Overzicht statistiek 2
Verschillende toetsen met voorwaarden en werkwijze
Toetsen voor één populatie
T-toets voor één gemiddelde (one sample t-test)
Parametrische variant
Voorwaarden voor parametrische toetsen
ð De afhankelijke variabele is minstens gemeten op intervalniveau
ð De afhankelijke variabele is normaal verdeeld in de populatie
Formuleren van hypotheses
Stappenplan
o = steekproefgemiddelde
o = de waarde waarvoor we ons afvragen of het steekproef-gemiddelde hieraan gelijk is
o N = steekproefgrootte
df = N (steekproefgrootte) – 1
s=
å(X i - X )²
N -1
Beslissingsregels
• Overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien
o Linkseenzijdig: 𝑃! (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
o Rechtseenzijdig: 𝑃$ (𝑡"̅ ) ≥ 𝛼
o Tweezijdig (indien < μ0): 𝑃% (𝑡"̅ ) = 2 ∗ 𝑃& (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
o Tweezijdig (indien > μ0):𝑃% (𝑡"̅ ) = 2 ∗ 𝑃& (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
• Kritieke waarden – H0 verwerpen indien
o Linkseenzijdig: 𝑡"̅ ≤ − 𝑡'$()(*'
o Rechtseenzijdig: 𝑡"̅ ≥ 𝑡'$()(*'
o Tweezijdig: 𝑡"̅ ≤ − 𝑡'$()(*' of 𝑡"̅ ≥ 𝑡'$()(*'
1
,Chikwadraattoets voor frequenties (chi square goodness of fit test)
Non-parametrische variant
Voorwaarden
ð De categorieën waarvan de frequenties bestudeerd worden, moeten elkaar uitsluiten
ð 20% of minder van de categorieën heeft een verwachte frequentie kleiner dan 5
ð Geen enkele categorie heeft een verwachte frequentie van minder dan 1
ð Ordinale variabelen worden beschouwd als nominale variabelen
Formuleren van hypotheses
• Twee soorten nulhypothesen
o De eerste soort stelt dat de frequenties van alle categorieën gelijk zijn aan elkaar
H0: π1 = π2 = … = πk
H1: niet H0
o De tweede soort stelt voor elke categorie een bepaalde frequentie voorop
H0: π1 = πA ; π2 = πB ; … ; πk = πK
H1: niet H0
Stappenplan
o fo = geobserveerde frequenties
o fe = verwachte frequenties
df = k – 1
o k = aantal categorieën
.10 < r < .30 = klein effect
.30 < r < .50 = matig effect
r > .50 = sterk effect
Beslissingsregels
• Overschrijdingskansen, een mogelijkheid als we SPSS hebben
o χ²-verdeling is namelijk afhankelijk van df, dus er zijn te veel verschillende verdelingen.
• Je kritieke waarde is net als bij de t-toets afhankelijk van het aantal vrijheidsgraden (df) en ɑ
o Check tabel p.303-305 om te bepalen
2
, Toetsen voor twee populaties – onafhankelijke steekproeven
T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven (independent sample t-test)
Parametrische variant
Voorwaarden voor parametrische toetsen
ð De afhankelijke variabele is minstens gemeten op intervalniveau
ð De afhankelijke variabele is normaal verdeeld in de populatie
û Indien not the case moet de steekproef N ≧ 30 zijn
ð De steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar getrokken
Formuleren van hypotheses
• Nulhupothese: gemiddelde van de populatie waaruit de eerste steekproef getrokken is, is gelijk aan
het gemiddelde van de populatie waaruit de tweede steekproef getrokken is
• Alternatieve hypothese: biede gemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µ = gemiddelde
Linkseenzijdig Rechtseenzijdig Tweezijdig
H0: µ1 ≥ µ2 H0: µ1 ≤ µ2 H0: µ1 = µ2
H1: µ1 < µ2 H1: µ1 > µ2 H1: µ1 ≠ µ2
Stappenplan
• Stap 1: we berekenen de F-waarde en bijhorende vrijheidsgraden
• Stap 2: we lezen de kritieke F-waarde uit de tabel af en vergelijken deze met onze F-waarde
s ²1
F=
s ² 2 Opgelet: in teller altijd de grootste s² en in de noemer altijd de kleinste s²
df1 = n1 – 1
df2 = n2 – 1
F > kritieke waarde à ongelijke varianties
Beslissingsregels F-toets
• Overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien (enkel in SPSS)
o Pr (F) ≤ α à rechts/links eenzijdig
o Pd (F) = 2*Pr (F) ≤ α à tweezijdig
• Kritieke waarden - H0 verwerpen indien
o F ≥ 3 à rechts/links eenzijdig (we nemen α = .05 in de tabel)
o F ≥ 3.7 à tweezijdig (we nemen α = .05/2 = .025 in de tabel)
Indien gelijke varianties:
• Stap 3: we berekenen de gepoolde variantie
(n1 - 1)s ²1 + (n2 - 1)s ² 2
s² p =
(n1 - 1) + (n2 - 1)
• Stap 4: we berekenen met de uitkomsten van de gepoolde variantie de standaardfout van de
steekproevenverdeling
s² p s² p
s X 1- X 2 = +
n1 n2
3
Verschillende toetsen met voorwaarden en werkwijze
Toetsen voor één populatie
T-toets voor één gemiddelde (one sample t-test)
Parametrische variant
Voorwaarden voor parametrische toetsen
ð De afhankelijke variabele is minstens gemeten op intervalniveau
ð De afhankelijke variabele is normaal verdeeld in de populatie
Formuleren van hypotheses
Stappenplan
o = steekproefgemiddelde
o = de waarde waarvoor we ons afvragen of het steekproef-gemiddelde hieraan gelijk is
o N = steekproefgrootte
df = N (steekproefgrootte) – 1
s=
å(X i - X )²
N -1
Beslissingsregels
• Overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien
o Linkseenzijdig: 𝑃! (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
o Rechtseenzijdig: 𝑃$ (𝑡"̅ ) ≥ 𝛼
o Tweezijdig (indien < μ0): 𝑃% (𝑡"̅ ) = 2 ∗ 𝑃& (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
o Tweezijdig (indien > μ0):𝑃% (𝑡"̅ ) = 2 ∗ 𝑃& (𝑡"̅ ) ≤ 𝛼
• Kritieke waarden – H0 verwerpen indien
o Linkseenzijdig: 𝑡"̅ ≤ − 𝑡'$()(*'
o Rechtseenzijdig: 𝑡"̅ ≥ 𝑡'$()(*'
o Tweezijdig: 𝑡"̅ ≤ − 𝑡'$()(*' of 𝑡"̅ ≥ 𝑡'$()(*'
1
,Chikwadraattoets voor frequenties (chi square goodness of fit test)
Non-parametrische variant
Voorwaarden
ð De categorieën waarvan de frequenties bestudeerd worden, moeten elkaar uitsluiten
ð 20% of minder van de categorieën heeft een verwachte frequentie kleiner dan 5
ð Geen enkele categorie heeft een verwachte frequentie van minder dan 1
ð Ordinale variabelen worden beschouwd als nominale variabelen
Formuleren van hypotheses
• Twee soorten nulhypothesen
o De eerste soort stelt dat de frequenties van alle categorieën gelijk zijn aan elkaar
H0: π1 = π2 = … = πk
H1: niet H0
o De tweede soort stelt voor elke categorie een bepaalde frequentie voorop
H0: π1 = πA ; π2 = πB ; … ; πk = πK
H1: niet H0
Stappenplan
o fo = geobserveerde frequenties
o fe = verwachte frequenties
df = k – 1
o k = aantal categorieën
.10 < r < .30 = klein effect
.30 < r < .50 = matig effect
r > .50 = sterk effect
Beslissingsregels
• Overschrijdingskansen, een mogelijkheid als we SPSS hebben
o χ²-verdeling is namelijk afhankelijk van df, dus er zijn te veel verschillende verdelingen.
• Je kritieke waarde is net als bij de t-toets afhankelijk van het aantal vrijheidsgraden (df) en ɑ
o Check tabel p.303-305 om te bepalen
2
, Toetsen voor twee populaties – onafhankelijke steekproeven
T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven (independent sample t-test)
Parametrische variant
Voorwaarden voor parametrische toetsen
ð De afhankelijke variabele is minstens gemeten op intervalniveau
ð De afhankelijke variabele is normaal verdeeld in de populatie
û Indien not the case moet de steekproef N ≧ 30 zijn
ð De steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar getrokken
Formuleren van hypotheses
• Nulhupothese: gemiddelde van de populatie waaruit de eerste steekproef getrokken is, is gelijk aan
het gemiddelde van de populatie waaruit de tweede steekproef getrokken is
• Alternatieve hypothese: biede gemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar
µ = gemiddelde
Linkseenzijdig Rechtseenzijdig Tweezijdig
H0: µ1 ≥ µ2 H0: µ1 ≤ µ2 H0: µ1 = µ2
H1: µ1 < µ2 H1: µ1 > µ2 H1: µ1 ≠ µ2
Stappenplan
• Stap 1: we berekenen de F-waarde en bijhorende vrijheidsgraden
• Stap 2: we lezen de kritieke F-waarde uit de tabel af en vergelijken deze met onze F-waarde
s ²1
F=
s ² 2 Opgelet: in teller altijd de grootste s² en in de noemer altijd de kleinste s²
df1 = n1 – 1
df2 = n2 – 1
F > kritieke waarde à ongelijke varianties
Beslissingsregels F-toets
• Overschrijdingskansen - H0 verwerpen indien (enkel in SPSS)
o Pr (F) ≤ α à rechts/links eenzijdig
o Pd (F) = 2*Pr (F) ≤ α à tweezijdig
• Kritieke waarden - H0 verwerpen indien
o F ≥ 3 à rechts/links eenzijdig (we nemen α = .05 in de tabel)
o F ≥ 3.7 à tweezijdig (we nemen α = .05/2 = .025 in de tabel)
Indien gelijke varianties:
• Stap 3: we berekenen de gepoolde variantie
(n1 - 1)s ²1 + (n2 - 1)s ² 2
s² p =
(n1 - 1) + (n2 - 1)
• Stap 4: we berekenen met de uitkomsten van de gepoolde variantie de standaardfout van de
steekproevenverdeling
s² p s² p
s X 1- X 2 = +
n1 n2
3
