AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (H1)
Expliciete functie afleiden -> y = f(x) (is gewoon zoals in eerste semester -> y’= …)
Afgeleiden regels opnieuw bekijken! (standaard afgeleiden, kettingregel …)
Methode 1: impliciete functie afleiden -> F(x,y) = 0
Niet altijd mogelijk: impliciete functie herschrijven tot een expliciete functie en dan zoals dernet.
Methode 2: impliciete functie afleiden -> F(x,y) = 0
Bv (x-3)2 + y2 = 4
1. Leid beiden leden af naar x -> rekening ((x-3)2 + y2)’ = 4’
houdend met dat y een functie van x is ((x-3)2) + (y2)’ = 0
2.(x-3) + 2yy’ = 0
dus => kettingregel
2. Groepeer de termen met y’ en de yy’ = 3-x
termen zonder y’ y’ = (3-x)/y
3. Los op naar y’
Methode 3: Impliciete functie stelling (IFS) – 2 veranderlijke
Bv (x-3)2 + y2 = 4
1. Functie herschrijven tot F(x,y)=0 (x-3)2 + y2 - 4 = 0
2. Partiële afgeleiden berekenen
F’x = 2(x-3) en F’y = 2y
F’x
F’ y
3. Impliciete functie stelling (IFS)
toepassen:
Impliciete functie stelling (IFS) – meerdere veranderlijke
Zelfde werkwijze enkel andere formule en 2 oplossingen:
Economische toepassing: marginale substitutieverhouding p 5
Gegeven: een productiefunctie van 2 producten: q = P(A,K)
Marginale substitutieverhouding (MSV) = geeft in absolute waarde weer hoeveel eenheden van de
ene inputfactor nodig zijn om één eenheid van de andere inputfactor te vervangen en toch exact
dezelfde productiegrootte te houden.
| |
,
−P A
-> dit is een richtingscoëfficiënt die kan gevonden worden door MSV =
P ,K
Vergelijking van de raaklijn aan een krommen – expliciet voorschrift
1. Punt (x0 , y0) bepalen door een x te kiezen en in te vullen in de gegeven fucntie
Indien punt (x0 ,y0) gegeven is -> controleren door x invullen en je moet y bekome!
2. Bereken de afgeleide van het voorschrift
3. Vul het gekozen of gekregen punt x0 in de (in stap 2) berekende afgeleiden -> zal voor een
getal zorgen = de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (x 0 , y0)
Formularium 1
, 4. Formule invullen met gegevens om vergelijking te bekomen:
Let op: de x en y moet je zo laten enkel derest invullen met hierboven
Vergelijking van de raaklijn aan een krommen – impliciet voorschrift
1. Punt (x0 , y0) bepalen door een x te kiezen en in te vullen in de gegeven fucntie
Indien punt (x0 ,y0) gegeven is -> controleren door x invullen en je moet y bekome!
2. Functie herschrijven tot F(x,y) = 0
3. Bereken de partiële afgeleide van het voorschrift
4. Vul het gekozen of gekregen punt x0 en y0 in de (in stap 2) berekende partiële afgeleiden ->
resultaat is altijd een getal!
5. Formule invullen met geg. om vergelijking te bekomen:
Let op: de x en y moet je zo laten staan enkel derest invullen met hierboven
Vergelijking van een raakvlak van een punt op het oppervlak– expliciet voorschrift
Methode blijft hetzelfde enkel nu:
- Is je punt (x0 , y0, z0)
- En je moet extra afgeleiden berekenen
- Formule is langer:
Merk op: kan zijn dat er bij opgave enkel x0 en y0 zijn gegeven en dat je zelf z0 moet berekenen!
Vergelijking van een raakvlak van een punt op het oppervlak – impliciet voorschrift
Methode blijft hetzelfde enkel nu:
- Is je punt (x0 , y0, z0)
- En je moet extra afgeleiden berekenen
- Formule is langer:
Merk op: kan zijn dat er bij opgave enkel x0 en y0 zijn gegeven en dat je zelf z0 moet berekenen!
Formularium 2
, GETALLENRIJEN (H2)
EIG Partieelsommen rekenkundige rij
Bv som v/d eerste n oneven getallen met getallenrij:
1. Formule opschrijven: 1,3,5,…,2n-1 => u1=1 & d=2
2. Formule met geg. invullen en
herschrijven n
Sn = . ( u1 + un )
3. Formule toepassen op een bepaalde rij 2
2
let op: moet de # n nemen in de n ( 2n 2
getallenrij!!!
¿ . 1+2 n−1 )= =n
2 2
4. Extra: de reeksom S
altijd nemen van ingevulde Opgave: toepassen op rij: 1+3+5+…+99
formule in stap 2 n2 =502=2500
(50 nemen bcs 99 is het 50ste getal bcs oneven!)
2
Reeksom: lim S n= lim n =+∞
n →+∞ n →+∞
EIG Partieelsommen meetkundige rij
Idem voor meetkundige rijen enkel andere formules:
-> kijk pagina 20 + let op bij rekenen met ∞
Aanvangswaarde en slotwaarde vraagstukken
Aanvangswaarde v/e annuïteit met n betalingen Slotwaarde van een annuïteit met n betalingen
R en interestvoet r: R en interestvoet r:
=> Let op deze formules moet je vaak omvormen. BV als je net A hebt berekend maar dan moet je
berekenen wat als R verandert hoeveel moet dan n zijn? => formule omvormen
=> Wanneer n moet berekend worden (zoals in voorbeeld hierboven): moet je stappenplan volgen:
1. Zorg dat in het LL enkel de termen met .n voorkomen en derest in RL
2. Neem de “ln” van beide leden
n
1 1
3. Gebruik eigenschap: ln (x2) = 2. ln(x) dus bij ons bv ln ( ) in LL wordt n. ln( )
0,005 0,005
4. Zorg dat enkel n in LL blijft en je hebt de gevraagde oplossing!
Let op dat r altijd voluit wordt gebruikt in de formules, dus 5% in opgave is 0,005
Formularium 3
Expliciete functie afleiden -> y = f(x) (is gewoon zoals in eerste semester -> y’= …)
Afgeleiden regels opnieuw bekijken! (standaard afgeleiden, kettingregel …)
Methode 1: impliciete functie afleiden -> F(x,y) = 0
Niet altijd mogelijk: impliciete functie herschrijven tot een expliciete functie en dan zoals dernet.
Methode 2: impliciete functie afleiden -> F(x,y) = 0
Bv (x-3)2 + y2 = 4
1. Leid beiden leden af naar x -> rekening ((x-3)2 + y2)’ = 4’
houdend met dat y een functie van x is ((x-3)2) + (y2)’ = 0
2.(x-3) + 2yy’ = 0
dus => kettingregel
2. Groepeer de termen met y’ en de yy’ = 3-x
termen zonder y’ y’ = (3-x)/y
3. Los op naar y’
Methode 3: Impliciete functie stelling (IFS) – 2 veranderlijke
Bv (x-3)2 + y2 = 4
1. Functie herschrijven tot F(x,y)=0 (x-3)2 + y2 - 4 = 0
2. Partiële afgeleiden berekenen
F’x = 2(x-3) en F’y = 2y
F’x
F’ y
3. Impliciete functie stelling (IFS)
toepassen:
Impliciete functie stelling (IFS) – meerdere veranderlijke
Zelfde werkwijze enkel andere formule en 2 oplossingen:
Economische toepassing: marginale substitutieverhouding p 5
Gegeven: een productiefunctie van 2 producten: q = P(A,K)
Marginale substitutieverhouding (MSV) = geeft in absolute waarde weer hoeveel eenheden van de
ene inputfactor nodig zijn om één eenheid van de andere inputfactor te vervangen en toch exact
dezelfde productiegrootte te houden.
| |
,
−P A
-> dit is een richtingscoëfficiënt die kan gevonden worden door MSV =
P ,K
Vergelijking van de raaklijn aan een krommen – expliciet voorschrift
1. Punt (x0 , y0) bepalen door een x te kiezen en in te vullen in de gegeven fucntie
Indien punt (x0 ,y0) gegeven is -> controleren door x invullen en je moet y bekome!
2. Bereken de afgeleide van het voorschrift
3. Vul het gekozen of gekregen punt x0 in de (in stap 2) berekende afgeleiden -> zal voor een
getal zorgen = de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (x 0 , y0)
Formularium 1
, 4. Formule invullen met gegevens om vergelijking te bekomen:
Let op: de x en y moet je zo laten enkel derest invullen met hierboven
Vergelijking van de raaklijn aan een krommen – impliciet voorschrift
1. Punt (x0 , y0) bepalen door een x te kiezen en in te vullen in de gegeven fucntie
Indien punt (x0 ,y0) gegeven is -> controleren door x invullen en je moet y bekome!
2. Functie herschrijven tot F(x,y) = 0
3. Bereken de partiële afgeleide van het voorschrift
4. Vul het gekozen of gekregen punt x0 en y0 in de (in stap 2) berekende partiële afgeleiden ->
resultaat is altijd een getal!
5. Formule invullen met geg. om vergelijking te bekomen:
Let op: de x en y moet je zo laten staan enkel derest invullen met hierboven
Vergelijking van een raakvlak van een punt op het oppervlak– expliciet voorschrift
Methode blijft hetzelfde enkel nu:
- Is je punt (x0 , y0, z0)
- En je moet extra afgeleiden berekenen
- Formule is langer:
Merk op: kan zijn dat er bij opgave enkel x0 en y0 zijn gegeven en dat je zelf z0 moet berekenen!
Vergelijking van een raakvlak van een punt op het oppervlak – impliciet voorschrift
Methode blijft hetzelfde enkel nu:
- Is je punt (x0 , y0, z0)
- En je moet extra afgeleiden berekenen
- Formule is langer:
Merk op: kan zijn dat er bij opgave enkel x0 en y0 zijn gegeven en dat je zelf z0 moet berekenen!
Formularium 2
, GETALLENRIJEN (H2)
EIG Partieelsommen rekenkundige rij
Bv som v/d eerste n oneven getallen met getallenrij:
1. Formule opschrijven: 1,3,5,…,2n-1 => u1=1 & d=2
2. Formule met geg. invullen en
herschrijven n
Sn = . ( u1 + un )
3. Formule toepassen op een bepaalde rij 2
2
let op: moet de # n nemen in de n ( 2n 2
getallenrij!!!
¿ . 1+2 n−1 )= =n
2 2
4. Extra: de reeksom S
altijd nemen van ingevulde Opgave: toepassen op rij: 1+3+5+…+99
formule in stap 2 n2 =502=2500
(50 nemen bcs 99 is het 50ste getal bcs oneven!)
2
Reeksom: lim S n= lim n =+∞
n →+∞ n →+∞
EIG Partieelsommen meetkundige rij
Idem voor meetkundige rijen enkel andere formules:
-> kijk pagina 20 + let op bij rekenen met ∞
Aanvangswaarde en slotwaarde vraagstukken
Aanvangswaarde v/e annuïteit met n betalingen Slotwaarde van een annuïteit met n betalingen
R en interestvoet r: R en interestvoet r:
=> Let op deze formules moet je vaak omvormen. BV als je net A hebt berekend maar dan moet je
berekenen wat als R verandert hoeveel moet dan n zijn? => formule omvormen
=> Wanneer n moet berekend worden (zoals in voorbeeld hierboven): moet je stappenplan volgen:
1. Zorg dat in het LL enkel de termen met .n voorkomen en derest in RL
2. Neem de “ln” van beide leden
n
1 1
3. Gebruik eigenschap: ln (x2) = 2. ln(x) dus bij ons bv ln ( ) in LL wordt n. ln( )
0,005 0,005
4. Zorg dat enkel n in LL blijft en je hebt de gevraagde oplossing!
Let op dat r altijd voluit wordt gebruikt in de formules, dus 5% in opgave is 0,005
Formularium 3
