Extremwerte
A
ü
Definition globale undlokale Extrema
f D IR DEIR ED
1 f hat in das globale Maximum wenn
gilt f x ft füralle ED
2 f hat in Xo ein lokales Maximum wenn es ein E o sodass
gibt für alle ED
mit x x E
gilt ff fho
3 f hat in das
globale Minimum wenn
gilt f x ft füralle ED
4 hat in Xo
f
mit x x
ein lokales Minimum wenn es ein E o
gibt
sodass
für alle ED
E
gilt ff ft
Falls
für alle Xo X ED H xd E gilt flx flx strikteslokalesMinima
Maximumanalog
V
Bsp Habe
Ü
Maximum
rät
Minh s
e
I notw B für lokale Extrema im Inneren
Sei
fRandpunkt
D IR diffbar und x Dein innerer Punkt
En ein LokalesExtremumhat
Wenn
f in x
dann
gilt fix o
Beweisidee
fürMinimum
exemplarisch
t.EE 4 E I4
I
EI4E
, 4.4in
E FIETE so fix o
Bsp 1 flx X3 streng monoton wachsend X x x D IR
fx 3J f lol 0 Aber
f hatkein lokalesExtremum in o_0
Kandidaten
fürlokaleExtrema f D R
alle Punkte im inneren von D mit flx.to
Randpunkte von D
nichtdifferenzierbar ist
Punkte in denen
f
Bsp flxklxt f hat in x o dasglobale Minimum
f ist in x 0 nichtdiffbar
my
Der Mittelwertsatz
1
I Mittelwertsatz
b a
b er
Sei Ie IR ein Intervall a.be g
a b Sei f I IR diffbar
Dann
gibt es ein Eg zwischen a und b sodass
gilt
Beweis Sekante SG Hüft a
fla
gk fk SG gla o gibt 0
g ist diffbar ist stetig
A
ü
Definition globale undlokale Extrema
f D IR DEIR ED
1 f hat in das globale Maximum wenn
gilt f x ft füralle ED
2 f hat in Xo ein lokales Maximum wenn es ein E o sodass
gibt für alle ED
mit x x E
gilt ff fho
3 f hat in das
globale Minimum wenn
gilt f x ft füralle ED
4 hat in Xo
f
mit x x
ein lokales Minimum wenn es ein E o
gibt
sodass
für alle ED
E
gilt ff ft
Falls
für alle Xo X ED H xd E gilt flx flx strikteslokalesMinima
Maximumanalog
V
Bsp Habe
Ü
Maximum
rät
Minh s
e
I notw B für lokale Extrema im Inneren
Sei
fRandpunkt
D IR diffbar und x Dein innerer Punkt
En ein LokalesExtremumhat
Wenn
f in x
dann
gilt fix o
Beweisidee
fürMinimum
exemplarisch
t.EE 4 E I4
I
EI4E
, 4.4in
E FIETE so fix o
Bsp 1 flx X3 streng monoton wachsend X x x D IR
fx 3J f lol 0 Aber
f hatkein lokalesExtremum in o_0
Kandidaten
fürlokaleExtrema f D R
alle Punkte im inneren von D mit flx.to
Randpunkte von D
nichtdifferenzierbar ist
Punkte in denen
f
Bsp flxklxt f hat in x o dasglobale Minimum
f ist in x 0 nichtdiffbar
my
Der Mittelwertsatz
1
I Mittelwertsatz
b a
b er
Sei Ie IR ein Intervall a.be g
a b Sei f I IR diffbar
Dann
gibt es ein Eg zwischen a und b sodass
gilt
Beweis Sekante SG Hüft a
fla
gk fk SG gla o gibt 0
g ist diffbar ist stetig
