Samenvatting statistiek
Hoofdstuk 13, Een toets voor het gemiddelde
Bij hypothesen ga je op basis van steekproefgegevens controleren of een bepaalde situatie geldig is.
De nul-hypothese is de bestaande mening over een variabele, we willen onderzoeken of die situatie
nog steeds geldt. De nulhypothese noteer je als: H 0 = …
Rekenkundig gemiddelde wordt opgeschreven als: μ
Als je H 0 verwerpt, ben je er van overtuigd dat het een andere waarde moet hebben. Dit
schrijven we op als H 1 , en wordt meestal algemeen geformuleerd, met een streep: ≠, dit staat
voor is niet gelijk aan.
Eenzijdig toetsen we als er garanties worden gegeven. Je hoeft maar één ding te weten bijvoorbeeld
maximaal.
Standaarddeviatie wordt opgeschreven als: σ, en staat voor de standaardafwijking.
Als we de standaarddeviatie kennen, kunnen we uitspraken doen over mogelijke uitkomsten van het
steekproefgemiddelde. Standaarddeviatie van het gemiddelde is standaarddeviatie / wortel uit de
steekproef:
σ
σ x=
√n
Het gemiddelde heeft de toetsingsgrootheid, waarmee we ons een oordeel gaan vormen over de
nulhypothese.
Vervolgens doe je de toetsing. Ligt er aan hoe je toets, enkelzijdig of meerzijdig. Als we meerzijdig
gaan toetsen moet het steekproefgemiddelde tussen die twee grenzen liggen. Als we eisen dat die
grens 95% is, dan moeten links en rechts de staarten van de verdeling elk 2,5% zijn. Dat is dus een
kans 0,025 aan beide kanten, daarbij hoort de z-waarde 1,96.
L= μ – z-waarde * uitkomst σ x formule hierboven.
R= μ + z-waarde * uitkomst σ x formule hierboven.
De kans op een steekproefgemiddelde buiten het middengebied (uitkomsten L en R) is 5%, we
noemen dit de kans op een fout van de eerste soort.
Er is nog een andere manier op een toets aan te pakken, de methode met de p-waarde. Het is een
aanpak die je kunt tegenkomen bij het gebruik van statistische software. Hierbij is de vraag of μ ver
van X́ af ligt (gemiddelde en steekproefgemiddelde). Dat doen we door de standaarddeviatie van
het gemiddelde te delen met dit verschil:
´
X−μ
z=
σ
√n
De uitkomst zoek je op in het P-tabel. Vervolgens krijg je daar een p-waarde bij.
Hoofdstuk 14, Standaarddeviatie onbekend
, Als je werkt met kansverdelingen is het meestal belangrijk dat je weet hoe groot μ (rekenkundig
gemiddelde) en σ (standaarddeviatie) zijn.
In de praktijk levert het vaak een probleem om de betrouwbaarheidsinterval te berekenen, want
meestal weten we de standaarddeviatie niet. In dat geval moeten we een extra stap nemen. We
moeten namelijk eerst de standaarddeviatie schatten op basis van de verzamelde gegevens. We
berekenen eerst de variantie s2 en hieruit trekken we de wortel. De variantie is
2 ( X i− X ) ❑2
s=
n−1
Dus je doet de optelsom van alle (waarneming – steekproefgemiddelde) kwadraat / steekproef – 1.
De uitkomst noemen we de variantie. Als we hier vervolgens de wortel uit trekken krijgen we de
standaarddeviatie.
Om te kunnen werken met de normale verdeling, heb je twee gegevens nodig, namelijk de
verwachtingswaarde μ en de standaarddeviatie σ. De t-verdeling is een variant op de normale
verdeling. Het is een normale verdeling met een onzekere standaarddeviatie s. Vanwege die extra
onzekerheid is de t-verdeling wat breder dan de normaal verdeling. In de formule van de variantie
S 2 zien we dat gedeeld wordt door (n-1). Dat noemen we het aantal vrijheidsgraden. Dus bij 5
waarnemingen gaan we werken met een t-verdeling van 5-1 = 4 vrijheidsgraden. Net als bij de
normaalverdeling gebruiken we bij de t-verdeling ook tabellen waarin we bepaalde kansen kunnen
aflezen, of omgekeerd, waarin we grenzen kunnen aflezen bij gegeven kansen.
De t-waarde zoek je in het tabel door het aantal vrijheidsgraden te berekenen (n-1) en dan te kijken
welke betrouwbaarheidsinterval wordt aangenomen.
Als je de linker en rechter grens wil berekenen doe je het volgende:
X−twaarde∗s
√n
Dit doe je bij de linkerzijde. Bij de rechterzijde is de – een +.
Hoofdstuk 15, Associatie
Als je verbanden wilt analyseren tussen variabelen dan is het belangrijk om eerst vast te stellen met
wat voor soort variabele we te maken hebben. Sommige variabelen hebben een nominale schaal
(kenmerk bijvoorbeeld geslacht of kleur), daarmee kun je niet rekenen wel optellen. We gaan ons nu
richten op nominale variabelen.
Soms zie je direct of er sprake is van een opvallend verband tussen de twee variabelen. Je spreekt van
een associatie als dit betrekking heeft op variabelen die op een ordinaal of nominaal niveau zijn
gemeten.
Je bekijkt bij een 2x2 tabel de mate van samenhang tussen twee kenmerken. De mate van
samenhang of associatie kan uitgedrukt worden door een getal bij toepassing van de maatstaf van
Yule. Deze wordt als Yule’s Q aangeduid. Hierbij hoort de volgende formule:
A∗D−B∗D
Q=
A∗D+B∗D
Hoofdstuk 13, Een toets voor het gemiddelde
Bij hypothesen ga je op basis van steekproefgegevens controleren of een bepaalde situatie geldig is.
De nul-hypothese is de bestaande mening over een variabele, we willen onderzoeken of die situatie
nog steeds geldt. De nulhypothese noteer je als: H 0 = …
Rekenkundig gemiddelde wordt opgeschreven als: μ
Als je H 0 verwerpt, ben je er van overtuigd dat het een andere waarde moet hebben. Dit
schrijven we op als H 1 , en wordt meestal algemeen geformuleerd, met een streep: ≠, dit staat
voor is niet gelijk aan.
Eenzijdig toetsen we als er garanties worden gegeven. Je hoeft maar één ding te weten bijvoorbeeld
maximaal.
Standaarddeviatie wordt opgeschreven als: σ, en staat voor de standaardafwijking.
Als we de standaarddeviatie kennen, kunnen we uitspraken doen over mogelijke uitkomsten van het
steekproefgemiddelde. Standaarddeviatie van het gemiddelde is standaarddeviatie / wortel uit de
steekproef:
σ
σ x=
√n
Het gemiddelde heeft de toetsingsgrootheid, waarmee we ons een oordeel gaan vormen over de
nulhypothese.
Vervolgens doe je de toetsing. Ligt er aan hoe je toets, enkelzijdig of meerzijdig. Als we meerzijdig
gaan toetsen moet het steekproefgemiddelde tussen die twee grenzen liggen. Als we eisen dat die
grens 95% is, dan moeten links en rechts de staarten van de verdeling elk 2,5% zijn. Dat is dus een
kans 0,025 aan beide kanten, daarbij hoort de z-waarde 1,96.
L= μ – z-waarde * uitkomst σ x formule hierboven.
R= μ + z-waarde * uitkomst σ x formule hierboven.
De kans op een steekproefgemiddelde buiten het middengebied (uitkomsten L en R) is 5%, we
noemen dit de kans op een fout van de eerste soort.
Er is nog een andere manier op een toets aan te pakken, de methode met de p-waarde. Het is een
aanpak die je kunt tegenkomen bij het gebruik van statistische software. Hierbij is de vraag of μ ver
van X́ af ligt (gemiddelde en steekproefgemiddelde). Dat doen we door de standaarddeviatie van
het gemiddelde te delen met dit verschil:
´
X−μ
z=
σ
√n
De uitkomst zoek je op in het P-tabel. Vervolgens krijg je daar een p-waarde bij.
Hoofdstuk 14, Standaarddeviatie onbekend
, Als je werkt met kansverdelingen is het meestal belangrijk dat je weet hoe groot μ (rekenkundig
gemiddelde) en σ (standaarddeviatie) zijn.
In de praktijk levert het vaak een probleem om de betrouwbaarheidsinterval te berekenen, want
meestal weten we de standaarddeviatie niet. In dat geval moeten we een extra stap nemen. We
moeten namelijk eerst de standaarddeviatie schatten op basis van de verzamelde gegevens. We
berekenen eerst de variantie s2 en hieruit trekken we de wortel. De variantie is
2 ( X i− X ) ❑2
s=
n−1
Dus je doet de optelsom van alle (waarneming – steekproefgemiddelde) kwadraat / steekproef – 1.
De uitkomst noemen we de variantie. Als we hier vervolgens de wortel uit trekken krijgen we de
standaarddeviatie.
Om te kunnen werken met de normale verdeling, heb je twee gegevens nodig, namelijk de
verwachtingswaarde μ en de standaarddeviatie σ. De t-verdeling is een variant op de normale
verdeling. Het is een normale verdeling met een onzekere standaarddeviatie s. Vanwege die extra
onzekerheid is de t-verdeling wat breder dan de normaal verdeling. In de formule van de variantie
S 2 zien we dat gedeeld wordt door (n-1). Dat noemen we het aantal vrijheidsgraden. Dus bij 5
waarnemingen gaan we werken met een t-verdeling van 5-1 = 4 vrijheidsgraden. Net als bij de
normaalverdeling gebruiken we bij de t-verdeling ook tabellen waarin we bepaalde kansen kunnen
aflezen, of omgekeerd, waarin we grenzen kunnen aflezen bij gegeven kansen.
De t-waarde zoek je in het tabel door het aantal vrijheidsgraden te berekenen (n-1) en dan te kijken
welke betrouwbaarheidsinterval wordt aangenomen.
Als je de linker en rechter grens wil berekenen doe je het volgende:
X−twaarde∗s
√n
Dit doe je bij de linkerzijde. Bij de rechterzijde is de – een +.
Hoofdstuk 15, Associatie
Als je verbanden wilt analyseren tussen variabelen dan is het belangrijk om eerst vast te stellen met
wat voor soort variabele we te maken hebben. Sommige variabelen hebben een nominale schaal
(kenmerk bijvoorbeeld geslacht of kleur), daarmee kun je niet rekenen wel optellen. We gaan ons nu
richten op nominale variabelen.
Soms zie je direct of er sprake is van een opvallend verband tussen de twee variabelen. Je spreekt van
een associatie als dit betrekking heeft op variabelen die op een ordinaal of nominaal niveau zijn
gemeten.
Je bekijkt bij een 2x2 tabel de mate van samenhang tussen twee kenmerken. De mate van
samenhang of associatie kan uitgedrukt worden door een getal bij toepassing van de maatstaf van
Yule. Deze wordt als Yule’s Q aangeduid. Hierbij hoort de volgende formule:
A∗D−B∗D
Q=
A∗D+B∗D
