Integralrechnung CAS-Befehle (fx-
CP400)
1. Zur Bestandsberechnung aus Änderungsraten oder
Gesamtänderung über einen bestimmten Zeitraum Aufleiten mit
Grenzen:
2. Flächenberechnung zwischen X-Achse und der Funktion (auf Nullstellen achten!)
𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒
Main, Keyboard ►
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒) − 𝐹(𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒)(𝑆𝑡𝑎𝑚𝑚𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛)]
𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 Math2 ► ∫
3
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: ∫ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = [ − 𝑒 −2𝑥 ]
1 Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen: 𝐴 Grafik & Tabelle,
𝑏 𝑏 𝑏 Graph zeichnen
= [−𝑒 −2∗3 ] − [−𝑒 −2∗1 ] = 0,1328 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 (𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 lassen ► Analyse
i(x)= -2x i´(x)= -2 ►Grafische Lösung
Vorgehen: 1. Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, ►Integral ►∫ 𝑑𝑥
a(x)= 2𝑒 𝑥 A(x)= 2𝑒 𝑥 𝑏] bestimmen (Schnittstelle) ►1.untere Grenze
eingeben ►im
1 1 Fenster obere
F(x)= 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) → F(x)= −2 ∗ 2𝑒 −2𝑥 = - 𝑒 −2𝑥 2. Untersuchung Vorzeichen f(x) in den
Grenze eingeben
Teilbereich
F(sin(x))= -cos(x) F(-cos(x)= -sin(x) 3. Bestimme die Inhalte der Teilflächen
und addiert dies
F( -sin(x)= cos(x) F(cos (x) = sin(x)
Bestandsfunktion bestimmen
1. Stammfunktion bestimmen
2. +c ran hängen
Flächeninhalt zwischen zwei
3. B(0) berechnen und auf die linke Seite der Gleichung schreiben
Funktionen: 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
4. Nach c auflösen
𝑎 =5.∫ (𝑓(𝑥) −
C einsetzen hinter𝑏die
𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑎 Vorgehen: 1.
Stammfunktion
Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, 𝑏]
bestimmen (Schnittstelle) 2.
Aufleitung
Untersuchung Vorzeichen f(x) in den Aufleiten ohne
Teilbereich 3. Bestimme die−2𝑥Inhalte der− 1)2 Grenzen:
Potenzregel: f(x)= 𝑥 𝑛 f(x)= −4𝑒 oder (2𝑥 a(x) i(x)
Teilflächen und addiert dies
1 1
Main ► Aktion ►
1
F(x)= 𝑛+1 ∗ 𝑥 𝑛+1 (+c) F(x)= 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) (+c) bsp. −2 × −4𝑒 −2𝑥 Berechnungen ►
∫
Nur wenn i(x) linear ist!
Brüche aufleiten: f(x)= 𝑢 (𝑥) Ableiten:
𝑣(𝑥)
𝑢´∗𝑣−𝑣´∗𝑢 Main, Aktion ►
F(x)=
𝑣2 Berechnungen ► diff
Ableitung Verkettete Funktionen mit inneren und äußeren Funktionen
Kettenregel: Beispiel: f(x)= (−3𝑥 + 6)3 i(x)= -3x+6 a(x)= 𝑥 3
i´(x)= -3 a´(x)= 3𝑥 2
f´(x)= i´(x)*a´(i(x)) → f´(x)= -3∗ 3 ∗ (−3𝑥 + 6)2 = −9 ∗ (−3𝑥 + 6)2
Matheklausur P4, 225 Minuten
, Produktregel: Produktfunktionen mit mehreren Produkten
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ∗ (−4𝑥 + 𝑥 2 ) u(x)= 𝑥 3 𝑣(𝑥) = −4𝑥 + 𝑥 2
u´(x)= 3𝑥 2 𝑣´(𝑥) = −4 + 2𝑥
f´(x)= 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣´(𝑥) + 𝑢´(𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) → 𝑥 3 ∗ (−4𝑥 + 2𝑥) + (−4𝑥 + 𝑥 2 ) ∗ 3𝑥 2
bei mehr Produkten gilt: f´(𝑥) = 𝑢´𝑣𝑤𝑥 + 𝑢𝑣´𝑤𝑥 + 𝑢𝑣𝑤´𝑥 + 𝑢𝑣𝑤𝑥´ etc…
Faktorregel: f(x)=a⋅g(x)⇒f′(x)=a⋅g′(x)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
f(x)=g(x)+h(x) → f´(x)=g´(x)+h´(x)
Summenregel:
Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet
und die Ableitungen addiert.
f´(𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 𝑓´(𝑎 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 ∙ ln(𝑎)
Tangentengleichung aufstellen CAS-Befehle (fx-
CP400)
1. Ableitung bestimmen
2. Steigung vom Punkt X bestimmen
Grafik & Tabelle,
→ Wert der Steigung = m Graph zeichnen
3. Y-Wert für Punkt X bestimmen lassen ►Analyse ►
4. Diesen in die linke Seite der Gleichung einsetzen Skizze ► Tangente
(𝑌 = 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏) ( X und Y als Werte einsetzen) ►X-Wert eingeben
5. Gleichung nach b auflösen ►OK ► EXE
→ T(x)= 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 5𝑒 6𝑥 𝑓´(𝑥) = 6 ∗ 5𝑒 6𝑥 = 30𝑒 6𝑥 P (3/f(3) → P (3/ 5𝑒18 )
𝑖(𝑥) = 6𝑥 𝑖´(𝑥) = 6 f(3)= 5𝑒 6∗3 = 5𝑒18
𝑎(𝑥) = 5𝑒 𝑥 𝑎´(𝑥) = 5𝑒 𝑥 f´(3)= 30𝑒 6∗3 = 30𝑒18 = m
5𝑒18 = 30𝑒18 ∗ 3 + 𝑏
5𝑒18 = 90𝑒18 + 𝑏 І -90𝑒18
−85𝑒18 = 𝑏 → t(x)= 𝟑𝟎𝒆𝟏𝟖 ∗ 𝐱 − 𝟖𝟓𝒆𝟏𝟖
Normalengleichung aufstellen
−𝟏
Gleiches Vorgehen wie bei der Tangentengleichung, Ausnahme: m → 𝒎
Grafik & Tabelle,
Graph zeichnen
−1 lassen ►Analyse ►
b muss neu ausgerechnet werden, X und Y-Werte bleiben gleich → N(x)= 𝑚
∗𝑥+𝑏 Skizze ► Normale
► X-Wert eingeben
► OK ► EXE
2
CP400)
1. Zur Bestandsberechnung aus Änderungsraten oder
Gesamtänderung über einen bestimmten Zeitraum Aufleiten mit
Grenzen:
2. Flächenberechnung zwischen X-Achse und der Funktion (auf Nullstellen achten!)
𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒
Main, Keyboard ►
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒) − 𝐹(𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒)(𝑆𝑡𝑎𝑚𝑚𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛)]
𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 Math2 ► ∫
3
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: ∫ 2𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = [ − 𝑒 −2𝑥 ]
1 Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen: 𝐴 Grafik & Tabelle,
𝑏 𝑏 𝑏 Graph zeichnen
= [−𝑒 −2∗3 ] − [−𝑒 −2∗1 ] = 0,1328 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 (𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 lassen ► Analyse
i(x)= -2x i´(x)= -2 ►Grafische Lösung
Vorgehen: 1. Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, ►Integral ►∫ 𝑑𝑥
a(x)= 2𝑒 𝑥 A(x)= 2𝑒 𝑥 𝑏] bestimmen (Schnittstelle) ►1.untere Grenze
eingeben ►im
1 1 Fenster obere
F(x)= 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) → F(x)= −2 ∗ 2𝑒 −2𝑥 = - 𝑒 −2𝑥 2. Untersuchung Vorzeichen f(x) in den
Grenze eingeben
Teilbereich
F(sin(x))= -cos(x) F(-cos(x)= -sin(x) 3. Bestimme die Inhalte der Teilflächen
und addiert dies
F( -sin(x)= cos(x) F(cos (x) = sin(x)
Bestandsfunktion bestimmen
1. Stammfunktion bestimmen
2. +c ran hängen
Flächeninhalt zwischen zwei
3. B(0) berechnen und auf die linke Seite der Gleichung schreiben
Funktionen: 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
4. Nach c auflösen
𝑎 =5.∫ (𝑓(𝑥) −
C einsetzen hinter𝑏die
𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑎 Vorgehen: 1.
Stammfunktion
Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, 𝑏]
bestimmen (Schnittstelle) 2.
Aufleitung
Untersuchung Vorzeichen f(x) in den Aufleiten ohne
Teilbereich 3. Bestimme die−2𝑥Inhalte der− 1)2 Grenzen:
Potenzregel: f(x)= 𝑥 𝑛 f(x)= −4𝑒 oder (2𝑥 a(x) i(x)
Teilflächen und addiert dies
1 1
Main ► Aktion ►
1
F(x)= 𝑛+1 ∗ 𝑥 𝑛+1 (+c) F(x)= 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) (+c) bsp. −2 × −4𝑒 −2𝑥 Berechnungen ►
∫
Nur wenn i(x) linear ist!
Brüche aufleiten: f(x)= 𝑢 (𝑥) Ableiten:
𝑣(𝑥)
𝑢´∗𝑣−𝑣´∗𝑢 Main, Aktion ►
F(x)=
𝑣2 Berechnungen ► diff
Ableitung Verkettete Funktionen mit inneren und äußeren Funktionen
Kettenregel: Beispiel: f(x)= (−3𝑥 + 6)3 i(x)= -3x+6 a(x)= 𝑥 3
i´(x)= -3 a´(x)= 3𝑥 2
f´(x)= i´(x)*a´(i(x)) → f´(x)= -3∗ 3 ∗ (−3𝑥 + 6)2 = −9 ∗ (−3𝑥 + 6)2
Matheklausur P4, 225 Minuten
, Produktregel: Produktfunktionen mit mehreren Produkten
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ∗ (−4𝑥 + 𝑥 2 ) u(x)= 𝑥 3 𝑣(𝑥) = −4𝑥 + 𝑥 2
u´(x)= 3𝑥 2 𝑣´(𝑥) = −4 + 2𝑥
f´(x)= 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣´(𝑥) + 𝑢´(𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) → 𝑥 3 ∗ (−4𝑥 + 2𝑥) + (−4𝑥 + 𝑥 2 ) ∗ 3𝑥 2
bei mehr Produkten gilt: f´(𝑥) = 𝑢´𝑣𝑤𝑥 + 𝑢𝑣´𝑤𝑥 + 𝑢𝑣𝑤´𝑥 + 𝑢𝑣𝑤𝑥´ etc…
Faktorregel: f(x)=a⋅g(x)⇒f′(x)=a⋅g′(x)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
f(x)=g(x)+h(x) → f´(x)=g´(x)+h´(x)
Summenregel:
Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet
und die Ableitungen addiert.
f´(𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 𝑓´(𝑎 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 ∙ ln(𝑎)
Tangentengleichung aufstellen CAS-Befehle (fx-
CP400)
1. Ableitung bestimmen
2. Steigung vom Punkt X bestimmen
Grafik & Tabelle,
→ Wert der Steigung = m Graph zeichnen
3. Y-Wert für Punkt X bestimmen lassen ►Analyse ►
4. Diesen in die linke Seite der Gleichung einsetzen Skizze ► Tangente
(𝑌 = 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏) ( X und Y als Werte einsetzen) ►X-Wert eingeben
5. Gleichung nach b auflösen ►OK ► EXE
→ T(x)= 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏
𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 5𝑒 6𝑥 𝑓´(𝑥) = 6 ∗ 5𝑒 6𝑥 = 30𝑒 6𝑥 P (3/f(3) → P (3/ 5𝑒18 )
𝑖(𝑥) = 6𝑥 𝑖´(𝑥) = 6 f(3)= 5𝑒 6∗3 = 5𝑒18
𝑎(𝑥) = 5𝑒 𝑥 𝑎´(𝑥) = 5𝑒 𝑥 f´(3)= 30𝑒 6∗3 = 30𝑒18 = m
5𝑒18 = 30𝑒18 ∗ 3 + 𝑏
5𝑒18 = 90𝑒18 + 𝑏 І -90𝑒18
−85𝑒18 = 𝑏 → t(x)= 𝟑𝟎𝒆𝟏𝟖 ∗ 𝐱 − 𝟖𝟓𝒆𝟏𝟖
Normalengleichung aufstellen
−𝟏
Gleiches Vorgehen wie bei der Tangentengleichung, Ausnahme: m → 𝒎
Grafik & Tabelle,
Graph zeichnen
−1 lassen ►Analyse ►
b muss neu ausgerechnet werden, X und Y-Werte bleiben gleich → N(x)= 𝑚
∗𝑥+𝑏 Skizze ► Normale
► X-Wert eingeben
► OK ► EXE
2
