Samenvatting - Wiskunde 'Module 9; complexe getallen' GO! Onderwijs

Complexe getallen

1. CARTESISCHE VORM VAN EEN COMPLEX GETAL

1.1 Definitie
Definitie
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, waarbij a, b ∈ ℝ en i² = -1.
Informatie
Het symbool i noemen we de imaginaire eenheid.
Voor een willekeurig complex getal gebruikt men vaak de letter z. Dan is z = a +bi, hierbij is a het
reële deel van z en b het imaginaire deel.
De verzameling van alle complexe getallen stellen we als volgt voor:
Merk op
Als b = 0 bij z = a + bi, dan is z = a een zuiver reëel getal.
Als a = 0 bij z = bi, dan is z = bi een zuiver imaginair getal.
i is een zuiver imaginair getal (en dus geen reëel getal).

1.2 Bewerkingen met complexe getallen
a. Som van complexe getallen
Rekenregel Voorbeeld
z1 + z2 = a + bi + c + di 4 + 7i + 1 - 6i = (4 + 1) + (7i - 6i)
= a + c + i(b + d) =5+i
b. Verschil van complexe getallen
Rekenregel Voorbeeld
z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) 1 + 5i - 4 - 2i = (1 - 4) + i(5 - 2)
= a + bi - c - di = -3 + 3i
= a – c + i(b - d)
c. Product van complexe getallen
Rekenregel Voorbeeld
z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) (2 - i) · (5 + 3i) = 10 + 6i - 5i - 3i²
= ac + adi + bci + bdi² = 10 + 3 + i
= ac + adi + bci + bd · (-1) = 13 + i
= (ac - bd) + i(ad + bc)
d. Omgekeerde van complexe getallen
Rekenregel Voorbeeld Merk op
1 1· ( a – bi ) a – bi 1 1 7+4 i
z-1 = = = 2 2 = · 7 + 4i = complex
z ( a+bi ) · ( a – bi ) a +b 7 – 4 i 7 – 4 i 7+4 i
toegevoegde van 7 - 4i.
7+4 i
=
7 – ( 4 i2 )
2

7+4 i
=
65
7 4
= + i
65 65
e. Quotiënt van complexe getallen
Rekenregel Voorbeeld