Samenvatting Micro-economie/Bedrijfseconomie KULeuven Handelswetenschappen

MICRO-ECONOMIE
1 OPFRISSING WISKUNDIGE CONCEPTEN
1.1 INTERPRETATIE AFGELEIDEN
De eerste afgeleide geeft aan wat de helling van de raaklijn aan de onderliggende functie (F(x)) is,
m.a.w. of de onderliggende functie (F(x)) stijgt, daalt of vlak is:
- Interpretatie 1e afgeleide (F’(x))
- F’(x) > 0 --> functie F(x) is stijgend
- F’(x) < 0 --> functie F(x) is dalend
- F’(x) = 0 --> functie F(x) is vlak
- (of bereikt een lokaal maximum of minimum)

 Wanneer de rode lijn de blauwe lijn (de functie raken)
zijn dit raaklijnen
o Naar boven = positieve helling
o Naar beneden = negatieve helling
o Hoe hoger het getal = hoe steiler
o Negatief getal = daalt




1.2 NOTATIE AFGELEIDEN




1.3 BASIC REKENREGELS AFGELEIDEN




1

,1.4 WAARVOOR GAAN WE AFGELEIDEN (VOORNAMELIJK) GEBRUIKEN?
Zoeken van maxima en minima, bijvoorbeeld:
- Maximeer het nut (≈ tevredenheid) van de consument
- Maximeer de winst
- Minimeer de kosten
- …

1.5 HOE KUNNEN AFGELEIDEN NUTTIG ZIJN OM MIN/MAX TE BEPALEN?
- Bij minimum of maximum is helling raaklijn (= 1e afgeleide) gelijk aan 0
- Vb. 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 + 1
▪ met y = winst en x = output
- Bij welk productieniveau wordt winst maximaal?
▪ Niet zo een slimme methode
▪ Efficiëntere methode
➢ Opleggen dat helling raaklijn gelijk moet zijn aan 0
➢ 𝑑𝑦 = −2𝑥 + 6 = 0 ⇒ 2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = 3

 Helling van de raaklijn moet 0 zijn! Dwingen dat deze 0 moet zijn en dan ga je uitzoeken voor
welke x deze 0 gaat zijn. (Bij de bovenstaande grafiek is dit bij x = 3)

1.6 PARTIËLE AFGELEIDEN?
- In realiteit zijn er meestal meerdere variabelen die een uitkomst bepalen
▪ Winst hangt af van meerdere producten/outputs
▪ Nut van consument hangt af van meerdere consumptiegoederen
▪ Productie van bedrijf hangt af van meerdere inputs
▪ …
- Optimeringsprobleem (bepalen van min/max) moet hiermee rekening houden
▪ Partiële afgeleiden
▪
 Eerst zijn we er telkens vanuit gegaan dat alles afhing van 1 variabele maar in de praktijk hangt
de keuze van iets af van meerdere variabelen (bijvoorbeeld het hangt van veel producten af of
je het gaat kopen of niet)

 Grafiek links onderaan: grafiek hangt
af van 1 variabele
 Grote grafiek rechts: grafiek hangt af
van meerdere variabele (3)
 Links bovenaan: is aan de hand van 2
variabelen
 Meer dan 3 dimensies kan je niet
tekenen



 Eerst moest je 0 zoeken voor het maximum en hierbij moet de helling 0 zijn in meerdere (2)
dimensies. Hierbij heb je dus geen raaklijn maar een raakvlak. Als je bijvoorbeeld op een peer
zit moet je vanboven kunnen staan en dan moet het daar allemaal 0 zijn en heb je dus meer
x’en nodig waardoor je een raakvlak krijgt.


2

,1.7 NOTATIE PARTIËLE AFGELEIDEN
- Tot nu toe: y enkel afhankelijk van 1 variabele, met name x
- Sommige functies hangen echter af van meerdere variabelen, bv. 𝑦 = 𝐹(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3)
▪ y hangt af van 3 verschillende variabelen: x1, x2 en x3
▪ 𝐹(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3) zou bijvoorbeeld een productiefunctie kunnen zijn waarbij y de
geproduceerde output voorstelt
➢ Output hangt af van 3 productiefactoren: aantal werkuren (x1), aantal
machine-uren (x2) en hoeveelheid grondstoffen (x3).
➢ Wanneer we een dergelijke functie (bestaande uit 2 of meer variabelen)
afleiden naar 1 van deze variabelen (bv. naar x1), noemen we dat 'partieel
afleiden' (naar x1): dit wil zeggen dat we op dat moment enkel afleiden naar
x1 en daarbij alle andere variabelen (x2 en x3) a.h.w. als een
constante/parameter beschouwen.


➢
 Partiële afgeleiden = meerdere variabelen
 Rekenregels hetzelfde dan voor (gewone) afgeleiden




1.8 VOORBEELD: MAXIMEER WINST (HANGT AF VAN 2 OUTPUTS)




 Heuvel in alle richtingen gelijk aan 0! Hoe dwing je die naar 0? Door deze af te leiden naar q1
en zo afleiden dat de helling in q1 0 moet zijn en dit ook voor q2. Dan heb je een stelsel van 2
vergelijkingen en 2 onbekenden en dit is volledig oplosbaar.
 Winst zal maximaal zijn als ik 4 miljoen stuks kan verkopen van Q1 en als ik 3 miljoen stuks
kan verkopen van Q2.



3

, 1.9 MAXIMEREN/MINIMEREN ONDER NEVENVOORWAARDEN
- In de (bedrijfs)economische realiteit opereren agenten (consumenten, producenten, …)
dikwijls met bepaalde restricties, bv.
▪ Budgetrestrictie bij consument, tijdsrestrictie (bv. 24 u/dag)
▪ Capaciteitsbeperkingen bij producenten (bv. productietechnologie kan slechts
bepaalde output genereren gegeven een inputmix)
- Restricties zijn inherent aan (bedrijfs)economische setting
▪ Gevolg: het absolute minimum of maximum is dikwijls niet haalbaar
▪ Optimeren zonder restricties (nevenvoorwaarden) vs met restricties
▪ Unconstrained optimisation vs constrained optimisation
- Grafisch
▪ 3D figuur wordt ‘afgesneden’ en optimering (min/max) is enkel mogelijk op snijvlak

 Je kan op de winstheuvel van op de vorige dia, hier een maximum op plaatsen. Maar vaak
worden bedrijven… beperkt door een aantal restricties (bijvoorbeeld budget-, tijd-, machine-
en technologiebeperking… )
 Restricties/nevenvoorwaarden = beperkingen
o Deze moet je meenemen in het probleem integreren zodat je een begrensd minimum
of maximum creëert.
o Vaak kan je het enkel aanpassen in het snijpunt.
 Bijvoorbeeld bij de peer: als je nevenvoorwaarden hebt dan gaat er een stuk worden
afgesneden van de peer waardoor je enkel nog kan optimaliseren op het snijvlak. Dat grenst
aan het punt dat is afgesneden aangezien dat stuk niet meer geldt maar je wel kijkt naar het
snijvlak.

1.10 VOORBEELD: NUTSMAXIMALISATIE CONSUMENT ONDER
NEVENVOORWAARDE VAN BUDGETRESTRICTIE




 Constraint = beperking

1.11 CONSTRAINED CONSUMER CHOICE WITH CALCULUS

 Lagrangian functie
 Wanneer alles naar 1 kant is gebracht
wordt dat de functie waarmee je kan
werken om het maxima te berekenen, je
moet wel rekening houden met de ‘landa’
(nevenvoorwaarde)
 Enkel uitkomst kennen van Lagrangian




4