Stochastik
Grundlagen Zufallsexperimente
• einstufiges Zufallsexperiment = genau einmal durchgeführt / nur 1 Schritt
• mehrstufiges Zufallsexperiment= mehrere Wiederholungen mit mehreren Schritten (meist Baumdiagramm)
• ERGEBNIS= einzelner möglicher Ausgang
• Ergebnismenge S = alle möglichen Ergebnisse
• EREIGNIS= Jede Teilmenge von S (bestimmter Möglichkeitspfad)
o sicheres Ergebnis = bei jeder Durchführung → A= S
o unmögliches Ereignis= tritt niemals ein →A=∅
o Elementarereignis = nur 1 Element → A = {2}
o Gegenereignis = Ergebnisse von S, die nicht zu A gehören → 𝐴̅ = 𝑆 ∖ 𝐴 → 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
ADDITIONSSATZ:
• größer als 2 ≙ 3 oder mehr → > ODER ]2; ∞ ] ̅
→ 𝐴 wäre < „Rote ODER gelbe“
• kleiner als 2 ≙ 1 oder weniger → < ODER [0; 2[ → 𝐴̅ wäre > ≙ Rote + gelbe → v → A ∪ B
• mind. 2 ≙ 2 oder mehr → ≥ ODER [2; ∞ ] ̅
→ 𝐴 wäre höchstens 1 wenn Schnittmenge da,
• höchstens 2 ≙ keins, 1, 2 → ≤ ODER [0, 2] ̅
→ 𝐴 wäre mind. 3 eigentlich A ∪ B=
P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
1. Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit Grundlagen
• absolute Häufigkeit H = wie oft ein Ereignis bei n Wiederholungen aufgetreten ist
• relative Häufigkeit h = Anzahl Ereignisauftreten im Verhältnis zu Wiederholungen
𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡
h=
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑊𝑑ℎ
→ Wird ein Zufallsexperiment unendlich oft durchgeführt, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten zu einem
festen P (Würfel 1/6) (=WARSCHEINLICHKEIT)
→ 100% („das Ganze“) = S=1 → h(E) + h(𝐸̅ ) = 1 → 0 ≤ P (e1) ≤ 1
Laplace Experiment
= alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit
(Würfel 1/6)
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝐸𝑟𝑔ⅇ𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠ⅇ, 𝑏ⅇ𝑖 𝑑ⅇ𝑛ⅇ𝑛 𝐸 ⅇ𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑡𝑡 "𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔"
𝑃(𝐸) = =
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎⅇ 𝐸𝑟𝑔ⅇ𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠ⅇ "𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ"
mehrstufige Zufallsexperimente im Baumdiagramm
P für einen Pfad=
alle P der Teilpfade multiplizieren
P für ein Ereignis =
alle erforderliche Ereignisse,
die in diesem Ergebnis stecken addieren
1. Stufe 2. Stufe
Grundlagen Zufallsexperimente
• einstufiges Zufallsexperiment = genau einmal durchgeführt / nur 1 Schritt
• mehrstufiges Zufallsexperiment= mehrere Wiederholungen mit mehreren Schritten (meist Baumdiagramm)
• ERGEBNIS= einzelner möglicher Ausgang
• Ergebnismenge S = alle möglichen Ergebnisse
• EREIGNIS= Jede Teilmenge von S (bestimmter Möglichkeitspfad)
o sicheres Ergebnis = bei jeder Durchführung → A= S
o unmögliches Ereignis= tritt niemals ein →A=∅
o Elementarereignis = nur 1 Element → A = {2}
o Gegenereignis = Ergebnisse von S, die nicht zu A gehören → 𝐴̅ = 𝑆 ∖ 𝐴 → 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
ADDITIONSSATZ:
• größer als 2 ≙ 3 oder mehr → > ODER ]2; ∞ ] ̅
→ 𝐴 wäre < „Rote ODER gelbe“
• kleiner als 2 ≙ 1 oder weniger → < ODER [0; 2[ → 𝐴̅ wäre > ≙ Rote + gelbe → v → A ∪ B
• mind. 2 ≙ 2 oder mehr → ≥ ODER [2; ∞ ] ̅
→ 𝐴 wäre höchstens 1 wenn Schnittmenge da,
• höchstens 2 ≙ keins, 1, 2 → ≤ ODER [0, 2] ̅
→ 𝐴 wäre mind. 3 eigentlich A ∪ B=
P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
1. Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit Grundlagen
• absolute Häufigkeit H = wie oft ein Ereignis bei n Wiederholungen aufgetreten ist
• relative Häufigkeit h = Anzahl Ereignisauftreten im Verhältnis zu Wiederholungen
𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡
h=
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑊𝑑ℎ
→ Wird ein Zufallsexperiment unendlich oft durchgeführt, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten zu einem
festen P (Würfel 1/6) (=WARSCHEINLICHKEIT)
→ 100% („das Ganze“) = S=1 → h(E) + h(𝐸̅ ) = 1 → 0 ≤ P (e1) ≤ 1
Laplace Experiment
= alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit
(Würfel 1/6)
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝐸𝑟𝑔ⅇ𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠ⅇ, 𝑏ⅇ𝑖 𝑑ⅇ𝑛ⅇ𝑛 𝐸 ⅇ𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑡𝑡 "𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔"
𝑃(𝐸) = =
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎⅇ 𝐸𝑟𝑔ⅇ𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠ⅇ "𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ"
mehrstufige Zufallsexperimente im Baumdiagramm
P für einen Pfad=
alle P der Teilpfade multiplizieren
P für ein Ereignis =
alle erforderliche Ereignisse,
die in diesem Ergebnis stecken addieren
1. Stufe 2. Stufe
