recopilación de todos los ej de EBAU canarias

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD EJERCICIOS EBAU

JUNIO 2001
1/ Hallar los valores de los números a y b para que la función definida como:
𝑎𝑥 + 5 𝑥≤1
𝑓 (𝑥 ) = { 𝑏 sea derivable para todos los valores de x.
𝑎 √𝑥 + 𝑥 𝑥 > 1


SEPTIEMBRE 2001
2/ Determinar a y b para que la siguiente función sea continua y derivable para todos
los valores de x:
𝜋
𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 <
𝑓 (𝑥 ) = { 2
2
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 ≥
2

JUNIO 2002
3/ Dada la función f(x) determinar el valor (o los valores) de a para que resulte
derivable en todos los puntos donde esté definida:
𝑒𝑥 − 1 𝑥 < 0
𝑓 (𝑥 ) = { 2
𝑥 + 𝑎𝑥 𝑥 ≥ 0


SEPTIEMBRE 2002
4/ Dada la siguiente función, se pide:
2
𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥 2− 5𝑥 + 𝑚 𝑥 < 1
−𝑥 + 𝑛𝑥 𝑥≥1
a) Calcular los valores de los parámetros m y n para que sea continua y derivable en
todos los puntos del intervalo [-20,20].
b) Dibujar esquemáticamente la gráfica de la función, señalando los extremos.


JUNIO 2003
5/ Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente resulte
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑥 < −1
continua en todos los puntos: 𝑓 (𝑥 ) = {𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 3 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2

−𝑏𝑥 3 + 𝑎 𝑥>2

SEPTIEMBRE 2003
6/ Dada la función f (x) definida por: 𝑓(𝑥 ) = {𝑠𝑒𝑛𝑥
2
𝑥<0
determinar los
−𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑥 ≥ 0
valores de a y b para que resulte derivable en todos los puntos donde esté definida.

JUNIO 2004
7/ Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todos
sus puntos:
𝑎𝑥 2 + 𝑏 𝑥<0
𝑓(𝑥 ) = {𝑥𝑎 − 𝑎 0≤𝑥<1
+𝑏 𝑥≥1
𝑥

,SEPTIEMBRE 2004
8/ Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función:
3 − 𝑚𝑥 2 𝑥 ≤ 1
𝑓 (𝑥 ) = { 2
𝑥>1
𝑚𝑥

JUNIO 2006
9/ Sea la función real de variable real:
(1 − 𝑥 2 )2 𝑥 < 2
𝑓 (𝑥 ) = { 36
𝑥≥2
2+𝑥
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real.
b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real.

10/ Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos
sus puntos:
𝑏𝑥 2 + 𝑎𝑥 𝑥 ≤ −1
𝑎
−1 <𝑥 ≤1
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 1
{ 𝑥+1 𝑥>1

JUNIO 2008
11/ Para la función dada por:
(𝛼𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑒 −𝑥+1 𝑥 > 1
𝑓 (𝑥 ) = {
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) 𝑥≤1
Encontrar los valores α, β y γ que hacen que f(x) sea continua, y admita primera y
segunda derivada en el punto x = 1. (2.5 puntos)


SEPTIEMBRE 2008
12/ Hallar los valores de a, b y c de forma que la función f(x) sea continua en el
intervalo [-2, 3], derivable en el intervalo (-2, 3) y, tal que, f(-2) = f(3):
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 2 − 2 ≤ 𝑥 < 0
𝑓 (𝑥 ) = {
𝑐 + √𝑥 + 1 0<𝑥≤3


JUNIO 2009
13/ Hallar el valor que ha de tener m para que la función:
6 − 𝑚(𝑥 + 2)2 𝑥 ≤ −1
𝑓 (𝑥 ) = { 2 sea derivable en x = −1.
3 + 𝑚(𝑥+2) 𝑥 < −1


JUNIO 2010 GENERAL
14/ Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en R:
𝑏𝑥 2
𝑓 (𝑥 ) = { 𝑒 + 𝑎 𝑥 𝑥 < 0
𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 𝑥 ≥ 0

,SEPTIEMBRE 2010 GENERAL
15/ Hallar valores de m para que la función
2
𝑓 (𝑥 ) = {𝑚−𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 ≤ 0 sea derivable en toda la recta real. (2’5 p.)
𝑒 −1 𝑥 >0

JUNIO 2011
16/ Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando
expresiones de la derivada donde exista:
1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓 (𝑥 ) = {√𝑥 3 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
2
𝑒 𝑥 −1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

SEPTIEMBRE 2011
17/ Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando
expresiones de la derivada donde exista:
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
3
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 1 + ln(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2
3
{ √𝑥 2 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

JUNIO 2012
18/ Dada la función:
3𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓 (𝑥 ) = { 3√𝑥 + 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋
3
√𝑥 + 𝑏 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝜋
a) Hallar valores de a y b para que f (x) sea continua en todo R (explicar). (1 punto)
b) Estudiar derivabilidad en todo R de la función f (x), con los valores de a y b
obtenidos anteriormente. (1'5 puntos)

JUNIO 2013
19/ Determinar los valores de a y de b para que la función: 𝑓(𝑥 ) =
𝑎𝑥
{𝑒 𝑥≤0
sea derivable. (2,5 puntos)
2𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 > 0


JULIO 2013
(𝑥 + 𝑎 )2 𝑥 ≤ −1
20/ Dada la función 𝑓(𝑥 ) = { 𝑏𝑥
𝑥 > −1
√𝑥+2
Hallar valores de a y de b para que f(x) sea derivable en todo ℝ. (2,5 puntos)


JUNIO 2015
2𝑥 + 𝑎 𝑥 ≤ −1
21/ Se considera la función: 𝑓(𝑥 ) = {𝑎𝑥 + 𝑏 − 1 < 𝑥 < 0
3𝑥 2 + 2 𝑥≥0
Determinar si existen valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para los que (𝑥) sea derivable en
todo ℝ . Justificar la respuesta. (2,5 puntos)

, JULIO 2015
22/ Se considera la función:
√𝑥 2 + 𝑏 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < −√2
𝑓 (𝑥 ) = { 2 − 𝑥 2 𝑠𝑖 − √2 ≤ 𝑥 ≤ √2
2 2
𝑥 ln(𝑥 − 𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 > √2
Determinar si existen valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para los que (𝑥) sea derivable en
todo ℝ. Justificar la respuesta. (2,5 puntos)


JUNIO 2016
2
23/ Dada la función 𝑓(𝑥 ) = {( 𝑥 −)𝑥 2( ) 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 1 𝑙𝑛 𝑥 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2
a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f(x) en x  1
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto de abscisa x =3/4


JULIO 2016
24/ Determinar el valor de m para que la función f(x) sea derivable en x = -1:
6 − 𝑚 (𝑥 + 2 )2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
( )
𝑓 𝑥 ={ 2
3+ 𝑠𝑖 𝑥 > −1
𝑚(𝑥 + 2)


JULIO 2017
25/ Determinar los valores de a y b para que la función f definida de la forma:
2
𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥 2+ 4𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
−𝑥 + 𝑏𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
sea derivable en todo x∈ R. (2,5 puntos)


JULIO 2019
26/ Dada la siguiente expresión de la función f, de la que se desconocen algunos
valores:
𝑎 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
( )
𝑓 𝑥 ={ 𝑏
− 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑥
Calcular los valores de a y b para que f sea derivable en todo su dominio. Escribir la
función resultante. (2,5 ptos)


JUNIO 2021
2
27/ Dada la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥𝑏−𝑥−2, donde 𝑎 y 𝑏 son dos parámetros con valores reales.
a) Calcular el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 que verifican que 𝑓(−2) = 2 y que 𝑓(𝑥) sea
continua en ℝ − {5}. Escribir la función resultante 𝑓(𝑥) y calcular su derivada 𝑓′(𝑥).
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función 𝑓(𝑥) si los parámetros toman los
valores 𝑎 = −1 y 𝑏 = −3 (No, otro tema)