Tentamen (uitwerkingen)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit

Beoordeling

Verkocht

Pagina's

161

Cijfer

A+

Geüpload op

11-02-2022

Geschreven in

2021/2022

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit Eq. (2.5) has the form Ex(z, t) = s 2ω2 V ε0 q(t) sin(kz), (2.1.1) and Eq. (2.2) ∇ × B = µ0ε0 ∂E ∂t . (2.1.2) Both equations lead to −∂zBy = µ0ε0 s 2ω2 V ε0 q˙(t) sin(kz), (2.1.3) which itself leads to Eq. (2.6) By(z, t) = µ0ε0 k s 2ω2 V ε0 q˙(t) cos(kz). (2.1.4) 2.2 problem 2.2 H = 1 2 Z dV · ε0E 2 x (z, t) + 1 µ0 B 2 y (z, t) ¸ . (2.2.1) 9 10 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION From the previous problem Ex(z, t) = s 2ω2 V ε0 q(t) sin(kz), (2.2.2) so ε0E 2 x (z, t) = 2ω 2 V q 2 (t) sin2 (kz). (2.2.3) Also By(z, t) = µ0ε0 k s 2ω2 V ε0 q˙(t) cos(kz), (2.2.4) and 1 µ0 B 2 y (z, t) = 2 V p 2 (t) cos2 (kz), (2.2.5) where we have used that c 2 = (µ0ε0) −1 , p(t) = ˙q(t), and ck = ω. Eq. 2.2.1 becomes then H = 1 V Z dV £ ω 2 q 2 (t) sin2 (kz) + p 2 (t) cos2 (kz) ¤ . (2.2.6) Using these simple trigonometric identities cos2 x = 1+cos 2x 2 and sin2 x = 1−cos 2x 2 , we can simplify equation 2.2.6 further to: H = 1 2V Z dV £ ω 2 q 2 (t)(1 + cos 2kz) + p 2 (t)(1 − cos 2kz) ¤ . (2.2.7) Because of the periodic boundaries both cosine terms drop out, also 1 V R dV = 1 and we end up by H = 1 2 ¡ p 2 + w 2 q 2 ¢ . (2.2.8) It is easy to see that this Hamiltonian has the form of a simple harmonic oscillator. 2.3 problem 2.3 Let f be a function defined as: f(λ) = e iλAˆ Beˆ −iλAˆ . (2.3.1) 2.4. PROBLEM 2.4 11 If we expand f as f(λ) = c0 + c1(iλ) + c2 (iλ) 2 2! + ..., (2.3.2) where c0 = f(0) c1 = f 0 (0) c2 = f 00(0)· · · Also c0 = f(0) = Bˆ c1 = f 0 (0) = h Aeˆ iλAˆ Beˆ −iλAˆ − e iλAˆ BˆAeˆ −iλAˆ i¯ ¯ ¯ λ=0 = h A, ˆ Bˆ i c2 = h B, ˆ h A, ˆ Bˆ ii . The same way we can determine the other coefficients. 2.4 problem 2.4 Let f(x) = e Axˆ e Bxˆ (2.4.1) df(x) dx = Aeˆ Axˆ e Bxˆ + e Axˆ Beˆ Bxˆ = ³ Aˆ + e Axˆ Beˆ −Axˆ ´ f(x) It is easy to prove that h B, ˆ Aˆn i = nAˆn−1 h B, ˆ Aˆ i (2.4.2) 12 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION h B, e ˆ −Axˆ i = X  B, ˆ ³ −Axˆ ´n n!   = X(−1)n x n n! h B, ˆ Aˆn i = X(−1)n x n (n − 1)!Aˆn−1 h B, ˆ Aˆ i = −e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x So Beˆ −Axˆ − e −Axˆ Bˆ = −e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x e −Axˆ Beˆ Axˆ = Bˆ − e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x (2.4.3) e Axˆ Beˆ −Axˆ = Bˆ + e Axˆ h A, ˆ Bˆ i x (2.4.4) Equation 4.1.1 becomes df(x) dx = ³ Aˆ + Bˆ + h A, ˆ Bˆ i´ f(x). (2.4.5) Since h A, ˆ Bˆ i commutes with Aˆ and Bˆ, we can solve equation 2.4.5 as an ordinary equation. The solution is simply f(x) = exp h³Aˆ + Bˆ ´ x i exp µ 1 2 h A, ˆ Bˆ i x 2 ¶ (2.4.6) If we take x = 1 we will have e Aˆ+Bˆ = e Aˆ e Bˆ e − 1 2 [A, ˆ Bˆ] (2.4.7) 2.5 problem 2.5 |Ψ(0)i = 1 √ 2 ¡ |ni + e iϕ|n + 1i ¢ . (2.5.1) 2.5. PROBLEM 2.5 13 |Ψ(t)i = e −i Ht ˆ ~ |Ψ(0)i = 1 √ 2 ³ e −i Ht ˆ ~ |ni + e −i Ht ˆ ~ |n + 1i ´ = 1 √ 2 ¡ e −inωt|ni + e iϕe −i(n+1)ωt|n + 1i ¢ , where we have used E ~ = ω nˆ|Ψ(t)i = ˆa † aˆ|Ψ(t)i = 1 √ 2 ¡ e −inωtn|ni + e iϕe −i(n+1)ωt(n + 1)|n + 1i ¢ hnˆi = hΨ(t)|nˆ|Ψ(t)i = 1 2 (n + n + 1) = n + 1 2 the same way nˆ 2 ® = hΨ(t)|nˆnˆ|Ψ(t)i = 1 2 ¡ n 2 + (n + 1)2 ¢ = n 2 + n + 1 2 (∆ˆn) 2 ® = nˆ 2 ® − hnˆi 2 = 1 4 Eˆ|Ψ(t)i = E0 sin(kz) ¡ aˆ † + ˆa ¢ |Ψ(t)i = 1 √ 2 E0 sin(kz) ¡ aˆ † + ˆa ¢ ¡e −inωt|ni + e iϕe −i(n+1)ωt|n + 1i ¢ = 1 √ 2 E0 sin(kz) h e −inωt ³√ n + 1|n + 1i + √ n|n − 1i ´ + e iϕe −i(n+1)ωt ³√ n + 2|n + 2i + √ n + 1|ni ´i 14 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION hΨ(t)|Eˆ|Ψ(t)i = 1 2 E0 sin(kz) ³ e iωt√ n + 1 + e iϕe −iωt√ n + 1´ = √ n + 1E0 sin(kz) cos(ϕ − ωt) D Eˆ2 E = hΨ(t)|EˆEˆ|Ψ(t)i = 2(n + 1)E 2 0 sin2 (kz) ¿³ ∆Eˆ ´2 À = (n + 1)E 2 0 sin2 (kz) £ 2 − cos2 (ϕ − ωt) ¤ (ˆa † − aˆ)|Ψ(t)i = 1 √ 2 h e −inωt ³√ n + 1|n + 1i − √ n|n − 1i ´ + e iϕe −i(n+1)ωt ³√ n + 2|n + 2i − √ n + 1|ni ´i h(ˆa † − aˆ)i = −i √ n + 1 sin(ϕ − ωt) Finally we have the following quantities ∆n = 1 2 ∆E = E0|sin(kz)| p 2(n + 1) [2 − cos2 (ϕ − ωt)] ¯ ¯h(ˆa † − aˆ)i ¯ ¯ = √ n + 1|sin(ϕ − ωt)|. Certainly the inequality in (2.49) holds true since p 2 (2 − cos2 (ϕ − ωt)) > |sin(ϕ − ωt)|. 2.6 problem 2.6 Xˆ 1 = 1 2 ¡ aˆ + ˆa † ¢ Xˆ 2 = 1 2i ¡ aˆ − aˆ † ¢ Xˆ 2 1 = 1 4 ¡ aˆ †2 + ˆa 2 + 2ˆa † aˆ + 1¢ Xˆ 2 2 = − 1 4 ¡ aˆ †2 + ˆa 2 − 2ˆa † aˆ − 1 ¢ 2.6. PROBLEM 2.6 15 |Ψ01i = α|0i + β|1i where |α| 2 + |β| 2 = 1. So we can rewrite β = p 1 − |α| 2e iφ and α 2 = |α| 2 without any loss of generality. D Xˆ 1 E 01 = 1 2 (α ∗β + αβ∗ ) D Xˆ 2 E 01 = 1 2i (α ∗β − αβ∗ ) aˆ †2 ® 01 = 0 aˆ 2 ® 01 = 0 haˆ † aˆi01 = |β| 2 D Xˆ 2 1 E 01 = 1 4 ¡ 2|β| 2 + 1¢ D Xˆ 2 2 E 01 = 1 4 ¡ 2|β| 2 + 1¢ ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 01 = 1 4 £ 2|β| 2 + 1 − (α ∗β) 2 − (αβ∗ ) 2 − 2|α| 2 |β| 2 ¤ = 1 4 £ 3 − 4|α| 2 + 2|α| 4 − 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos(2φ) ¤ ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 01 = 1 4 £ 2|β| 2 + 1 + (α ∗β) 2 + (αβ∗ ) 2 − 2|α| 2 |β| 2 ¤ = 1 4 £ 3 − 4|α| 2 + 2|α| 4 + 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos(2φ) ¤ In figures a and b below we plot ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 01 (solid line) for φ = π/2 and ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 01 (doted line) for φ = 0, respectively. Clearly the quadratures in hands go below the quadrature variances of the vacuum in more than one occasion. 16 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION 2 a 2 a f=p/2 f=0 (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ( )2 1,2 01 Xˆ y=0.25 y=0.25 ( )2 1,2 Xˆ (b) |Ψ02i = α|0i + β|2i. (2.6.1) Again, where |α| 2 + |β| 2 = 1. So we can rewrite β = p 1 − |α| 2e iφ and α 2 = |α| 2 without any loss of generality. D Xˆ 1 E 02 = 0 = D Xˆ 2 E ¿ 02 ³ ∆Xˆ 1 ´2 À 02 = D Xˆ 2 1 E 02 = 1 4 ³ |α + √ 2β| 2 + 3|β| 2 ´ = 1 4 h 5 − 4|α| 2 + 2p 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos φ i ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 02 = D Xˆ 2 2 E 02 = 1 4 ³ |α − √ 2β| 2 + 3|β| 2 ´ = 1 4 h 5 − 4|α| 2 − 2 p 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos φ i In figures c and d below we plot ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 02 for φ = 0 and ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 02 2.7. PROBLEM 2.7 17 for φ = π/2, respectively. Clearly the quadratures in hands go below the quadrature variances of the vacuum in more than one occasion. ( )2 1 02 DXˆ ( )2 2 02 DXˆ 2 a 2 a (c) (d) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f=0 f=p/2 2.7 Problem 2.7 |Ψ 0 i = N aˆ |Ψi |N |2 = hnˆi = ¯n N = 1 √ n¯ |Ψ 0 i = 1 √ n¯ aˆ |Ψi 18 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION n0 = hΨ 0 |nˆ|Ψ 0 i = 1 n¯ hΨ|aˆ † aˆ † aˆaˆ|Ψi = 1 n¯ ¡ hΨ|nˆ 2 |Ψi − hΨ|nˆ|Ψi ¢ = hΨ|nˆ 2 |Ψi n¯ − 1 = hnˆ 2 i hnˆi − 1. Notice that n0 6= n − 1 in general, but for the number state |ni, and only of this state we have n0 = n − 1. 2.8 Problem 2.8 |Ψi = 1 √ 2 (|0i + |10i) (2.8.1) The average photon number, ¯n, of this state is n¯ = hΨ|aˆ † aˆ|Ψi, (2.8.2) which can be easily calculated to be n¯ = 1 2 (0 + 10) =

Meer zien Lees minder

Instelling

Vak

Oeps! We kunnen je document nu niet laden. Probeer het nog eens of neem contact op met support.

Meld schending auteursrecht

Geschreven voor

Instelling: Maastricht University (UM)
Studie: Business and sciences
Vak: TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit

Alle documenten voor dit vak (1)

Documentinformatie

Geüpload op: 11 februari 2022
Aantal pagina's: 161
Geschreven in: 2021/2022
Type: Tentamen (uitwerkingen)
Bevat: Vragen en antwoorden

Onderwerpen

exam

Voorbeeld van de inhoud

2

, Adil Benmoussa

Solutions Manual

To

INTRODUCTORY QUANTUM OPTICS
By C. C. Gerry and P. L. Knight

May 15, 2005

,Table of Contents

Table of Contents 3

1 Introduction 7

2 Field Quantization 9
2.1 problem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 problem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 problem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 problem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 problem 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 problem 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Problem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Problem 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Problem 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Problem 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.11 Problem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Problem 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Problem 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Coherent States 25
3.1 Problem 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Problem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Problem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Problem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Problem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Problem 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Problem 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

, 4 CONTENTS

3.8 Problem 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Problem 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Problem 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Problem 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.12 Problem 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Problem 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.14 Problem 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Emission and Absorption of Radiation by Atoms 45
4.1 Problem 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Problem 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Problem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Problem 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Problem 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Problem 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Problem 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Problem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Problem 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Problem 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Problem 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12 Problem 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.13 Problem 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Quantum Coherence Functions 71
5.1 Problem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Problem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Problem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Problem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Problem 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Interferometry 79
6.1 Problem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Problem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Problem 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Problem 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Problem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

€10,49

Krijg toegang tot het volledige document:

100% tevredenheidsgarantie

Direct beschikbaar na je betaling

Lees online óf als PDF

Geen vaste maandelijkse kosten

Maak kennis met de verkoper

COURSEHERO2

Maak kennis met de verkoper

COURSEHERO2 Maastricht University

Bekijk profiel

Volgen

Verkocht

Lid sinds

4 jaar

Aantal volgers

Documenten

Laatst verkocht

11 maanden geleden

0,0

0 beoordelingen

Recent door jou bekeken

Waarom studenten kiezen voor Stuvia

Gemaakt door medestudenten, geverifieerd door reviews

Kwaliteit die je kunt vertrouwen: geschreven door studenten die slaagden en beoordeeld door anderen die dit document gebruikten.

Niet tevreden? Kies een ander document

Geen zorgen! Je kunt voor hetzelfde geld direct een ander document kiezen dat beter past bij wat je zoekt.

Betaal zoals je wilt, start meteen met leren

Geen abonnement, geen verplichtingen. Betaal zoals je gewend bent via Bancontact, iDeal of creditcard en download je PDF-document meteen.

“Gekocht, gedownload en geslaagd. Zo eenvoudig kan het zijn.”

Alisha Student

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper COURSEHERO2. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,49. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews) Afgelopen 30 dagen zijn er 46431 samenvattingen verkocht Opgericht in 2010, al 16 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit

Geschreven voor

Documentinformatie

Onderwerpen

Voorbeeld van de inhoud

Meer vakken binnen Maastricht University (UM) > Business and sciences

Maak kennis met de verkoper

Recent door jou bekeken

Waarom studenten kiezen voor Stuvia

Gemaakt door medestudenten, geverifieerd door reviews

Niet tevreden? Kies een ander document

Betaal zoals je wilt, start meteen met leren

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Van wie koop ik deze samenvatting?

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Is Stuvia te vertrouwen?