Hoofdstuk 1. Samenhang VPBK
1.1 Verhoudingen zijn de baas
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten
Bij van deze domein zijn relatieve aspecten te onderscheiden:
Ø Komma getallen zijn decimale breuken
Ø Breuken en procenten geven een verhouding aan.
o Breuken: geven een verhouding tussen deel en geheel
o Procenten: geven een verhouding tussen deel en geheel gesteld op 100.
Verschillen
Elk domein kent zijn eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit.
Bijv. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute getallen:
Getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden en aantallen verwijzen.
Bijv. Er roken in deze straat 22 mensen.
Relatieve getallen:
Hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke
getal of aantal aan kunt aflezen. Om het daadwerkelijke getal te bepalen, heb je het absolute aantal
nodig.
Bijv. 1 op de 3 mensen rookt.
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief van
groot belang. Zonder deze kennis kun je veel informatie bijv. uit de krant en het nieuws niet goed
begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op het onderscheid, is het nodig om absolute en
relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en met elkaar in verband te brengen.
Ø Een voorbeeld hiervan is het strookmodel
Afbeelding 1. Bovenaan absolute getallen en onderaan
relatieve getallen.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redereneren en rekenen met VPBK moeten kinderen greep krijgen op de
onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen.
In groep 7/8 leren kinderen deze domeinen door elkaar heen te gebruiken.
1.2.1 Begrip
Breuken en kommagetallen
In de betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn beide gebroken getallen.
De notatie verschilt:
Ø Kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken.
Hele getallen, kommagetallen en breuken zijn rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
1
,Overeenkomst:
Ø Qua verschijningsgetallen worden zowel breuken als kommagetallen als meetgetal ingezet.
Kommagetallen vaker dan breuken.
Verschillen:
Ø Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid.
Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen door elkaar. Naast het strookmodel, kan je
geld gebruiken.
Van breuk à kommagetal
Een voorbeeld als je het hoofdrekenend bepaald:
!
De breuk à kommagetal.
"
7 in 1 = 0 à 0, …
7 in 10 = 1 à 3 over à 0,1
7 in 30 = 4 à 2 over à 0,14
7 in 20 = 2 à 6 over à 0,142
7 in 60 = 8 à 4 over à 0,1428
7 in 40 = 5 à 5 over à 0,14285
7 in 50 = 7 à 1 over à 0,142857……
Van kommagetal à breuk
Omgekeerd kan ook, maar dit is soms ingewikkelder. Als de breuk niet repeteer, is het eenvoudig.
! $ % !$% !'" $
Bijvoorbeeld 3,152 = 3 + + + =3 =3 =3
!# !## !### !### () ()
Maar hoe gaat dit met een repeterende breuk?
Bijvoorbeeld: 0,461538461538….
1
Stap 1. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is.
Stap 2. In dit geval ik het repetendum 6 cijfers lang en vermenigvuldig dus met 1.000.000.
461.538
Stap 3. Trek van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen alle decimalen.
1.000.000 – 1 = 999.999
)(!.$+' (
Stap 4. De breuk luidt als volgt: =
'''.''' !+
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn.
Een breuk als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn.
Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. (relatief gegeven)
Bij procenten is dit anders. Een procent geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een
operator.
%# !
LET OP! Voorkom dat kinderen het idee krijgen dat bijv. 20% hetzelfde is als en . Dat is niet altijd
!## $
%# !
zo, omdat en absolute getallen zijn en 20% en operator.
!## $
1.2.2 Weetjes
Declaratieve kennis:
! $
Parate feitenkennis, zoals = = 0,5 = 1: 2 en komt overeen met 50%.
% !#
Dit soort weetjes moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het
redeneren en rekenen met VPBK. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot
worden uitgebreid. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend, bijv. met
de strook of het cirkeldiagram.
1
Tot het deel zich opnieuw herhaalt
2
, Hoofdstuk 2. Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
In het dagelijks leven ben je veel bezig om verhoudingsgewijs te redeneren, vaak onbewust.
Ø Koffiezetten à hoe sterk moet de koffie?
Doordat we alle dingen om ons heen in verhouding tot elkaar zien, kun je bijv. inschatten hoe groot de
schoenendoos op de foto ongeveer is.
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijving.
Bij evenredige verbanden is er sprake van een verhouding. Het betekent dat als het ene getal zoveel
keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal (of andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein)
wordt.
! %$#
Bijv. wordt dan als je het 4 keer vergroot.
) !###
Naar rato:
Een hoeveelheid dat naar verhouding stijgt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Een andere veelvoorkomende verhouding is schaal.
Schaal:
Geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan. Bij formele
schaalnotatie noteren we beide getalen in dezelfde maateenheid. Schaal is dus onafhankelijk van de
gebruikte maateenheid.
Bij veel getalsmatige informatie, bijv. uit nieuwsmedia, gaat het om verhoudingen. Bij deze informatie
gaat het steeds om verhoudingen, ook al worden die soms als breuk of percentage uitgedrukt.
Ø Gestandaardiseerde verhouding: à percentage
Het totaal is op honderd gesteld: 5% is 5 van de 100.
Ø Niet-gestandaardiseerde verhouding:
Het totaal kan van alles zijn, zoals bij 2 op de 7.
Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn lastiger te vergelijken dan procenten.
Wanverhouding:
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te trekken.
Dit kom je bijv. tegen in reclame, cartoons en kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhouding zegt iets over hoe de verhouding
wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Kwalitatieve verhoudingen:
Een verhouding uitgedrukt in woorden: 'Hij is erg groot voor zijn leeftijd.' Er komt dus geen getal aan te
pas.
Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband.
Kwantitatieve verhoudingen:
De verhouding wordt uitgedrukt in 1 of meer getallen.
3
1.1 Verhoudingen zijn de baas
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten
Bij van deze domein zijn relatieve aspecten te onderscheiden:
Ø Komma getallen zijn decimale breuken
Ø Breuken en procenten geven een verhouding aan.
o Breuken: geven een verhouding tussen deel en geheel
o Procenten: geven een verhouding tussen deel en geheel gesteld op 100.
Verschillen
Elk domein kent zijn eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit.
Bijv. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute getallen:
Getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden en aantallen verwijzen.
Bijv. Er roken in deze straat 22 mensen.
Relatieve getallen:
Hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke
getal of aantal aan kunt aflezen. Om het daadwerkelijke getal te bepalen, heb je het absolute aantal
nodig.
Bijv. 1 op de 3 mensen rookt.
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief van
groot belang. Zonder deze kennis kun je veel informatie bijv. uit de krant en het nieuws niet goed
begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op het onderscheid, is het nodig om absolute en
relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en met elkaar in verband te brengen.
Ø Een voorbeeld hiervan is het strookmodel
Afbeelding 1. Bovenaan absolute getallen en onderaan
relatieve getallen.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redereneren en rekenen met VPBK moeten kinderen greep krijgen op de
onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen.
In groep 7/8 leren kinderen deze domeinen door elkaar heen te gebruiken.
1.2.1 Begrip
Breuken en kommagetallen
In de betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn beide gebroken getallen.
De notatie verschilt:
Ø Kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken.
Hele getallen, kommagetallen en breuken zijn rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
1
,Overeenkomst:
Ø Qua verschijningsgetallen worden zowel breuken als kommagetallen als meetgetal ingezet.
Kommagetallen vaker dan breuken.
Verschillen:
Ø Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid.
Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen door elkaar. Naast het strookmodel, kan je
geld gebruiken.
Van breuk à kommagetal
Een voorbeeld als je het hoofdrekenend bepaald:
!
De breuk à kommagetal.
"
7 in 1 = 0 à 0, …
7 in 10 = 1 à 3 over à 0,1
7 in 30 = 4 à 2 over à 0,14
7 in 20 = 2 à 6 over à 0,142
7 in 60 = 8 à 4 over à 0,1428
7 in 40 = 5 à 5 over à 0,14285
7 in 50 = 7 à 1 over à 0,142857……
Van kommagetal à breuk
Omgekeerd kan ook, maar dit is soms ingewikkelder. Als de breuk niet repeteer, is het eenvoudig.
! $ % !$% !'" $
Bijvoorbeeld 3,152 = 3 + + + =3 =3 =3
!# !## !### !### () ()
Maar hoe gaat dit met een repeterende breuk?
Bijvoorbeeld: 0,461538461538….
1
Stap 1. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is.
Stap 2. In dit geval ik het repetendum 6 cijfers lang en vermenigvuldig dus met 1.000.000.
461.538
Stap 3. Trek van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen alle decimalen.
1.000.000 – 1 = 999.999
)(!.$+' (
Stap 4. De breuk luidt als volgt: =
'''.''' !+
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn.
Een breuk als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn.
Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. (relatief gegeven)
Bij procenten is dit anders. Een procent geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een
operator.
%# !
LET OP! Voorkom dat kinderen het idee krijgen dat bijv. 20% hetzelfde is als en . Dat is niet altijd
!## $
%# !
zo, omdat en absolute getallen zijn en 20% en operator.
!## $
1.2.2 Weetjes
Declaratieve kennis:
! $
Parate feitenkennis, zoals = = 0,5 = 1: 2 en komt overeen met 50%.
% !#
Dit soort weetjes moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het
redeneren en rekenen met VPBK. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot
worden uitgebreid. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend, bijv. met
de strook of het cirkeldiagram.
1
Tot het deel zich opnieuw herhaalt
2
, Hoofdstuk 2. Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
In het dagelijks leven ben je veel bezig om verhoudingsgewijs te redeneren, vaak onbewust.
Ø Koffiezetten à hoe sterk moet de koffie?
Doordat we alle dingen om ons heen in verhouding tot elkaar zien, kun je bijv. inschatten hoe groot de
schoenendoos op de foto ongeveer is.
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijving.
Bij evenredige verbanden is er sprake van een verhouding. Het betekent dat als het ene getal zoveel
keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal (of andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein)
wordt.
! %$#
Bijv. wordt dan als je het 4 keer vergroot.
) !###
Naar rato:
Een hoeveelheid dat naar verhouding stijgt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Een andere veelvoorkomende verhouding is schaal.
Schaal:
Geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan. Bij formele
schaalnotatie noteren we beide getalen in dezelfde maateenheid. Schaal is dus onafhankelijk van de
gebruikte maateenheid.
Bij veel getalsmatige informatie, bijv. uit nieuwsmedia, gaat het om verhoudingen. Bij deze informatie
gaat het steeds om verhoudingen, ook al worden die soms als breuk of percentage uitgedrukt.
Ø Gestandaardiseerde verhouding: à percentage
Het totaal is op honderd gesteld: 5% is 5 van de 100.
Ø Niet-gestandaardiseerde verhouding:
Het totaal kan van alles zijn, zoals bij 2 op de 7.
Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn lastiger te vergelijken dan procenten.
Wanverhouding:
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te trekken.
Dit kom je bijv. tegen in reclame, cartoons en kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhouding zegt iets over hoe de verhouding
wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Kwalitatieve verhoudingen:
Een verhouding uitgedrukt in woorden: 'Hij is erg groot voor zijn leeftijd.' Er komt dus geen getal aan te
pas.
Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband.
Kwantitatieve verhoudingen:
De verhouding wordt uitgedrukt in 1 of meer getallen.
3
