stelling 1: Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek. Dat is, elk oppervlak kan
verkregen worden uit een veelhoek, waarvan de zijden ofwel rand-zijden van de triangulatie
zijn, en alle overige zijden twee aan twee geplakt moeten worden.
,→ crosscap
→ fles van Klein
deze figuren kunnen enkel gevormd worden door zichzelf te snijden en zijn dus geen
oppervlakken in de ruimte
→ een gesloten oppervlak is een oppervlak zonder rand …
een gesloten oppervlak is een opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2
geplakt worden.
Een gesloten oppervlak kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle
corresponderende zijden in tegengestelde richting voorkomen als we langs de rand van
de veelhoek lopen.
→ de enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn de sfeer, de torus of een
aaneenschakeling van g tori
→ de genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het
oppervlak : 2g = 2 - x
→ een veelvlak is een ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs
gemeenschappelijke zijden aan elkaar te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door
zijvlakken en elke ribbe is de grens van juist 2 zijvlakken.
, → een convex veelvlak is een veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken
van de aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°
- een convex veelvlak noemen we platonisch indien elk zijvlak een regelmatige n-hoek
is en in elk hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen
→ stelling 4: Er zijn juist 5 platonische veelvlakken: de tetraëder, de kubus, de octaëder, de
dodecaëder en de icosaëder
- een convex veelvlak noemen we archimedisch als elk zijvlak een regelmatige
veelhoek is en er in elk hoekpunt dezelfde types van veelvlakken samenkomen.
→ elke platonisch veelvlak is ook archimedisch, maar ook de prisma’s en de
anti-prisma’s behoren tot de archimedische veelvlakken
→ de eerste is een prisma; de hoeken
van het bovenvlak en het grondvlak
komen overeen
→ de tweede is een anti-prisme; de
hoekpunten komen niet overeen
→ stelling 5: Buiten de 5 platonische veelvlakken, de prisma’s en anti-prisma’s zijn er nog
juist 13 andere Archimedische veelvlakken
SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
- rotatie (= draaien rond centrum met vaste hoek)
- spiegeling (= spiegelt ten opzichte van een as)
- translatie (= verplaatsing over vaste afstand en richting)
VORM EN CHARACTERISTIEK
Euler characteristiek (χ)
x=V-E+F
- V is het aantal hoekpunten van de mesh
- E is het aantal zijden van de mesh
- F is het aantal driehoeken van de mesh
voorbeeld :
→ stelling 2: De Euler characteristiek is een eigenschap van het oppervlak en hangt dus niet
af van de gekozen triangulatie.
→ de euler characteristiek blijft hetzelfde als we een mesh van veelhoeken nemen in plaats
van driehoeken :
n-hoek → n-2 driehoeken
V = + 0, E = + (n-3), F = + (n-3)
- oppervlak = veelvlak met alle zijvlakken driehoeken (mesh) → triangulatie
- een rand-zijde indien ze de zijde is van juist 1 driehoek
- een gewone zijde indien ze de zijde is van juist 2 driehoeken
→ stelling 1: Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek. Dat is, elk oppervlak kan
verkregen worden uit een veelhoek, waarvan de zijden ofwel rand-zijden van de triangulatie
zijn, en alle overige zijden twee aan twee geplakt moeten worden.
,→ crosscap
→ fles van Klein
deze figuren kunnen enkel gevormd worden door zichzelf te snijden en zijn dus geen
oppervlakken in de ruimte
→ een gesloten oppervlak is een oppervlak zonder rand …
een gesloten oppervlak is een opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2
geplakt worden.
Een gesloten oppervlak kan geconstrueerd worden in de ruimte als alle
corresponderende zijden in tegengestelde richting voorkomen als we langs de rand van
de veelhoek lopen.
→ de enige construeerbare gesloten oppervlakken zijn de sfeer, de torus of een
aaneenschakeling van g tori
→ de genus g van een construeerbaar gesloten oppervlak is het aantal gaten in het
oppervlak : 2g = 2 - x
→ een veelvlak is een ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs
gemeenschappelijke zijden aan elkaar te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door
zijvlakken en elke ribbe is de grens van juist 2 zijvlakken.
, → een convex veelvlak is een veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken
van de aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°
- een convex veelvlak noemen we platonisch indien elk zijvlak een regelmatige n-hoek
is en in elk hoekpunt er juist r zijvlakken toekomen
→ stelling 4: Er zijn juist 5 platonische veelvlakken: de tetraëder, de kubus, de octaëder, de
dodecaëder en de icosaëder
- een convex veelvlak noemen we archimedisch als elk zijvlak een regelmatige
veelhoek is en er in elk hoekpunt dezelfde types van veelvlakken samenkomen.
→ elke platonisch veelvlak is ook archimedisch, maar ook de prisma’s en de
anti-prisma’s behoren tot de archimedische veelvlakken
→ de eerste is een prisma; de hoeken
van het bovenvlak en het grondvlak
komen overeen
→ de tweede is een anti-prisme; de
hoekpunten komen niet overeen
→ stelling 5: Buiten de 5 platonische veelvlakken, de prisma’s en anti-prisma’s zijn er nog
juist 13 andere Archimedische veelvlakken
SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
- rotatie (= draaien rond centrum met vaste hoek)
- spiegeling (= spiegelt ten opzichte van een as)
- translatie (= verplaatsing over vaste afstand en richting)
