!!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
REËLE FUNCTIES VAN EEN VERANDERLIJKE (H1)
Kernbegrippen i.v.m functie’s
DEF Expliciet/ impliciet
Men spreekt v/e expliciete voorstelling van de Men spreekt v/e impliciete voorstelling van de
functie f : ℝ->ℝ, wnr voorschrift geëxpliceerd functie f : ℝ->ℝ, wanneer het voorschrift
is naar de afhank. veranderlijke, m.a.w. y = f(x) impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y) = 0
DEF Symmetrieën
Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een even Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een oneven
functie, indien voor elke waarde x uit het functie, indien voor elke waarde x uit het domein
domein geldt: f(−x) = f(x) geldt: f(−x) = −f(x)
-> grafisch: symmetrisch t.o.v de y-as -> grafisch: symmetrisch t.o.v de oorsprong
Stappenplan:
1) Test: vervang alle x-waarden door -x
2) Gaan alle “-“ worden weggewerkt?
-ja: even functie (opl is f(−x) = f(x))
-nee: oneven functie (opl is f(−x) = -f(x))
DEF Inverse functie
Stappenplan:
Een functie f-1 : ℝ->ℝ : x-> f-1(x) is de inverse 1) Herschrijf het voorschrift y=f(x) tot een vorm
functie van f : ℝ->ℝ : x->f(x), indien voor elke x= een functie van y
waarde x uit het domein van f geldt: 2) Controleer of het domein beperkt moet
f(x) = y <=> f-1(y) = x worden
2.1) indien nodig, voorschrift opnieuw
Merk op oef: domein en bereik omwisselen herschrijven zodat het beperkt wordt
-> grafisch: gespiegeld t.o.v de 1ste bissectrice 3) Wissel x en y om
DEF Samenstellen van functies
Stappenplan:
Een reële functie h : ℝ->ℝ : x->h(x) is een 1) Neem functie voorschrift v/d 1ste komende (f)
samenstelling van functies g : ℝ->ℝ : x->g(x) als argument bij de 2de (g)
“na” f : ℝ->ℝ : x->f(x), of H = g o f 2) Neem de functie v/d 2de en pas argument toe
Limietwaarde -> kijk werkcollege 3! En schema achteraan!
DEF Limiet
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) bereikt in het lim f ( x )=L -> “de limiet van f voor x gaande naar a”
x→ a
punt x = a de limietwaarde L, of
lim f ( x )=L
x→ a Limiet is “naderen tot een bepaald punt en zien
Als de functiewaarden f(x) willekeurig dichter wat het beeld doet” -> bestaat alleen als linker-
bij L komen als punten x dichter naar a gaat. en rechterlimiet hetzelfde zijn!
Linkerlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x kleiner dan a dichter naar a gaat
Rechterlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x groter dan a dichter naar a gaat
Limieten oneigenlijke: Als f(x) oneindig stijgt of daalt als x dichter naar a gaat (oplos. is: L=+∞/+∞)
Theorie + stappenplan + voorbeelden 1
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
HA = limiet naar oneindig -> getal oplevert / VA = limiet naar getal -> oneindig oplevert
Rekenen met oneindigheden
Bepaalde vormen: Onbepaalde vormen:
+∞ ± C = +∞ -∞ ± C = -∞
+∞ . a = +∞ als a>0 -∞ . a = -∞ als a>0 0 ∞
+∞ . a = -∞ als a<0 -∞ . a = +∞ als 0
&
∞
, +∞ - ∞, 0. ∞
a<0
+∞.+∞ = +∞ | -∞.-∞ = +∞ | +∞.-∞ = -
∞
Continuïteit
DEF Continuïteit in een punt
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is continu in een Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet
punt x = a als lim f ( x )=f (a). bestaan, of indien ze verschillend zijn, noemt
x→ a men de functie discontinu in het betreffend punt.
-> indien discontinu is de 2de vraag op exame:
is de functie continu op het domein? (HC)
Belangerijke functies
DEF Veeltermfuncties
Veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele
f : ℝ->ℝ : x->f(x) = anxn + an-1 xn-1 +…+a1x +a0 reële as en is continu ->notatie: domein ℝ
met n ∈ ℕ en met a0 , a1 ,…, an-1, an ∈ℝ en an≠0
DEF Lineaire functie (een veeltermfunctie van graad 1)
Lineaire functie heeft voorschrift f : De waarde m is de richtingcoëfficiënt of helling
ℝ->ℝ : x->f(x) = mx + q. van de functie, de waarde q bepaalt het snijpunt
Grafisch: een rechte van de beeldlijn van de functie met de y-as.
DEF Kwadratische functie = parabool (een veeltermfunctie van graad 2)
Elke vergelijking van de vorm y =ax2 + bx + c De top v/d parabool heeft coördinaten (x 0, y0)
(met a ∈ ℝ0 , b ∈ ℝ , c ∈ ℝ ) is een parabool. −b
met x0 = ; y0 is dan de functiewaarde van x0.
2. a
Grafisch: de symmetrie-as is evenwijdig aan
de y-as en heeft vergelijking x = x0. De parabool heeft de holle zijde naar boven
indien a > 0, naar beneden indien a < 0
DEF Rationale functies (2 veeltermfuncties in breuk)
Een rationale functie heeft voorschrift f : Het domein van een rationele functie is de ℝ
ℝ->ℝ : x->f(x)= verminderd met de waarde waarvoor de noemer
n n−1
an x + an−1 x +…+ a1 x +a 0 nul wordt. Een rationale functie is continu op
m m−1 haar domein. -> notatie: domein ℝ¿ {…¿}
bm x + bm−1 x + …+b1 x+b 0
met n ∈ ℕ en met a0,a1…,an,b0,b1…bm ∈ ℝ
Theorie + stappenplan + voorbeelden 2
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
DEF Irrationale functies (veeltermfunctie onder een wortel)
Een irrationale functie heeft een voorschrift Het domein v/e irrationale functie is beperkt tot
waarin 1 of meer wortelvormen voorkomen. dat deel v/d reële as waarvoor het argument
onder de wortel het juiste teken bezit (≥0).
-> notatie: domein f = ¿−∞ , …¿ ¿ ∪ ¿
DEF De cirkel
De impliciete vergelijking beschrijft een cirkel Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten
(x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 (x0, y0) (-> let op: intrepretatie + en – in formule)
En de straal is r dus √ r 2
+¿ ¿
met x0 en y0 ∈ ℝ en r2 ∈ R0 En domein is altijd = [( x0 −r ),( x0 +r )]
DEF Expontentiële functies (machten)
Exponentiële functie heeft voorschrift: expa is een strikt stijgende functie indien a>1 en
+¿ ¿
expa: ℝ-> R0 : x-> expa = ax een strikt dalende functie indien a<1
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } Als a<1: functie met x-as als HA aan rechterkant
+¿ ¿
(ℝ-> R0 dus oplossing altijd positief) en als a>1: functie met x-as als HA aan linkerkant
Specifiek: natuurlijke expontentiële functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie exp(x) = ex -> verloopt stijgend bcs e>1
-> p. 24 het verloop van de exponentiele functies: e x , e-x, -ex , -e-x moet je kennen!
DEF Logaritmische functies
+¿ ¿
De logaritmische functie loga is de inverse van Bereik R0 ->nooit logaritme van neg getal
de exponentiële functie expa. het voorschrift: neme!
+¿ ¿
loga: R0 ->ℝ : x-> loga (x) en w. gedifinieerd
als: Eigenschappen ook voor specifieke gevalle:
loga (x) = y <=> x = ay
loga is een strikt stijgende functie indien a>1 en
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } een strikt dalende functie indien a<1
bv: log2 16 = 4 want 2?=16
Specifiek: briggse logaritmische functie -> heeft grondtal 10
Notatie briggse logaritmische functie: log (x) = log10 (x)
Specifiek: natuurlijke logaritmische functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie ln(x) = loge (x) en wordt gedefinieerd als y = ln (x) <=> x = ey
-> p. 27 het verloop van de natuurlijke logaritmische functie moet je kennen!
Rekenregels logaritmen
Loga (x.y) = Loga (x) + Loga (y) ln (x.y) = ln (x) + ln (y)
Loga (x/y) = Loga (x) - Loga (y) ln (x/y) = ln (x) – ln (y)
Loga (xy) = y. Loga (x) ln (xy) = y. ln (x)
Theorie + stappenplan + voorbeelden 3
REËLE FUNCTIES VAN EEN VERANDERLIJKE (H1)
Kernbegrippen i.v.m functie’s
DEF Expliciet/ impliciet
Men spreekt v/e expliciete voorstelling van de Men spreekt v/e impliciete voorstelling van de
functie f : ℝ->ℝ, wnr voorschrift geëxpliceerd functie f : ℝ->ℝ, wanneer het voorschrift
is naar de afhank. veranderlijke, m.a.w. y = f(x) impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y) = 0
DEF Symmetrieën
Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een even Een reële functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is een oneven
functie, indien voor elke waarde x uit het functie, indien voor elke waarde x uit het domein
domein geldt: f(−x) = f(x) geldt: f(−x) = −f(x)
-> grafisch: symmetrisch t.o.v de y-as -> grafisch: symmetrisch t.o.v de oorsprong
Stappenplan:
1) Test: vervang alle x-waarden door -x
2) Gaan alle “-“ worden weggewerkt?
-ja: even functie (opl is f(−x) = f(x))
-nee: oneven functie (opl is f(−x) = -f(x))
DEF Inverse functie
Stappenplan:
Een functie f-1 : ℝ->ℝ : x-> f-1(x) is de inverse 1) Herschrijf het voorschrift y=f(x) tot een vorm
functie van f : ℝ->ℝ : x->f(x), indien voor elke x= een functie van y
waarde x uit het domein van f geldt: 2) Controleer of het domein beperkt moet
f(x) = y <=> f-1(y) = x worden
2.1) indien nodig, voorschrift opnieuw
Merk op oef: domein en bereik omwisselen herschrijven zodat het beperkt wordt
-> grafisch: gespiegeld t.o.v de 1ste bissectrice 3) Wissel x en y om
DEF Samenstellen van functies
Stappenplan:
Een reële functie h : ℝ->ℝ : x->h(x) is een 1) Neem functie voorschrift v/d 1ste komende (f)
samenstelling van functies g : ℝ->ℝ : x->g(x) als argument bij de 2de (g)
“na” f : ℝ->ℝ : x->f(x), of H = g o f 2) Neem de functie v/d 2de en pas argument toe
Limietwaarde -> kijk werkcollege 3! En schema achteraan!
DEF Limiet
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) bereikt in het lim f ( x )=L -> “de limiet van f voor x gaande naar a”
x→ a
punt x = a de limietwaarde L, of
lim f ( x )=L
x→ a Limiet is “naderen tot een bepaald punt en zien
Als de functiewaarden f(x) willekeurig dichter wat het beeld doet” -> bestaat alleen als linker-
bij L komen als punten x dichter naar a gaat. en rechterlimiet hetzelfde zijn!
Linkerlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x kleiner dan a dichter naar a gaat
Rechterlimiet: Als f(x) willekeurig dichter bij L komen als punten x groter dan a dichter naar a gaat
Limieten oneigenlijke: Als f(x) oneindig stijgt of daalt als x dichter naar a gaat (oplos. is: L=+∞/+∞)
Theorie + stappenplan + voorbeelden 1
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
HA = limiet naar oneindig -> getal oplevert / VA = limiet naar getal -> oneindig oplevert
Rekenen met oneindigheden
Bepaalde vormen: Onbepaalde vormen:
+∞ ± C = +∞ -∞ ± C = -∞
+∞ . a = +∞ als a>0 -∞ . a = -∞ als a>0 0 ∞
+∞ . a = -∞ als a<0 -∞ . a = +∞ als 0
&
∞
, +∞ - ∞, 0. ∞
a<0
+∞.+∞ = +∞ | -∞.-∞ = +∞ | +∞.-∞ = -
∞
Continuïteit
DEF Continuïteit in een punt
Een functie f : ℝ->ℝ : x->f(x) is continu in een Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet
punt x = a als lim f ( x )=f (a). bestaan, of indien ze verschillend zijn, noemt
x→ a men de functie discontinu in het betreffend punt.
-> indien discontinu is de 2de vraag op exame:
is de functie continu op het domein? (HC)
Belangerijke functies
DEF Veeltermfuncties
Veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele
f : ℝ->ℝ : x->f(x) = anxn + an-1 xn-1 +…+a1x +a0 reële as en is continu ->notatie: domein ℝ
met n ∈ ℕ en met a0 , a1 ,…, an-1, an ∈ℝ en an≠0
DEF Lineaire functie (een veeltermfunctie van graad 1)
Lineaire functie heeft voorschrift f : De waarde m is de richtingcoëfficiënt of helling
ℝ->ℝ : x->f(x) = mx + q. van de functie, de waarde q bepaalt het snijpunt
Grafisch: een rechte van de beeldlijn van de functie met de y-as.
DEF Kwadratische functie = parabool (een veeltermfunctie van graad 2)
Elke vergelijking van de vorm y =ax2 + bx + c De top v/d parabool heeft coördinaten (x 0, y0)
(met a ∈ ℝ0 , b ∈ ℝ , c ∈ ℝ ) is een parabool. −b
met x0 = ; y0 is dan de functiewaarde van x0.
2. a
Grafisch: de symmetrie-as is evenwijdig aan
de y-as en heeft vergelijking x = x0. De parabool heeft de holle zijde naar boven
indien a > 0, naar beneden indien a < 0
DEF Rationale functies (2 veeltermfuncties in breuk)
Een rationale functie heeft voorschrift f : Het domein van een rationele functie is de ℝ
ℝ->ℝ : x->f(x)= verminderd met de waarde waarvoor de noemer
n n−1
an x + an−1 x +…+ a1 x +a 0 nul wordt. Een rationale functie is continu op
m m−1 haar domein. -> notatie: domein ℝ¿ {…¿}
bm x + bm−1 x + …+b1 x+b 0
met n ∈ ℕ en met a0,a1…,an,b0,b1…bm ∈ ℝ
Theorie + stappenplan + voorbeelden 2
, !!! Kijk in boek/ HC/WK voor andere relevante theorie en grafieken en oefeningen!!!
DEF Irrationale functies (veeltermfunctie onder een wortel)
Een irrationale functie heeft een voorschrift Het domein v/e irrationale functie is beperkt tot
waarin 1 of meer wortelvormen voorkomen. dat deel v/d reële as waarvoor het argument
onder de wortel het juiste teken bezit (≥0).
-> notatie: domein f = ¿−∞ , …¿ ¿ ∪ ¿
DEF De cirkel
De impliciete vergelijking beschrijft een cirkel Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten
(x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 (x0, y0) (-> let op: intrepretatie + en – in formule)
En de straal is r dus √ r 2
+¿ ¿
met x0 en y0 ∈ ℝ en r2 ∈ R0 En domein is altijd = [( x0 −r ),( x0 +r )]
DEF Expontentiële functies (machten)
Exponentiële functie heeft voorschrift: expa is een strikt stijgende functie indien a>1 en
+¿ ¿
expa: ℝ-> R0 : x-> expa = ax een strikt dalende functie indien a<1
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } Als a<1: functie met x-as als HA aan rechterkant
+¿ ¿
(ℝ-> R0 dus oplossing altijd positief) en als a>1: functie met x-as als HA aan linkerkant
Specifiek: natuurlijke expontentiële functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie exp(x) = ex -> verloopt stijgend bcs e>1
-> p. 24 het verloop van de exponentiele functies: e x , e-x, -ex , -e-x moet je kennen!
DEF Logaritmische functies
+¿ ¿
De logaritmische functie loga is de inverse van Bereik R0 ->nooit logaritme van neg getal
de exponentiële functie expa. het voorschrift: neme!
+¿ ¿
loga: R0 ->ℝ : x-> loga (x) en w. gedifinieerd
als: Eigenschappen ook voor specifieke gevalle:
loga (x) = y <=> x = ay
loga is een strikt stijgende functie indien a>1 en
met a ∈ ℝ+\{ 0,1 } een strikt dalende functie indien a<1
bv: log2 16 = 4 want 2?=16
Specifiek: briggse logaritmische functie -> heeft grondtal 10
Notatie briggse logaritmische functie: log (x) = log10 (x)
Specifiek: natuurlijke logaritmische functie -> heeft grondtal het getal van Euler: e=2,7
Wnr a = getal van Euler dan notatie ln(x) = loge (x) en wordt gedefinieerd als y = ln (x) <=> x = ey
-> p. 27 het verloop van de natuurlijke logaritmische functie moet je kennen!
Rekenregels logaritmen
Loga (x.y) = Loga (x) + Loga (y) ln (x.y) = ln (x) + ln (y)
Loga (x/y) = Loga (x) - Loga (y) ln (x/y) = ln (x) – ln (y)
Loga (xy) = y. Loga (x) ln (xy) = y. ln (x)
Theorie + stappenplan + voorbeelden 3
