Extra herhalingsoefeningen Goniometrie – Verwante hoeken: OPLOSSING
Oefening 1 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen
tan − sin cos tan sin cos
1) = −
tan tan tan
sin cos
= 1− = 1 − cos 2 = sin 2
sin
cos
sin sin sin
2) (1 + tan ) = 1 +
sin + cos cos sin + cos
cos + sin sin
=
cos sin + cos
sin
= = tan
cos
1 + cos sin (1 + cos ) . (1 − cos ) sin 2
− = −
sin 1 − cos sin (1 − cos ) sin (1 − cos )
3)
1 − cos 2 − sin 2 sin 2 − sin 2
= = =0
sin (1 − cos ) sin (1 − cos )
4) ( sin + cos + 1) . ( sin + cos − 1)
= ( ( sin + cos ) + 1) . ( ( sin + cos ) − 1)
= ( sin + cos ) − 1
2
= sin 2 + 2sin cos + cos 2 − 1
= 1 + 2sin cos − 1
= 2sin cos
sin 2
tan ² cos 2
sin 2 sin 2
5) = = = = sin ²
1 + tan ² cos 2 + sin 2 cos 2 + sin 2 1
cos 2
cos 2 2
6) (1 + cot ² )(1 − cos ² ) = 1 + sin = sin + cos = 1
2 2
sin
2
, 7) sin 2 tan 2 − sec2 − cos2
sin 2 1
= sin 2 − − cos 2
cos cos 2
2
sin 4 − 1 − cos 4 ( sin − cos )( sin + cos ) − 1
2 2 2 2
= =
cos 2 cos 2
sin 2 − cos 2 − 1 − (1 − sin ) − cos
2 2
= =
cos 2 cos 2
− cos 2 − cos 2 −2 cos 2
= = = −2
cos 2 cos 2
Oefening 2 Toon aan dat sin 4 − cos4 = 1 − 2cos ²
LL = sin 4 − cos 4 = ( sin ² − cos 2 ) . ( sin ² + cos 2 ) = ( sin ² − cos 2 ) .1
= 1 − cos ² − cos 2 = 1 − 2cos ² = RL
Oefening 3 Vereenvoudig met behulp van verwante hoeken
1) sin sin( − ) − cos cos( − )
= sin sin − cos (− cos )
= sin 2 + cos 2
=1
2) cos + + cos − + cos − + cos(2 − )
2 2 2
= − sin + sin + cos − + cos ( − )
2
= − sin + sin + sin + cos
= sin + cos
3) tan( + ) + tan + + tan − + tan( − )
2 2
= tan − cot − tan − − tan
2
= tan − cot − cot − tan
= −2 cot
Oefening 1 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen
tan − sin cos tan sin cos
1) = −
tan tan tan
sin cos
= 1− = 1 − cos 2 = sin 2
sin
cos
sin sin sin
2) (1 + tan ) = 1 +
sin + cos cos sin + cos
cos + sin sin
=
cos sin + cos
sin
= = tan
cos
1 + cos sin (1 + cos ) . (1 − cos ) sin 2
− = −
sin 1 − cos sin (1 − cos ) sin (1 − cos )
3)
1 − cos 2 − sin 2 sin 2 − sin 2
= = =0
sin (1 − cos ) sin (1 − cos )
4) ( sin + cos + 1) . ( sin + cos − 1)
= ( ( sin + cos ) + 1) . ( ( sin + cos ) − 1)
= ( sin + cos ) − 1
2
= sin 2 + 2sin cos + cos 2 − 1
= 1 + 2sin cos − 1
= 2sin cos
sin 2
tan ² cos 2
sin 2 sin 2
5) = = = = sin ²
1 + tan ² cos 2 + sin 2 cos 2 + sin 2 1
cos 2
cos 2 2
6) (1 + cot ² )(1 − cos ² ) = 1 + sin = sin + cos = 1
2 2
sin
2
, 7) sin 2 tan 2 − sec2 − cos2
sin 2 1
= sin 2 − − cos 2
cos cos 2
2
sin 4 − 1 − cos 4 ( sin − cos )( sin + cos ) − 1
2 2 2 2
= =
cos 2 cos 2
sin 2 − cos 2 − 1 − (1 − sin ) − cos
2 2
= =
cos 2 cos 2
− cos 2 − cos 2 −2 cos 2
= = = −2
cos 2 cos 2
Oefening 2 Toon aan dat sin 4 − cos4 = 1 − 2cos ²
LL = sin 4 − cos 4 = ( sin ² − cos 2 ) . ( sin ² + cos 2 ) = ( sin ² − cos 2 ) .1
= 1 − cos ² − cos 2 = 1 − 2cos ² = RL
Oefening 3 Vereenvoudig met behulp van verwante hoeken
1) sin sin( − ) − cos cos( − )
= sin sin − cos (− cos )
= sin 2 + cos 2
=1
2) cos + + cos − + cos − + cos(2 − )
2 2 2
= − sin + sin + cos − + cos ( − )
2
= − sin + sin + sin + cos
= sin + cos
3) tan( + ) + tan + + tan − + tan( − )
2 2
= tan − cot − tan − − tan
2
= tan − cot − cot − tan
= −2 cot
