Samenvatting Overzicht bewijzen (en eigenschappen) wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen 1

Overzicht bewijzen en eigenschappen Wiskunde 1

WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2021-
2022 BEWIJZEN semester 1
O 5.3.1 GEMIDDELDE WAARDE VERSUS MARGINALE WAARDE (P. 131)
o Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we

o
d
dx
(⟨ f ⟩ ( x ) ) = d ( )
f (x ) x ∙ f ' ( x )−f ( x )
dx x
=
x
2



Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller.
Er geldt:

d
 Als de gemiddelde functie stijgt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≥ 0
dx

' ' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ( x ) of f ( x ) ≥
x
d
 Als de gemiddelde functie daalt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≤ 0
dx

' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x ) ≤ f ( x ) of f ( x ) ≤
x
d
 Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ( ⟨ f ⟩ ( x ) ) =0
dx

' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )=f ( x ) of f ( x )=
x
O 8.2.3. AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (P. 169)
o Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een
impliciete vorm F ( x , y )=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y=f ( x ) in
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
een punt x 0 gevonden worden als f ( x 0 )= met y 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 )=0 ,
F'y ( x 0 , y 0 )
o voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.
o Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie):
o F ( x , y )=0
o ⇓
o dF ( x , y )=0
o ⇓
' '
o F x dx+ F y dy=0
o ⇓
' '
o F y dy =−F x dx
o ⇓

, '
dy −F x
o = '
dx Fy
O
O
O
O 8.2.3. AFLEIDEN VIA IMPLICIETE FUNCTIES (P. 170)
O Eigenschap 8.6 (Impliciete functie  F ( x , y , z )=0 )
O Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in
O een impliciete vorm F ( x , y , z )=0 , dan kunnen de partiële afgeleiden voor de (onbekende)
O expliciete vorm z=f ( x , y ) in een punt ( x 0 , y 0 ) gevonden worden als
'
O
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
O
f ( x0, y0)=
x
F 'z ( x0 , y 0 , z 0 )
O '
' −F y ( x 0 , y 0 , z 0 )
O f ( x 0 , y 0 )=
y '
F z ( x0 , y0 , z0 )
O
met z 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 , z 0 )=0,
O

Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie),
nu voor de drie veranderlijken:

F ( x , y , z )=0
⇓
O dF ( x , y , z )=0
O
⇓
O
' ' '
O F x dx+ F y dy + F z dz=0
O ⇓
O
F 'z dz=−F 'x dx−F 'y dy
O
⇓
O
O −F 'x F 'y
dz= dx− dy
O F 'z F'z
O
⇓
O
' '
∂ z −F x ∂ z −F y
O = ' en = '
∂x Fz ∂y Fz
O
O
O GEVOLG 8.1. (RAAKLIJN) (P. 171)
o De vergelijking van de raaklijn in het punt P=( x0 , y 0 ) aan de curve met impliciete vergelijking
F ( x , y )=0 luidt F 'x ( x0 , y 0 ) ( x−x 0 ) + F'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =0

, o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden:
y− y 0=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ), met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.
o We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
o f ( x 0 )= '
F y ( x0 , y0 )
o
o
o Invullen in de vergelijking van de raaklijn geeft
'
−F x ( x 0 , y 0 )
o y− y 0= ' ( x−x 0 )
F y ( x0 , y0)
o De noemer wegwerken geeft
o F 'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =−F'x ( x 0 , y 0 ) ( x−x 0 );
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.

O GEVOLG 8.2. (RAAKVLAK) (P. 172)
O De vergelijking van het raakvlak in het punt P=( x0 , y 0 , z 0 ) aan het oppervlak met impliciete
vergelijking F ( x , y , z )=0 luidt
O F 'x ( x0 , y 0 , z 0 )( x−x 0 ) + F 'y ( x0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) + F'z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z−z 0 ) =0
o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o
Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:
z−z 0=f 'x ( x 0 , y 0 )( x −x0 ) + f 'y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 )
met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.
We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
f ( x0, y0)=
x '
F z ( x0 , y 0 , z 0 )
o en dat
−F 'y ( x 0 , y 0 , z 0 )
f 'y ( x 0 , y 0 )= '
F z ( x 0 , y0 , z0 )
o Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft
' '
−F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )
o z−z 0= ' ( x−x 0 )− ' ( y− y 0 )
F z ( x0 , y0 , z0 ) F z ( x0 , y 0 , z 0 )
De noemer wegwerken geeft
' ' '
F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z −z 0 )=−F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x −x0 ) −F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) ;
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.
O
O 8.3.1. SAMENGESTELDE FUNCTIES (P. 174)