8 Maybe yes, maybe no
8.1 Inleiding
Beschrijvende statistiek (1e SEM):
Het beschrijven v/d gegevens v/e steekproef of populatie m.b.v. tabellen, grafieken en kengetallen
Inferentiële statistiek (2e SEM):
Op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de populatie
→ Kansberekening gaat over de relatie tussen steekproeven en populaties
‘van lot naar kans’ -> de mens wil in toenemende mate onzekerheid vatten & inzichten verkrijgen in
de kansen op bepaalde gebeurtenissen (bv. verzekeringsmaatschappijen, beleidsmakers,…)
→ we willen het proces dat aanleiding geeft tot veranderlijke uitkomsten begrijpen zodat we
uitspraken kunnen doen over de werkelijkheid los v/e specifieke waarnemingsbasis
Kansen = relatieve frequenties ‘in the long run’
-> Mensen zijn slecht in het inschatten van kansen want men redeneert vaak op korte runs
8.1.1 Basisbegrippen kansberekening
Deterministisch proces
= een proces waarvan de uitkomst zeker is, men weet wat er zal gebeuren (zekerheid = relatief)
<-> Stochastisch proces / toevalsproces (‘kansexperiment’)
= een proces waarvan de uitkomsten onzeker zijn
-> resulteert in bepaalde uitkomsten waaraan telkens een bepaalde waarschijnlijkheid gekoppeld is
Kwantitatieve kansrekening = ‘stochastiek’ -> kansvariabelen = ‘stochasten’ (gesymboliseerd door X)
Toevalsgebeuren/gebeurtenis
= specifieke (groep van) uitkomst(en) van een stochastisch proces
-> een gebeurtenis ‘doet zich voor’
(w gesymboliseerd met een hoofdletter OF een kleine x met een subscript: xi -> bv. x1, x6, x18,…)
→ Elementaire gebeurtenis -> behelst slechts 1 uitkomst: bv. A = {1}
(-> verschillende elementaire toevalsgebeurens van eenzelfde stochastisch proces overlappen niet)
→ Samengestelde gebeurtenis -> behelst meerdere uitkomsten, heeft betrekking op meerdere
elementaire toevalsgebeurens v/h stochastisch proces: bv. B = {2, 4, 6}
Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens die horen bij
een bepaald stochastisch proces bv. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} of S = {k, m}
-> S bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
= exhaustief stelsel -> de elementaire toevalsgebeurens van S vormen een volledig stelsel, ze zijn
mutueel exclusief & exhaustief
-> S komt van Sample Space: alle mogelijke uitkomsten die in aanmerking komen voor een steekproef
uit deze verzameling
➔ Elk toevalsgebeuren xi (elementair/samengesteld)
= een deelverzameling / partitie uit de uitkomstenruimte S (in symbolen: xi ⊂ S)
1 Johanna Verstraelen
,Verzameling = een duidelijk afgebakend geheel van objecten (de elementen v/d verzameling), die
objecten moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen om tot de verzameling te behoren
-> verzameling wordt afgekort met een hoofdletter (A, B,…)
-> een opsomming geeft weer welke elementen tot verzameling behoren (gescheiden door komma’s)
& het geheel w tussen accolades geplaatst
Lege verzameling = een verzameling die geen enkel element bevat -> symbool: ∅ (fi)
Singleton = een verzameling die slechts 1 element bevat (bv. E = {2})
A = deelverzameling van B (A⊂B)
indien verzameling A slechts een deel v/d elementen uit verzameling B bevat
-> de lege verzameling ∅ = een deelverzameling van ALLE verzamelingen
Gelijke verzamelingen = verzamelingen die exact dezelfde elementen bevatten
bv. A = {s, t, a, i, e, k} en B = {x | x is een letter uit het woord ‘statistiek’} → A = B
Kanstheorie: een experiment = steeds gekoppeld aan een uitkomstenruimte S (de verzameling
waarin alle mogelijke uitkomsten v/h kansexperiment vervat zitten)
-> toevalsgebeurens = deelverzamelingen v/d uitkomstenruimte
Unie van 2 verzamelingen A & B → A OF B → A ∪ B (`A unie B’)
= de verzameling van alle elementen die of in A, of in B, of in beide
verzamelingen zitten
bv. A = {a, c, e} & B = {a, e, i, o, u} → A ∪ B = {a, c, e, i, o, u}
Doorsnede van 2 verzamelingen A & B → A EN B → A ∩ B (`A doorsnede B’)
= de verzameling van alle elementen die zowel in A, als in B zitten
bv. A = {a, c, e} & B = {a, e, i, o, u} → A ∩ B = {a, e}
Disjuncte / mutueel exclusieve gebeurtenissen
= gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomsten bevatten
-> de doorsnede = leeg, de kans op doorsnede = 0
bv. A = {1} & B = {2, 4, 6} -> A ∩ B = ∅
Complement van A → Ac of 𝑨̅=S\A
-> alles wat niet in A zit -> de uitkomstenruimte - A
bv. A = {1} & S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 𝐴̅ = {2, 3, 4, 5, 6}
Verschil van 2 verzamelingen A & B → verschil van A en B → A \ B
= de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten
-> we vertrekken van A en halen alle elementen die ook in B zitten eruit
bv. A = {a, b, c, d, e} & B = {a, e, i, k, s, t} → A \ B = {b, c, d}
2 Johanna Verstraelen
,We kunnen een uitkomstenruimte/sample space S partitioneren
-> een partitie = EXHAUSTIEF en DISJUNCT
→ G1 ={1}, G2 ={2,4,6} en G3 ={3,5} vormen een partitie/volledig stelsel, want ze zijn:
- exhaustief -> als je ze allemaal samenneemt, heb je de volledige uitkomstenruimte
-> G1 ∪ G2 ∪ G3 = S = {1,2,3,4,5,6}
- twee aan twee disjunct (doorsnedes zijn leeg -> mutueel exclusief/disjunct)
-> G1 ∩ G2 ∩ G3 = ∅
Machtsverzameling M(S)
-> indien verzameling S in totaal n verschillende elementen bevat,
is het mogelijk om 2n deelverzamelingen te maken: #S = n → #M(S) = 2n
# = het kardinaalgetal, ‘het aantal elementen van’
vb1. S = {1,2,3} -> S bevat 3 elementen -> we kunnen 23 = 8 verschillende deelverzamelingen maken
→ M(S) = { Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
vb2. M(S) v/d uitkomstenruimte S = {1,2,3,4,5,6} (het stochastisch proces ‘opgooien v/e eerlijke
dobbelsteen en registreren v/h aantal ogen’) bevat 6 elementen
-> 26 = 64 → er zijn 64 mogelijke elementaire/samengestelde toevalsgebeurens
→ M(S) = { Ø,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},… {1,2,3},{1,2,4},…,{1,2,3,4,5,6} }
8.1.2 De kansdefinitie
→ de kans P(G) drukt uit hoe waarschijnlijk / onwaarschijnlijk de gebeurtenis G is
bv. P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
P = functie die met elke G uit M(S) een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
G ➔ Functie P ➔ P(G)
(Element uit M(S)) (Getal tussen 0 en 1)
{2} ➔ Functie P ➔ P({2}) = 1/6
Kans P = een functie die elk toevalsgebeuren A met een welbepaald getal P(A) verbindt
-> P(A) = een kwantitatieve weergave v/d mogelijkheid dat het gebeuren A plaatsvindt
→ de kans P(A)
= een wiskundige functie die elementen uit bepaald domein (de uitkomsten uit de uitkomstenruimte)
afbeeldt op een reëel getal (het beeld = de kans op voorkomen)
volgens een bepaald functievoorschrift / kansdefinitie
3 Johanna Verstraelen
, De kansdefinitie neemt 3 vormen aan:
8.1.2.1 Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
-> intuïtieve inschatting, vaak gebaseerd op eigen ervaring, vaag
bv. `kans om lotto te winnen is erg klein’
8.1.2.2 Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
-> een kans berekenen door een stochastisch proces heel vaak uit te voeren
(de steekproefgrootte n moet zeer groot zijn: n -> oneindig)
𝑓𝑖
-> geregeld de relatieve frequentie (fi*) 𝑛
berekenen (= benadering voor de ‘echte’ kans)
𝑓𝑖
-> kijken waar de waarden 𝑛
naartoe gaan als n toeneemt
𝑓𝑖
→ de `limietwaarde’ is de gezochte kans 𝑃(𝐴) = lim
𝑛→∞ 𝑛
𝑓𝑖
P= 𝑛
→ De wet van de grote getallen: de relatieve frequentie zal pas in de long run (voor een
voldoende grote n) evolueren naar de theoretische kans
-> de successen moeten niet gelijkmatig verdeeld zijn over de pogingen
bv. kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
-> bij weinig observaties/worpen zeer onvoorspelbaar, bij veel
worpen (richting oneindig) zeer voorspelbaar!
8.1.2.3 Theoretische kansdefinitie / kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
-> het aantal gunstige uitkomsten (successen) gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
-> veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is
→ uniforme kansverdeling: elk elementair toevalsgebeuren wordt verbonden met eenzelfde kans,
alle mogelijke uitkomsten zijn even waarschijnlijk
-> `kansverdeling van elementaire gebeurtenissen is uniform’ -> vandaar ‘eerlijke’ dobbelsteen
8.1.2.4 Axiomatische kansdefinitie
➔ De empirische & de theoretische kansdefinitie beantwoordt aan 3 basisregels / axioma’s
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s:
1. 0 ≤ P(A) ≤1
-> een kans ligt altijd tussen 0 en 1
2. P(S) = 1
-> de kans op de volledige uitkomstenruimte S (het kansuniversum) is 1
-> in de praktijk betekent dit dat er geen andere uitkomsten mogelijk zijn dan die uit S
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B)
4 Johanna Verstraelen
8.1 Inleiding
Beschrijvende statistiek (1e SEM):
Het beschrijven v/d gegevens v/e steekproef of populatie m.b.v. tabellen, grafieken en kengetallen
Inferentiële statistiek (2e SEM):
Op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de populatie
→ Kansberekening gaat over de relatie tussen steekproeven en populaties
‘van lot naar kans’ -> de mens wil in toenemende mate onzekerheid vatten & inzichten verkrijgen in
de kansen op bepaalde gebeurtenissen (bv. verzekeringsmaatschappijen, beleidsmakers,…)
→ we willen het proces dat aanleiding geeft tot veranderlijke uitkomsten begrijpen zodat we
uitspraken kunnen doen over de werkelijkheid los v/e specifieke waarnemingsbasis
Kansen = relatieve frequenties ‘in the long run’
-> Mensen zijn slecht in het inschatten van kansen want men redeneert vaak op korte runs
8.1.1 Basisbegrippen kansberekening
Deterministisch proces
= een proces waarvan de uitkomst zeker is, men weet wat er zal gebeuren (zekerheid = relatief)
<-> Stochastisch proces / toevalsproces (‘kansexperiment’)
= een proces waarvan de uitkomsten onzeker zijn
-> resulteert in bepaalde uitkomsten waaraan telkens een bepaalde waarschijnlijkheid gekoppeld is
Kwantitatieve kansrekening = ‘stochastiek’ -> kansvariabelen = ‘stochasten’ (gesymboliseerd door X)
Toevalsgebeuren/gebeurtenis
= specifieke (groep van) uitkomst(en) van een stochastisch proces
-> een gebeurtenis ‘doet zich voor’
(w gesymboliseerd met een hoofdletter OF een kleine x met een subscript: xi -> bv. x1, x6, x18,…)
→ Elementaire gebeurtenis -> behelst slechts 1 uitkomst: bv. A = {1}
(-> verschillende elementaire toevalsgebeurens van eenzelfde stochastisch proces overlappen niet)
→ Samengestelde gebeurtenis -> behelst meerdere uitkomsten, heeft betrekking op meerdere
elementaire toevalsgebeurens v/h stochastisch proces: bv. B = {2, 4, 6}
Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens die horen bij
een bepaald stochastisch proces bv. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} of S = {k, m}
-> S bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
= exhaustief stelsel -> de elementaire toevalsgebeurens van S vormen een volledig stelsel, ze zijn
mutueel exclusief & exhaustief
-> S komt van Sample Space: alle mogelijke uitkomsten die in aanmerking komen voor een steekproef
uit deze verzameling
➔ Elk toevalsgebeuren xi (elementair/samengesteld)
= een deelverzameling / partitie uit de uitkomstenruimte S (in symbolen: xi ⊂ S)
1 Johanna Verstraelen
,Verzameling = een duidelijk afgebakend geheel van objecten (de elementen v/d verzameling), die
objecten moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen om tot de verzameling te behoren
-> verzameling wordt afgekort met een hoofdletter (A, B,…)
-> een opsomming geeft weer welke elementen tot verzameling behoren (gescheiden door komma’s)
& het geheel w tussen accolades geplaatst
Lege verzameling = een verzameling die geen enkel element bevat -> symbool: ∅ (fi)
Singleton = een verzameling die slechts 1 element bevat (bv. E = {2})
A = deelverzameling van B (A⊂B)
indien verzameling A slechts een deel v/d elementen uit verzameling B bevat
-> de lege verzameling ∅ = een deelverzameling van ALLE verzamelingen
Gelijke verzamelingen = verzamelingen die exact dezelfde elementen bevatten
bv. A = {s, t, a, i, e, k} en B = {x | x is een letter uit het woord ‘statistiek’} → A = B
Kanstheorie: een experiment = steeds gekoppeld aan een uitkomstenruimte S (de verzameling
waarin alle mogelijke uitkomsten v/h kansexperiment vervat zitten)
-> toevalsgebeurens = deelverzamelingen v/d uitkomstenruimte
Unie van 2 verzamelingen A & B → A OF B → A ∪ B (`A unie B’)
= de verzameling van alle elementen die of in A, of in B, of in beide
verzamelingen zitten
bv. A = {a, c, e} & B = {a, e, i, o, u} → A ∪ B = {a, c, e, i, o, u}
Doorsnede van 2 verzamelingen A & B → A EN B → A ∩ B (`A doorsnede B’)
= de verzameling van alle elementen die zowel in A, als in B zitten
bv. A = {a, c, e} & B = {a, e, i, o, u} → A ∩ B = {a, e}
Disjuncte / mutueel exclusieve gebeurtenissen
= gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomsten bevatten
-> de doorsnede = leeg, de kans op doorsnede = 0
bv. A = {1} & B = {2, 4, 6} -> A ∩ B = ∅
Complement van A → Ac of 𝑨̅=S\A
-> alles wat niet in A zit -> de uitkomstenruimte - A
bv. A = {1} & S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 𝐴̅ = {2, 3, 4, 5, 6}
Verschil van 2 verzamelingen A & B → verschil van A en B → A \ B
= de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten
-> we vertrekken van A en halen alle elementen die ook in B zitten eruit
bv. A = {a, b, c, d, e} & B = {a, e, i, k, s, t} → A \ B = {b, c, d}
2 Johanna Verstraelen
,We kunnen een uitkomstenruimte/sample space S partitioneren
-> een partitie = EXHAUSTIEF en DISJUNCT
→ G1 ={1}, G2 ={2,4,6} en G3 ={3,5} vormen een partitie/volledig stelsel, want ze zijn:
- exhaustief -> als je ze allemaal samenneemt, heb je de volledige uitkomstenruimte
-> G1 ∪ G2 ∪ G3 = S = {1,2,3,4,5,6}
- twee aan twee disjunct (doorsnedes zijn leeg -> mutueel exclusief/disjunct)
-> G1 ∩ G2 ∩ G3 = ∅
Machtsverzameling M(S)
-> indien verzameling S in totaal n verschillende elementen bevat,
is het mogelijk om 2n deelverzamelingen te maken: #S = n → #M(S) = 2n
# = het kardinaalgetal, ‘het aantal elementen van’
vb1. S = {1,2,3} -> S bevat 3 elementen -> we kunnen 23 = 8 verschillende deelverzamelingen maken
→ M(S) = { Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
vb2. M(S) v/d uitkomstenruimte S = {1,2,3,4,5,6} (het stochastisch proces ‘opgooien v/e eerlijke
dobbelsteen en registreren v/h aantal ogen’) bevat 6 elementen
-> 26 = 64 → er zijn 64 mogelijke elementaire/samengestelde toevalsgebeurens
→ M(S) = { Ø,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},… {1,2,3},{1,2,4},…,{1,2,3,4,5,6} }
8.1.2 De kansdefinitie
→ de kans P(G) drukt uit hoe waarschijnlijk / onwaarschijnlijk de gebeurtenis G is
bv. P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
P = functie die met elke G uit M(S) een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
G ➔ Functie P ➔ P(G)
(Element uit M(S)) (Getal tussen 0 en 1)
{2} ➔ Functie P ➔ P({2}) = 1/6
Kans P = een functie die elk toevalsgebeuren A met een welbepaald getal P(A) verbindt
-> P(A) = een kwantitatieve weergave v/d mogelijkheid dat het gebeuren A plaatsvindt
→ de kans P(A)
= een wiskundige functie die elementen uit bepaald domein (de uitkomsten uit de uitkomstenruimte)
afbeeldt op een reëel getal (het beeld = de kans op voorkomen)
volgens een bepaald functievoorschrift / kansdefinitie
3 Johanna Verstraelen
, De kansdefinitie neemt 3 vormen aan:
8.1.2.1 Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
-> intuïtieve inschatting, vaak gebaseerd op eigen ervaring, vaag
bv. `kans om lotto te winnen is erg klein’
8.1.2.2 Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
-> een kans berekenen door een stochastisch proces heel vaak uit te voeren
(de steekproefgrootte n moet zeer groot zijn: n -> oneindig)
𝑓𝑖
-> geregeld de relatieve frequentie (fi*) 𝑛
berekenen (= benadering voor de ‘echte’ kans)
𝑓𝑖
-> kijken waar de waarden 𝑛
naartoe gaan als n toeneemt
𝑓𝑖
→ de `limietwaarde’ is de gezochte kans 𝑃(𝐴) = lim
𝑛→∞ 𝑛
𝑓𝑖
P= 𝑛
→ De wet van de grote getallen: de relatieve frequentie zal pas in de long run (voor een
voldoende grote n) evolueren naar de theoretische kans
-> de successen moeten niet gelijkmatig verdeeld zijn over de pogingen
bv. kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
-> bij weinig observaties/worpen zeer onvoorspelbaar, bij veel
worpen (richting oneindig) zeer voorspelbaar!
8.1.2.3 Theoretische kansdefinitie / kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
-> het aantal gunstige uitkomsten (successen) gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
-> veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is
→ uniforme kansverdeling: elk elementair toevalsgebeuren wordt verbonden met eenzelfde kans,
alle mogelijke uitkomsten zijn even waarschijnlijk
-> `kansverdeling van elementaire gebeurtenissen is uniform’ -> vandaar ‘eerlijke’ dobbelsteen
8.1.2.4 Axiomatische kansdefinitie
➔ De empirische & de theoretische kansdefinitie beantwoordt aan 3 basisregels / axioma’s
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s:
1. 0 ≤ P(A) ≤1
-> een kans ligt altijd tussen 0 en 1
2. P(S) = 1
-> de kans op de volledige uitkomstenruimte S (het kansuniversum) is 1
-> in de praktijk betekent dit dat er geen andere uitkomsten mogelijk zijn dan die uit S
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B)
4 Johanna Verstraelen
