3-Statistiek
Table of Contents
Kansrekenen.........................................................................................................................................3
Uniforme kansverdelingen...................................................................................................................8
Productregel..........................................................................................................................................9
Voorwaardelijke kansen......................................................................................................................10
Partitie.................................................................................................................................................10
Regel van Bayes.................................................................................................................................12
Onafhankelijke kans...........................................................................................................................12
Toevalsveranderlijke...........................................................................................................................13
Kansfunctie f(x) discreet....................................................................................................................13
Cumulatieve Kansfunctie F(x) discreet..............................................................................................14
Berekenen van kansen met een discrete toevalsveranderlijke............................................................14
Kansdichtheidsfunctie f(x) continu....................................................................................................15
Cumulatieve Kansdichtheidsfunctie F(x) continu..............................................................................15
Berekenen van kansen met een continue toevalsveranderlijke..........................................................15
Inverse Cumulatieve Kansdichtheidsfunctie F(x) continu.................................................................16
Verwachtingswaarde E(X) of µ of µx.................................................................................................16
Variatie var(X)....................................................................................................................................16
Standaardafwijking.............................................................................................................................16
Centrale momenten.............................................................................................................................16
Afgeleide v.d. toevalsveranderlijke....................................................................................................17
De Z-score..........................................................................................................................................17
Discrete toevalsveranderlijke.............................................................................................................17
Discrete kansverdelingen....................................................................................................................17
Dichotoom experiment..............................................................................................................18
Soorten dichotome gebeurtenissen............................................................................................18
Binomiale kansverdeling...........................................................................................................19
Matlab...................................................................................................................................19
Wet van de grootte getallen (binominale verdeling)............................................................19
Geometrische kansverdeling.....................................................................................................20
Matlab...................................................................................................................................20
Poisson kansverdeling...............................................................................................................21
Matlab...................................................................................................................................21
Eigenschappen:.....................................................................................................................21
Continue kansverdelingen..................................................................................................................22
Matlab.......................................................................................................................................23
eigenschappen...........................................................................................................................23
De centrale limiet stelling.........................................................................................................24
De voortplantingswet................................................................................................................24
Centrale limietstelling (Benadering aan binomiale verdeling).................................................24
MATLAB..................................................................................................................................25
Veelgebruikte kansen................................................................................................................25
H5 data................................................................................................................................................27
H6 schatten van parameters................................................................................................................29
Wat alsen M is onbekend..........................................................................................................31
1
, Sigma gekend............................................................................................................................32
Sigma niet gekend.....................................................................................................................32
H7 toetsen van hypothese...................................................................................................................35
Bij tweezijdige hypothese.........................................................................................................36
Bij eenzijdig rechts en links......................................................................................................36
Bij tweezijdig............................................................................................................................37
Bij eenzijdig rechts en links......................................................................................................37
Risico van de 1ste soort alpha...................................................................................................38
Risico van de 2de soort beta.....................................................................................................38
Hoe?......................................................................................................................................38
H8 In verband brengen van toevalsveranderlijke variabelen.............................................................39
SS_E..........................................................................................................................................40
Het model..................................................................................................................................40
Matlab.......................................................................................................................................40
SS_Y.........................................................................................................................................41
SS_E..........................................................................................................................................41
SS_R..........................................................................................................................................41
Conclusie SS’en........................................................................................................................41
Steekproef Determinant Coëfficiënt R².....................................................................................41
Steekproef Correlatie Coëfficiënt R..........................................................................................42
Matlab R zoeken.......................................................................................................................42
2
,Kansrekenen
DEF: We bestuderen verschijnselen die afhankelijk zijn van het toeval.
• Aantal studenten die iets koopt in het restaurant
• som van de ogen van 2 dobbelstenen
Het toeval moet aan volgende eigenschappen voldoen:
1. Het moet Herhaalbaar zijn
2. Bij elk experiment mag er maar één resultaat zijn
3. Het resultaat mag niet voorspelbaar zijn, maar er mag wel een vermoeden zijn.
Bij genoeg experimenten kunnen we wel concluderen dat er een “voorspelbaarheid” in zit.
Een gebeurtenis:
Een resultaat van het verschijnsel.
(absolute) frequentie f :
Het totaal aantal experimenten.
Relatieve frequentie fA :
Hoe de gebeurtenis t.o.v. de experimenten in verhouding staat.
mA
f A= 0≤f A≤1
m
m A : aantal keren dat A zich heeft voorgedaan(gebeurtenis)
m: het totaal aantal experimenten
Kans:
Dit is de relatieve frequentie f A wanneer we ∞ experimenten uitvoeren.
kans op A=P[ A]=f A indien m→∞
De kans kunnen we op 2 manieren berekenen.
1. Door meting (Effectief metingen uitvoeren en concluderen uit de genomen
resultaten)(steekproef).
2. Door redenering (Zonder iets te meten, bedenken hoe iets kan verlopen).
3
, Kansmodel:
Dit is een vooropgesteld model waarbij de som van al
de mogelijke uitkomsten (kansen) gelijk moeten zijn aan
1.
P[1]+ P[2]+...=P[W ]=1
Het kansmodel kunnen we op 2 manieren bekomen.
1. Door experimenten (opmeten van frequenties van gebeurtenissen)
2. Door redenering (Bv. Uniform (gelijk verdeeld) kansmodel, ... )
Elementaire gebeurtenis:
Een gebeurtenis met elk element en aparte kans.
Een elementaire gebeurtenis kan op 2 manieren voorkomen:
1. Niet-uniform (ongelijk verdeeld) kansmodel (treed het vaakst op)
2. uniform (gelijk verdeeld) kansmodel of Het kansmodel van Laplace.
1
P[1]=P[2]=...=
nW
Uitkomsten verzameling W:
Alle mogelijke uitkomstenverzamelingen van een toeval verschijnsel.
We noemen dit uitkomstenverzameling of universum W.
Soorten:
• discreet
◦ W bevat:
▪ Eindig aantal gebeurtenissen
▪ Oneindig aantal gebeurtenissen
• continu
◦ W is een interval van reële getallen
Vb. lengte van een persoon
4
Table of Contents
Kansrekenen.........................................................................................................................................3
Uniforme kansverdelingen...................................................................................................................8
Productregel..........................................................................................................................................9
Voorwaardelijke kansen......................................................................................................................10
Partitie.................................................................................................................................................10
Regel van Bayes.................................................................................................................................12
Onafhankelijke kans...........................................................................................................................12
Toevalsveranderlijke...........................................................................................................................13
Kansfunctie f(x) discreet....................................................................................................................13
Cumulatieve Kansfunctie F(x) discreet..............................................................................................14
Berekenen van kansen met een discrete toevalsveranderlijke............................................................14
Kansdichtheidsfunctie f(x) continu....................................................................................................15
Cumulatieve Kansdichtheidsfunctie F(x) continu..............................................................................15
Berekenen van kansen met een continue toevalsveranderlijke..........................................................15
Inverse Cumulatieve Kansdichtheidsfunctie F(x) continu.................................................................16
Verwachtingswaarde E(X) of µ of µx.................................................................................................16
Variatie var(X)....................................................................................................................................16
Standaardafwijking.............................................................................................................................16
Centrale momenten.............................................................................................................................16
Afgeleide v.d. toevalsveranderlijke....................................................................................................17
De Z-score..........................................................................................................................................17
Discrete toevalsveranderlijke.............................................................................................................17
Discrete kansverdelingen....................................................................................................................17
Dichotoom experiment..............................................................................................................18
Soorten dichotome gebeurtenissen............................................................................................18
Binomiale kansverdeling...........................................................................................................19
Matlab...................................................................................................................................19
Wet van de grootte getallen (binominale verdeling)............................................................19
Geometrische kansverdeling.....................................................................................................20
Matlab...................................................................................................................................20
Poisson kansverdeling...............................................................................................................21
Matlab...................................................................................................................................21
Eigenschappen:.....................................................................................................................21
Continue kansverdelingen..................................................................................................................22
Matlab.......................................................................................................................................23
eigenschappen...........................................................................................................................23
De centrale limiet stelling.........................................................................................................24
De voortplantingswet................................................................................................................24
Centrale limietstelling (Benadering aan binomiale verdeling).................................................24
MATLAB..................................................................................................................................25
Veelgebruikte kansen................................................................................................................25
H5 data................................................................................................................................................27
H6 schatten van parameters................................................................................................................29
Wat alsen M is onbekend..........................................................................................................31
1
, Sigma gekend............................................................................................................................32
Sigma niet gekend.....................................................................................................................32
H7 toetsen van hypothese...................................................................................................................35
Bij tweezijdige hypothese.........................................................................................................36
Bij eenzijdig rechts en links......................................................................................................36
Bij tweezijdig............................................................................................................................37
Bij eenzijdig rechts en links......................................................................................................37
Risico van de 1ste soort alpha...................................................................................................38
Risico van de 2de soort beta.....................................................................................................38
Hoe?......................................................................................................................................38
H8 In verband brengen van toevalsveranderlijke variabelen.............................................................39
SS_E..........................................................................................................................................40
Het model..................................................................................................................................40
Matlab.......................................................................................................................................40
SS_Y.........................................................................................................................................41
SS_E..........................................................................................................................................41
SS_R..........................................................................................................................................41
Conclusie SS’en........................................................................................................................41
Steekproef Determinant Coëfficiënt R².....................................................................................41
Steekproef Correlatie Coëfficiënt R..........................................................................................42
Matlab R zoeken.......................................................................................................................42
2
,Kansrekenen
DEF: We bestuderen verschijnselen die afhankelijk zijn van het toeval.
• Aantal studenten die iets koopt in het restaurant
• som van de ogen van 2 dobbelstenen
Het toeval moet aan volgende eigenschappen voldoen:
1. Het moet Herhaalbaar zijn
2. Bij elk experiment mag er maar één resultaat zijn
3. Het resultaat mag niet voorspelbaar zijn, maar er mag wel een vermoeden zijn.
Bij genoeg experimenten kunnen we wel concluderen dat er een “voorspelbaarheid” in zit.
Een gebeurtenis:
Een resultaat van het verschijnsel.
(absolute) frequentie f :
Het totaal aantal experimenten.
Relatieve frequentie fA :
Hoe de gebeurtenis t.o.v. de experimenten in verhouding staat.
mA
f A= 0≤f A≤1
m
m A : aantal keren dat A zich heeft voorgedaan(gebeurtenis)
m: het totaal aantal experimenten
Kans:
Dit is de relatieve frequentie f A wanneer we ∞ experimenten uitvoeren.
kans op A=P[ A]=f A indien m→∞
De kans kunnen we op 2 manieren berekenen.
1. Door meting (Effectief metingen uitvoeren en concluderen uit de genomen
resultaten)(steekproef).
2. Door redenering (Zonder iets te meten, bedenken hoe iets kan verlopen).
3
, Kansmodel:
Dit is een vooropgesteld model waarbij de som van al
de mogelijke uitkomsten (kansen) gelijk moeten zijn aan
1.
P[1]+ P[2]+...=P[W ]=1
Het kansmodel kunnen we op 2 manieren bekomen.
1. Door experimenten (opmeten van frequenties van gebeurtenissen)
2. Door redenering (Bv. Uniform (gelijk verdeeld) kansmodel, ... )
Elementaire gebeurtenis:
Een gebeurtenis met elk element en aparte kans.
Een elementaire gebeurtenis kan op 2 manieren voorkomen:
1. Niet-uniform (ongelijk verdeeld) kansmodel (treed het vaakst op)
2. uniform (gelijk verdeeld) kansmodel of Het kansmodel van Laplace.
1
P[1]=P[2]=...=
nW
Uitkomsten verzameling W:
Alle mogelijke uitkomstenverzamelingen van een toeval verschijnsel.
We noemen dit uitkomstenverzameling of universum W.
Soorten:
• discreet
◦ W bevat:
▪ Eindig aantal gebeurtenissen
▪ Oneindig aantal gebeurtenissen
• continu
◦ W is een interval van reële getallen
Vb. lengte van een persoon
4
