Teoría de las funciones en matemáticas

Solucionario

9 Estudio de funciones
ACTIVIDADES INICIALES

9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones.
x4 x2  7x
12
a) 2x2
10x
12
0 b) ——  0 c) x  x3  0 d) — —  0
x
1 x2  9

a) (3, 2) b) (1, 4] c) (, 1]  [0, 1] d) (, 3)  (4, )


9.II. Halla el valor en radianes de los siguientes ángulos. 30, 45, 60, 90, 120, 180, 225 y 330

2 5 11
30 ; 45 ; 60 ; 90 ; 120 ; 180 ; 225 ; 330
6 4 3 2 3 4 6

    3 4 3
9.III. Calcula el valor en grados de estos ángulos: ——, ——, ——, ——, , ——, —— y ——.
2 3 4 6 4 3 2

3 4 3
90, 60, 45, 30, 180, 135, 240 y 270
2 3 4 6 4 3 2


9.IV. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos  y  de la figura.
b) Con ayuda de la calculadora, halla el valor de  y . β
3
3 α
a) La hipotenusa del triángulo vale 5 unidades por Pitágoras. Por tanto, sen ;
5 4
4 4 3 3 4
sen ; cos ; cos ; tg ; tg
5 5 5 4 3
b) 53,13 y 36,87




EJERCICIOS PROPUESTOS

9.1. Encuentra los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones y estudia su signo.

(x  3)(x
2)
a) f(x)  6x  5 b) f (x)  x2
3x  4 c) f(x)  ——
x
1

a) Corte con el eje X:
56 , 0. Corte con el eje Y: (0, 5)
5 5
Signo: positivo si 6x  5  0, es decir, x  . Negativo si x
.
6 6

b) Corte con el eje X: (1, 0) y (4, 0). Corte con el eje Y: (0, 4)
Signo: positivo si x2  3x  4  0, es decir, en (, 4)  (1, ). Negativo en (4, 1).

c) Corte con el eje X: (3, 0) y (2, 0). Corte con el eje Y: (0, 6)
(x  3)(x  2)
Signo: positivo si  0, es decir, en (2, 1)  (3, ). Negativo en (∞, 2)  (1, 3).
x  1


9.2. Representa mediante una tabla de valores la función y  
4  x2. Y


x 2 1 0 1 2
1
4
 x2 0 3 2 3 0

O 1 X




62 Solucionario

,9.3. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de estas simetrías.
x2 1
a) f (x)  — — b) f (x)  — — c) f(x)  x5  x3
x
x  4
2
x3
1

x2
a) f(x) f (x), luego es par.
x  4
2



1
b) f (x)  f (x), f (x), luego no presenta estas simetrías.
x3  1
c) f (x) x5  x3  x f (x), luego es impar.


9.4. Dada la parábola f (x)  x2  6x:
a) Halla sus puntos de corte con los ejes.
b) Calcula su vértice.
c) Represéntala gráficamente y comprueba que es cóncava hacia arriba.

a) Corte con el eje X: (0, 0) y (6, 0). Corte con el eje Y: (0, 0)
b) V(3, 9)
c) Y




1
O 1 X




9.5. Dada la parábola f (x)  x2
10x:
a) ¿En qué puntos su ordenada vale 9?
b) ¿En algún punto toma el valor 30?
c) Represéntala gráficamente y confirma los resultados anteriores.

a) x2  10x 9 si x 1 o x 9
b) x  10x
2
30 no tiene solución.
c) Y


5
O 2 X




9.6. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones polinómicas.
a) f (x)  x2  3x
1 c) f (x)  3x7
5x3  x
b) f(x)  2x4
x2
6 d) f (x)  x8
x5  8x2
12

a) f (x) x2  3x  1  f(x), f (x), luego no presenta estas simetrías.
b) f (x) 2x4  x2  6 f (x), luego es par.
c) f (x) 3x  5x  x
7 3
f (x), luego es impar.
d) f (x) x8  x5 8x2  12  f (x), f (x), luego no presenta estas simetrías.



Solucionario 63

, Solucionario
9.7. Esboza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas.
a) f(x)  (x  1)(x
1)(x  2) c) f (x)  2x(x2  3x
2)
b) f(x)  (x2  4)(x
1) d) f (x)  4(x  1)2(x  3)2

a) Corte con Y: (0, 2). Cortes con X: (1, 0), (1, 0), (2, 0). lim f(x) , lim f (x) 
x→ x→

Si 1
x
1, f (x)  0, y si 1
x
2, f(x)
0
b) Corte con Y: (0, 4). Cortes con X: (2, 0), (2, 0), (1, 0). lim f(x) , lim f (x) 
x→ x→

Si 2
x
1, f (x)  0, y si 1
x
2, f (x)
0
c) Corte con Y: (0, 0). Cortes con X: (0, 0), (1, 0), (2, 0). lim f(x) , lim f (x) 
x→ x→

Si 0
x
1, f (x)
0, y si 1
x
2, f(x)  0
d) Corte con Y: (0, 36). Cortes con X: (1, 0), (3, 0). lim f(x) , lim f(x) 
x→ x→
f (x)  0 siempre.

a) Y c) Y


1
1
O 1 X
O 1 X




b) Y d) Y
1
O 1 X
1
O 1 X




9.8. Razona cuáles de las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales.
a) x: precio en euros de ciertos artículos.
y: precio en dólares de esos mismos artículos.
b) x: velocidad que lleva un ciclista en un recorrido.
y: tiempo que tarda en completar el recorrido.
c) x: número de personas que acuden a un sorteo.
y: probabilidad de que una de ellas sea agraciada.
d) Si llevo 100 euros en el bolsillo:
x: dinero que gasto.
y: dinero que me queda.

a) Si compro n artículos y pago x euros e y dólares, si 1 dólar k euros, entonces y kx, por lo que x e y son
directamente proporcionales.
e
b) Como v , siendo v la velocidad, e el espacio recorrido y t el tiempo empleado en recorrerlo, tenemos en
t
e e
nuestro caso: x , de donde y , por lo que x e y son inversamente proporcionales.
y x
c) La probabilidad de que una persona sea agraciada en un sorteo de n personas, si todas juegan lo mismo, o
1 1
sea, si todas tienen igual probabilidad de ser agraciadas, es p , en nuestro caso: y , por lo que x e y
n x
son inversamente proporcionales.
d) y 100  x, por lo que x e y no son ni directa ni inversamente proporcionales.



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